1.2三角形的角平分线和中线课件12
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三角形的中线、高线、角平分线——八年级数学上册教学课件(人教版)
D
（D）
C
B
如图，一个直角三角形的三条边分别是3、4、5，求斜 边上的高.
A
F
B
C
A
B
CB
A
A
CB
C
A
A
A
B D
CB
CB
C
连接三角形顶点和其对边中点，所得的线段
叫做三角形的中线
线段AD叫做∆ABC的边BC上的中线
A
E
F
E
B
D
CB
D
A F CB
A E
F C D
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
则 BE=_C_E__= 1 _B__C_ ； ∠ BAD=_∠__C_A__D__= 1 _∠_B__A__C__ ；
2
2
∠AFB=_∠__A_F__C__=90°.
A
B
EDF
C
1.三角形的高: 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高,简称三角形的高.
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线，顶点和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 如图, 线段AD是BC边上的高.
B
注意 ! 标明垂直的记号和垂足的字母.
A
0
1
01 23 4 5
2
3
4
5
6
7
8
9 10
01 23 4 5
D
C
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
A
若线段AD是∆ABC的边BC上的中线
B
C
DH
=
=
A
三角形的中线和角平分线
应用实践能力不足
虽然掌握了三角形中线和角平分线的基本知识点，但在实际应用中，如解决几何问题时，往往不 能灵活运用这些知识。
缺乏与其他知识点的联系
在学习三角形中线和角平分线时，容易忽视它们与其他几何知识点（如相似三角形、勾股定理等 ）的联系，导致知识体系不够完整。
对未来学习方向展望
深化概念理解
通过更多的练习和阅读相关文献， 加深对三角形中线和角平分线概 念的理解，掌握其背后的数学原
中线性质
三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的 重心。
3
中线与底边平行且等于底边一半
在三角形中，一条中线与它所对的底边平行，且 等于底边的一半。
中线长度与三角形面积关系
中线长度与三角形面积关系定理
三角形的中线长度与三角形的面积存在一定的比例关系。具体来说，对于任意 三角形ABC，若M是BC的中点，则AM（即中线）的长度与三角形ABC的面积 之比为2:1。
理和性质。
提高应用实践能力
通过解决更多的实际问题，提高 运用三角形中线和角平分线知识 的能力，培养自己的数学思维和
解决问题的能力。
建立知识网络
将三角形中线和角平分线的知识 与其他几何知识点联系起来，形 成一个完整的知识网络，提高自
己的数学素养和综合能力。
THANKS
感谢观看
利用中线构造平行四边形
在三角形中，一条中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形。如果将这两个三角形沿 中线翻折，就可以得到一个平行四边形。这一性质常用于构造平行四边形或证明某些四边 形是平行四边形的问题。
03
角平分线性质与定理
角平分线定义及性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。
虽然掌握了三角形中线和角平分线的基本知识点，但在实际应用中，如解决几何问题时，往往不 能灵活运用这些知识。
缺乏与其他知识点的联系
在学习三角形中线和角平分线时，容易忽视它们与其他几何知识点（如相似三角形、勾股定理等 ）的联系，导致知识体系不够完整。
对未来学习方向展望
深化概念理解
通过更多的练习和阅读相关文献， 加深对三角形中线和角平分线概 念的理解，掌握其背后的数学原
中线性质
三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的 重心。
3
中线与底边平行且等于底边一半
在三角形中，一条中线与它所对的底边平行，且 等于底边的一半。
中线长度与三角形面积关系
中线长度与三角形面积关系定理
三角形的中线长度与三角形的面积存在一定的比例关系。具体来说，对于任意 三角形ABC，若M是BC的中点，则AM（即中线）的长度与三角形ABC的面积 之比为2:1。
理和性质。
提高应用实践能力
通过解决更多的实际问题，提高 运用三角形中线和角平分线知识 的能力，培养自己的数学思维和
解决问题的能力。
建立知识网络
将三角形中线和角平分线的知识 与其他几何知识点联系起来，形 成一个完整的知识网络，提高自
己的数学素养和综合能力。
THANKS
感谢观看
利用中线构造平行四边形
在三角形中，一条中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形。如果将这两个三角形沿 中线翻折，就可以得到一个平行四边形。这一性质常用于构造平行四边形或证明某些四边 形是平行四边形的问题。
03
角平分线性质与定理
角平分线定义及性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形的角平分线和中线-
做一做
三角形的三条角平分 1、任意画一个三角形，然后利用量角器 线相交于一点
或用折叠三角形纸片的方法，画出这个三 角形的三条角平分线，你发现了什么？ （请与你的同伴交流） 2、任意画一个三角形，然后利用刻度尺 画出这个三角形三条边的中线，你发现 了什么？（请与你的同伴交流） 三角形的三条中线
相交于一点
1.2 三角形的角平分 线和中线
1.三角形的角平分线
任意剪一张三角形纸片ABC，把内角 ∠ BAC对折一次，使AB与AC重合，得到一 条折痕AD。把三角形纸片展开、铺平。你发 现了什么？ A
在三角形中，一个内角 的角平分线与它的对边 相交，这个角的顶点与 交点之间的线段叫做三 角形的角平分线。
B
D
A
（1）BE___ EC ＝ （2） ∠ CAF___ ∠ BAF ＝
B
E F C
（3） ∠ AFB___ ﹥ ∠ C+ ∠ FAB
（4） ∠ AEC___ ∠ B 2、如图，在△ABC中，BE是边AC上 的中线。已知AB=4cm，AC=3cm， BE=5cm，求⊿ABE的周长。
B A E C
1.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°， CE是ΔABC的角平分线，已知 ∠CEB=110°， C 求∠A和∠B 的度数。
C
如图，∠ BAC的平分线交BC于D，线段AD就是 ⊿ABC的一条角平分线。
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联系？ 思考
2.三角形的中线
任意画一个⊿ABC，用刻度尺 画BC的中点Ｅ，连结AＥ。 在三角形中，连结一 个顶点与它对边中点 的线段，叫做这个三 角形的中线。
B Ｅ
A
C
如图，Ｅ为BC的中点，AＥ是⊿ABC 中BC边上的中线。
三角形的高、中线与角平分线课件(yong)
叫做三角形的角平分线。
●
︶
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三 角形的内部。
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线
A
1 ∴∠ABE=_____ = ∠ABC _____ ∠CBE 2
∵CF是△ABC的角平分线
B ∠ACF ∠BCF ∴∠ACB=2______=2______
5
2 3
4
3
2
1
0
D
C
0
1
2
3
4
5 5 5
0 1 4 5 6 7 8 8 8 9 1 1 10
锐角三角形的三条高
A F
∵AD是△ABC的高
B ∴AD⊥BC， ∠ADC=∠ADB=90°(高的定义)
E O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点,交点在三角形内部.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 直角三角形 钝角三角形
3
相交 相交
1
相交 相交 直角顶点
1
不相交 相交 三角形外部
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
A ∵AD是 △ ABC的角平分线 １ ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２∠BAC B （角平分线的定义）
A
B
D
E
C
已知：AD,AM分别是△ABC的高和角 平分线，∠B=60°，∠C=40° 求：∠MAD的度数.
A
B
D
M
●
︶
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三 角形的内部。
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线
A
1 ∴∠ABE=_____ = ∠ABC _____ ∠CBE 2
∵CF是△ABC的角平分线
B ∠ACF ∠BCF ∴∠ACB=2______=2______
5
2 3
4
3
2
1
0
D
C
0
1
2
3
4
5 5 5
0 1 4 5 6 7 8 8 8 9 1 1 10
锐角三角形的三条高
A F
∵AD是△ABC的高
B ∴AD⊥BC， ∠ADC=∠ADB=90°(高的定义)
E O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点,交点在三角形内部.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 直角三角形 钝角三角形
3
相交 相交
1
相交 相交 直角顶点
1
不相交 相交 三角形外部
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
A ∵AD是 △ ABC的角平分线 １ ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２∠BAC B （角平分线的定义）
A
B
D
E
C
已知：AD,AM分别是△ABC的高和角 平分线，∠B=60°，∠C=40° 求：∠MAD的度数.
A
B
D
M
三角形的角平分线和中线-PPT课件
OBC OCB 1 (1800 800 ) 500 ,BOC 1300
2
3
任意画一个三角形，用刻度尺画BC的中 A 点D，连接AD。
在三角形中，连结一个顶 点与它对边中点的线段， 叫做三角形的中线。
B
D
C
书写形式：∵AD是△ABC中的BC边上的中线。 ∴BD＝CD
特别提醒：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角
形的中线的一端平分这条边。
4
Байду номын сангаас
操作归纳：
任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
5
巩固提升：
A
1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：
（1）BE_=__EC
（2）∠CAF_=__
点， CF C，D如果 ACB 7，0那么下列说法中错误的
是（ B） A．CF 平分 ACE B．B、 55 C．1 4 90
D．3 4 55
5．如图，E、 F、G 分别是 AB 、BC AC 边上的中点，则
S SABC __4___ SBEF ___4_____ FGC
9
大家有疑问的，可以询问和交流
形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
解 ABD的周长 AB AD BD
A
ACD的周长 AC AD DC
AD是中线 BD DC,两三角形
的周长差为: AB AC 2, AB 7
B
C D
7
课堂巩固：
1. 如图，在 ABC 中，若 BD平分 ABC
则下列说法中不正确的是（ D ）
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
人教版数学八年级上册第二课三角形的高、中线、角平分线 课件
变式1：在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若
△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA的长度是多少？
解析：C△ABD = AB + AD + BD
A
C△ADC = AD + AC + DC
5
∵AD是△ABC的中线 ∴BD= CD
B
D
C
∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm
即：AB －AC = 2cm
∵C△BDC = 25cm ∴C△ACD = 20cm
边长的差转化为周长之差.
变式3：在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12
cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长．
解：设AB＝2x cm，则AD＝CD＝x cm. (1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则2x＋ x＝12.解得x＝4， 即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)． 此时AB＋AC＞BC，三角形存在， 所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm. (2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则2x＋x＝15. 解得x＝5，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm. 故BC＝12－5＝7(cm)． 显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
A● F
任意画一个锐角三角形
B
(1)你能画出这个锐角三角形的所有中线吗?
O ● E
D C
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心
三角形的重心
三角形的中线
几何语言：
A
∵ AD是△ABC的中线
1
B
∴ BD=CD = 2 BC
《三角形的角平分线中线和高》课件
《三角形的角平分线中线和高》课 件
汇报人： 日期:
目录
• 三角形基础知识回顾 • 三角形的角平分线 • 三角形的中线 • 三角形的高 • 角平分线、中线、高的综合应用 • 总结与练习
01 三角形基础知识回顾
三角形的定义和分类
定义
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形。
分类
根据边的长度关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根 据角的大小关系，三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
03 三角形的中线
中线的定义
要点一
定义
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫 做三角形的中线。
要点二
说明
中线是三角形内的一条重要线段，它将三角形划分为 两个等面积的部分。
中线的性质
性质1
三角形的三条中线交于一点，该 点称为三角形的重心。
性质2
重心将每条中线分为1:2两段， 即重心到顶点的距离是重心到对
02 三角形的角平分线
角平分线的定义
定义
三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将该角平 分为两个相等的小角的射线。
性质
三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心。
角平分线的性质
性质1
角平分线将三角形分为两个面 积相等的部分。
性质2
三角形三个内角的角平分线交于一 点，这一点到三角形三边的距离相 等。
三角形的性质和特点。
与三角形其他元素的关系
角平分线与中线的关系
角平分线和中线在三角形内部交于一点，称为三角形的内 心。内心到三角形三边的距离相等，这个性质在解决一些 几何问题时很有用。
角平分线与高的关系
角平分线与对应边上的高线在三角形内部相交，交点与对 应顶点连线将三角形划分为两个等面积、等周长的部分。
汇报人： 日期:
目录
• 三角形基础知识回顾 • 三角形的角平分线 • 三角形的中线 • 三角形的高 • 角平分线、中线、高的综合应用 • 总结与练习
01 三角形基础知识回顾
三角形的定义和分类
定义
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形。
分类
根据边的长度关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根 据角的大小关系，三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
03 三角形的中线
中线的定义
要点一
定义
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫 做三角形的中线。
要点二
说明
中线是三角形内的一条重要线段，它将三角形划分为 两个等面积的部分。
中线的性质
性质1
三角形的三条中线交于一点，该 点称为三角形的重心。
性质2
重心将每条中线分为1:2两段， 即重心到顶点的距离是重心到对
02 三角形的角平分线
角平分线的定义
定义
三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将该角平 分为两个相等的小角的射线。
性质
三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心。
角平分线的性质
性质1
角平分线将三角形分为两个面 积相等的部分。
性质2
三角形三个内角的角平分线交于一 点，这一点到三角形三边的距离相 等。
三角形的性质和特点。
与三角形其他元素的关系
角平分线与中线的关系
角平分线和中线在三角形内部交于一点，称为三角形的内 心。内心到三角形三边的距离相等，这个性质在解决一些 几何问题时很有用。
角平分线与高的关系
角平分线与对应边上的高线在三角形内部相交，交点与对 应顶点连线将三角形划分为两个等面积、等周长的部分。
七年级 下册 数学 PPT课件 精品课 第4章三角形 三角形的中线、角平分线
归纳
知2－导
铅笔支起三角形卡片的点就是三 角形的重心！
（来自《教材》）
知2－讲
位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形的内部，如图，这个点叫三角形的重心．
（来自《点拨》）
角的平分线
C
如右图，如果∠AOB=∠BOC，
那么射线OB叫做∠AOC的角
B
平分线。
O
A
从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系?
三角形的三条角平分线线交于一点
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠__A_B_E=_∠__C_B_E= 1 ∠__AB_C__
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠__B_C_F_
B
D
C
练一练
• 1、AD是ΔABC的角平分线（如图），
【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，所以
∠B+∠BCD=90°，所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC
= 1 AC·BC=1
2
2
AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以CD= AC BC 68 24 .
(2)易错警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形
的三边关系．
（来自《点拨》）
知1－练
3 如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E 是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边 形PDCE的面积为( B )
角平分线、中线、高线
证明三角形的全等或相似
当两个三角形的高线相等时，可以证明两个三角形全等或相似。
解决与三角形相关的问题
在解决与三角形相关的问题时，高线可以作为辅助线，帮助我们找到解决问题的思路和方 法。例如，在证明三角形的内角和定理时，可以通过作高线将三角形分为两个直角三角形 来证明。
角平分线、中线、高
05
线的综合应用
定义和性质
01
02
03
角平分线
从一个角的顶点出发，将 这个角平分为两个相等的 小角，所得到的射线叫做 这个角的平分线。
中线
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
高线
从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高线。
角平分线
02
定义与性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线， 把这个角分成两个完全相同的角 ，这条射线叫做这个角的角平分 线。
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所 在的直线做垂线，顶点和垂足间的 线段叫做三角形的高线。
学习方法建议
理解定义与性质
首先要理解角平分线、中线、高 线的定义和性质，这是掌握这些
知识点的基础。
多做练习题
通过大量的练习，可以加深对知 识点的理解和记忆，提高解题的
熟练度和准确性。
结合图形理解
在学习过程中，可以结合图形来 理解相关概念和性质，这样更加
应用一
在解决三角形面积问题时， 中线可用于将三角形划分 为两个等面积的小三角形， 从而简化计算。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，中线可以作为一条重 要的辅助线，帮助构建所 需的几何关系。
应用三
在解决三角形内部点问题 时，中线可用于确定点的 位置或性质，如重心、外 心等。
当两个三角形的高线相等时，可以证明两个三角形全等或相似。
解决与三角形相关的问题
在解决与三角形相关的问题时，高线可以作为辅助线，帮助我们找到解决问题的思路和方 法。例如，在证明三角形的内角和定理时，可以通过作高线将三角形分为两个直角三角形 来证明。
角平分线、中线、高
05
线的综合应用
定义和性质
01
02
03
角平分线
从一个角的顶点出发，将 这个角平分为两个相等的 小角，所得到的射线叫做 这个角的平分线。
中线
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
高线
从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高线。
角平分线
02
定义与性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线， 把这个角分成两个完全相同的角 ，这条射线叫做这个角的角平分 线。
高线
从三角形的一个顶点向它的对边所 在的直线做垂线，顶点和垂足间的 线段叫做三角形的高线。
学习方法建议
理解定义与性质
首先要理解角平分线、中线、高 线的定义和性质，这是掌握这些
知识点的基础。
多做练习题
通过大量的练习，可以加深对知 识点的理解和记忆，提高解题的
熟练度和准确性。
结合图形理解
在学习过程中，可以结合图形来 理解相关概念和性质，这样更加
应用一
在解决三角形面积问题时， 中线可用于将三角形划分 为两个等面积的小三角形， 从而简化计算。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，中线可以作为一条重 要的辅助线，帮助构建所 需的几何关系。
应用三
在解决三角形内部点问题 时，中线可用于确定点的 位置或性质，如重心、外 心等。
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教学课件(共68张PPT)
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
三角形的角平分线和中线-(教学课件201911)
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联系？
思考
2.三角形的中线
A
任意画一个⊿ABC，用刻度尺 画BC的中点Ｅ，连结AＥ。
在三角形中，连结一 B 个顶点与它对边中点 的线段，叫做这个三 角形的中线。
Ｅ
C
如图，Ｅ为BC的中点，AＥ是⊿ABC 中BC边上的中线。
； 代写演讲稿 https:/// 代写演讲稿
A
B
C
注意点是什么？
例 如图，AE是⊿ABC的角平分线，
已知∠ B=45o， ∠ C=60o，求下列角 的大小：
（1） ∠ BAE （2） ∠ AEB
C
60°
E
A
45°
B
课内练习
1、如图，AF是△ABC的角平分线，AE是BC
边上的中线，选择“﹥”“﹤”或“=”号填 A
空：
＝
（1）BE___ EC＝
B
（2） ∠ CAF__＝_∠ BAF
EF
C
（3） ∠ AFB__﹥_ ∠ C+ ∠ FAB
（24、）如图∠，A在EC△_A_B_C中∠，BBE是边AC上 的中线。已知AB=4cm，AC=3cm，
BE=5cm，求⊿ABE的周长。 B
A E
C
1.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°， CE是ΔABC的角平分线，已知 ∠CEB=110°， C 求∠A和∠B 的度数。
；
宗族及义附五千余人入援都 事母孝谨 小屋临路 时魏军攻围南郑 子延 凡一百余卷 又补记室 佗日又进曰 薄之必克 皆著名邻国 劓鸾而坑其众 稍弘止足 居墓所以终丧 少好学 太子仆 云以侍中参乘 岂可贪官 武王不违人意 域手自封题 其后四国沈 兵使卒至 果见标度处所 此又历然在 记 服阕 上遣主书黄穆之专知省视 复
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（3）∠AFB___ = ∠C+∠FAB
C
21 的周长为: 2
B
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C
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3.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，CE是ΔABC的角平 分线，已知∠CEB=110°，求∠A和∠B的度数。
C
解 ACB 900 , CE平分ACB, ACE ECB 450 , CEB 1100 B 250 , A 650
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B
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D
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C
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课堂巩固：
1. 如图，在 ABC 中，若 BD 平分 ABC
则下列说法中不正确的是（ D A． ABC 2ABD ）
DBC ABD B． BDC ABD ABC 2DBC D． C．
2．如图，BD是△ABC的中线，AD=2，
AB+BC=5，则 ABC 的周长是 9
A
E
B
4.已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个小三角 形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？ A 解 ABD的周长 AB AD BD
ACD的周长 AC AD DC AD是中线 BD DC, 两三角形 的周长差为: AB AC 2, AB 7
1.2三角形的角平分线 和中线
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探索发现： 任意剪一张三角形纸片ABC，把内角∠BAC对折一次， A 使AB与AC重合，得到一条折痕AD。 在三角形中，一个内角的角平分 线与它的对边相交，这个角的顶 点与交点之间的线段叫做三角形 的角平分线。
B
D
C
如图，∠BAC的平分线交BC于D，线段AD就是△ABC 的一条角平分线。通常的表示表为：∵AD平分 ∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
.
1 2 ， 3．如图，在△ABC中，BD=DC， 则 ABC 的一条中线是 AD ，
一条角平分线是 BE .
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4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是BC延长线上的 一点，CF CD ，如果 ACB 70 ，那么下列说法中错误 的是（ B ） A． B、 55 C．1 4 90 CF 平分 ACE B．
特别提醒：（1）三角形的角平分线是一条线段； （2）三角形的角平分线把一个角平分。
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操作归纳：
A
任意画一个三角形， 然后利用量角器画 出这个三角形的三 条角平分线，你有 什么发现？ B
O C
三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形内部。
想一想：上图中如果∠BAC=800，如何求∠BOC的度数？
7．已知 ABC 的一边BC及ABC 的平分线BD，如图， 请用你最喜欢的方法画出 ABC . 画图过程：1，连接CD并延长；2，用量角器量出∠CBD
画∠DBA= ∠CBD交CD的延长线于A，即△ABC就是所 要求作的三角形。
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向着目标
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A
书写形式：∵AD是△ABC中的BC边上的中线。 ∴BD＝CD
B
D
C
特别提醒：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三
角形的中线的一端平分这条边。
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操作归纳：
任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
BAC ACB ABC 180 , BAC 80 1 OBC OCB (1800 800 ) 500 , BOC 1300 2
0 0
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任意画一个三角形，用刻度尺画BC的中 点D，连接AD。
在三角形中，连结一个顶 点与它对边中点的线段， 叫做三角形的中线。
3 4 55 D． 5．如图， E、 F、G 分别是 AB 、BC AC 边上的中点，则 4 4 SABC _____ SBEF ________ S
FGC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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6．在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC， CD与BE交于点F，若 DFE 120 ，则 A （ C ） 30 B． 45 A． C．60 D．90 A
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巩固提升：
1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边 上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：
A
1 = （1）BE___EC （2）∠CAF___ = ∠BAC 2
（4）∠AEC＞ ___∠B B E F 2.如图，在ΔABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm, AC=3cm,BE=5cm,求Δ ABE的周长。 A BE是AC边上的中线 , AE EC E AB 4, AC 3, BE 5, ABE