高一第二学期期中考试(数学)试卷含答案解析

高一第二学期期中考试（数学）
（考试总分：100 分）
一、 单选题 （本题共计12小题，总分48分） 1.（4分）13cos 6
π
的值是（ ）
A B C ．—
12
D ．
12
2.（4分）函数sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，的值域是( )
A.122⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦， B.122⎡-⎢⎣⎦， C.2⎤⎥⎣⎦
1 D.1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 3.（4分）函数sin y x =的一个递增区间是( )
A.2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B.()ππ，2
C. 2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
3，
D ．()0,π 4.（4分）下列说法中正确的有( )个
πy cos 2x 6⎛
⎫=- ⎪⎝⎭①的图象关于πx 6=-对称；
πy tan 2x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②的图象关于π,08⎛⎫
⎪⎝⎭
对称；
πy sin 2x 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭③在[]0,π内的单调递增区间为5π0,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；
④若()f x 是R 上的奇函数，且最小正周期为T ，则02T f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5.（4分）设(2,)a k k =+，(3,1)=b ，若a //b ，则实数k 的值等于（ ） A ．32
-
B ．1-
C ．1
D ．
32
6.（4分）化简AC BD CD AB -+-=（ ）
A ．A
B B ．B
C C ．DA
D ．0
7.（4分）已知|a |＝1，|b |＝2，且a ＋b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是( )
A ．60°
B ．30° C．135° D．45°
8.（4分）已知|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝19，则|a －b |等于( )
A.7
B.13
C.15
D.17
9.（4分）sin 53cos 23cos53sin 23︒
︒
︒
︒
-等于( )
A.12 B ．－32 C ．－12 D.32
10.（4分）已知-
tan ,tan 22ππαβαβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，，且
是方程240x ++=的两个根，则+αβ的值为( ) A ．0
B ．2-
3
π C ．π
D ．-
3
π
11.（4
分）已知1cos662a ︒︒=，2sin13cos13b ︒︒=
，
c =则有（ ） A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
12.（4分）设△ABC 的内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )
A.6π
B.3π
C.23
π
D.56π 二、 填空题 （本题共计4小题，总分16分）
13.（4分）函数()22sin sin 1f x x x =-+的最大值为_______．
14.（4分）设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数
λ＝ .
15.（4分）D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA
→
＝b ，给出下列结论：
①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a . 其中正确的结论的序号为________．
16.（4分）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为
θ．那么tan 4πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
_______．
三、 解答题 （本题共计4小题，总分36分） 17.（8分）求值：
（1）3
sin(2)cos(3)cos()2
sin()sin(3)cos()
παπαπαπαπααπ-++-+---； （2）
1tan151tan15-︒
+︒
．
18.（8分）已知函数()2sin()(0)6
f x x π
ωω=+
>，其相邻两条对称轴间的距离为
3
π. （1）求ω的值； （2）若2
3
π
π
α-
<<
，且2
()3
f α
=
，求sin α的值. 19.（10分）已知向量a ，b 满足2a =，1b =，2a b a b +=-． （1）求a •b 的值；
（2）求向量a 与2a b -夹角的余弦值．
20.（10分）如图，半径为4m 的水轮绕着圆心O 按逆时针方向做匀速圆周运动，每
分钟转动4圈，圆心O 距离水面2m ，水轮上点P 从离开水面的时刻()0P 开始计算时间.
（1）试用正弦函数模型sin 0,0,()(2
y A x b A ωπ
ϕωϕ=++>><)，写出点P 距离
水面的高度()y m 与时间()t s 满足的函数关系式； （2）求点P 第一次到达最高点需要的时间．
答案
一、单选题（本题共计12小题，总分48分）
1.（4分）A
2.（4分）D
3.（4分）C
4.（4分）B
5.（4分）C
6.（4分）D
7.（4分）C
8.（4分）A
9.（4分）A
10.（4分）B
11.（4分）B
12.（4分）C
二、填空题（本题共计4小题，总分16分）
13.（4分）
4
14.（4分）± 3
①15.（4分）②③
16.（4分）
7-
三、解答题（本题共计4小题，总分36分）
17.（8分）（1）1；（2）
3
.
【详解】
（1）原式
sin(cos)sin
1
sin sin(cos)
ααα
ααα
-⨯-
==
-⨯⨯-
.（4分）
（2）由1tan15tan45tan15
tan(4515)tan30
1tan151tan45tan15
-︒︒-︒
==-︒=︒=
+︒+︒︒
.（4分）
18.（8分）（1）3；（2【详解】
（1）依题意，得
2
3
T
π
=，所以
22
3
ππ
ω
=，解得3
ω=. （3分）
（2）由（1）知()2sin 36f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，2sin 36f απα⎛⎫⎛
⎫=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为2
3
π
π
α-
<<
，所以3
6
2
π
π
π
α-
<+
<
，
又因为35f α⎛⎫=
⎪⎝⎭
，所以sin 610πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，610cos πα⎛
⎫+=
⎪⎝⎭
， 所以sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=+
-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
110210220
-=
⨯-=
.（5分） 19.（10分）（1）12-；（2
）
4
【详解】
（1）因为2,1,2a b a b a b ==+=-， 所以2
2
2
2
442a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 即1
2
a b ⋅=-； （5分） （2）因为12,1,2
a b a b ==⋅
=-
， 所以()
2
2
24244a b a a b b
⎛-=-⋅+=-⨯=
()
21
224252a a b a a b ⎛⎫
⋅-=-⋅=--= ⎪⎝⎭
(
)25cos ,24210
2a a b
a a
b a a b
⋅--=
=
=⋅-.（5分）
20.（10分）（1）24sin 2156y t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
；（2）5s . 【详解】
（1）由题意，2b =，
水轮每分钟转动4圈，602215,415
T T ππ
ω∴=
=∴==. 水轮半径为4,4m A ∴=，24sin 2,152y t ππϕϕ⎛⎫
∴=++<
⎪⎝⎭
.
当0t =时，0,4sin 20,2
y π
ϕϕ=∴+=<
，得6
π
ϕ=-
.
∴点P 距离水面的高度()y m 与时间()t s 满足的函数关系式为
24sin 215
6y t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（5分）
（2）最高点距离水面的距离为6m ，264sin 2156t π
π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.
22sin 1,2,15
61562t t k k Z π
πππππ⎛⎫∴-=∴-=+∈ ⎪⎝⎭.
15 5,t k k Z ∴=+∈.
∴当0k =，即5t =时，点P 第一次到达最高点，
故点P 第一次到达最高点需要的时间为5s .（5分）。