新疆第二师华山中学2018-2019学年高二上学期期中考试(文科)数学试卷及答案

华山中学2018-2019学年第一学期高二年级期中考试
数学（文）试卷
（考试时间：120分钟，满分：150分）命题教师：王丽丽
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0，q：“x＞0”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命
题的是（）
A. p∧q
B. (￢p)∧(￢q)
C. (￢p)∧q
D. p∧(￢q)
2.函数f（x）=1+sin x，其导函数为f′（x），则f′（π
3
）=（）
A. 1
2B. −1
2
C. 3
2
D. √3
2
3.已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线与椭圆x2
6+y2
4
=1相切，则p的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.曲线y=1
4
x2在点（2，1）处的切线与x轴、y轴围成的封闭图形的面积为（）
A. 1
B. 1
2C. 1
4
D. 2
3
5.已知命题¬p：存在x∈（1，2）使得e x-a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）
A. (e2,+∞)
B. [e2,+∞)
C. (−∞,e)
D. (−∞,e]
6.如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）
A. BD//平面CB1D1
B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1
D. 异面直线AD与CB1所成的角为60∘
7.已知点A（-2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）
A. −4
3B. −1 C. −3
4
D. −1
2
8.等差数列{a n}中的a1,a5是函数f(x)=1
3
x3−4x2+12x+1的极值点，则log2a3 = （）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 59.已知椭圆的焦点是F1（0，-√3），F2（0，√3），离心率e=√3
2
，若点P在椭圆上，且PF1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PF
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3
，则∠F1PF2的大小为（）
A. π
12
B. π
6
C. π
4
D. π
3
10.已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直，若数列{1
f(n)
}的前n项和为S n，则S2013的值为（）
A. 2010
2011
B. 2011
2012
C. 2012
2013
D. 2013
2014
11.过双曲线x2
a2
-y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率是（）
A. √2
B. √3
C. √5
D. √10
12.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>−2f(x)，若
g(x)=x2f(x)，则不等式g(x)<g(1−x)的解集是（）
A. (−∞,1
2
) B. (1
2
,+∞) C. (−∞,0)∪(0,1
2
) D. (0,1
2
)
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数f(x)=1
3
x3−4x+1
3
的极大值是．
14.命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f（x）=（3-2a）x是增函
数，若p∧q为真，则实数a的取值范围为______．
15.若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，点M为AB的中点，直线OM（O为坐标原点）
的斜率为√2
2
，则b
a
的值为____ _.
16.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深
一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米斛．
（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π≈3）
2018-2019学年第一学期高二年级期中考试数学（文）试卷第1页共4页2018-2019学年第一学期高二年级期中考试数学（文）试卷第2页共4页
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太
人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.华山中学为了提高师生的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富校园图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对校内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：
[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：
18.
19. （Ⅰ）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数； 20. （Ⅱ）求40名读书者年龄的平均数和中位数。

21. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =π
2，AB =BC =1
2AD =a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE
的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1—BCDE .
22.
(1)证明：CD ∣平面A 1OC ；
(2)当平面A 1BE ∣平面BCDE 时，四棱锥A 1—BCDE 的体积为36√2，求a 的值.
23. （1）若抛物线的焦点是椭圆x
2
64+y
2
16
=1左顶点，求此抛物线的标准方程； 24. （2）某双曲线与椭圆x 264+y 2
16=1共焦点，且以y =±√3x 为渐近线，求此双曲线的标准方程．
25. 已知函数f(x)=ax 3−(a +2)x 2(a 为实数)．
26. (1)若函数f(x)在x =1处的切线与直线x +y +6=0平行，求实数a 的值；
27. (2)若a =1，求函数f(x)在区间[1,3]上的值域。

28. 已知点A （0，-2），椭圆E ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为√3
2
，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为
2√3
3
，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ,Q 两点，当∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
29. 已知函数f （x ）=ln x +x 2-ax ．
30. （I ）若函数f （x ）在其定义域上是增函数，求实数a 的取值范围； 31. （II ）当a =3时，求出f （x ）的极值：
32. （III ）在（I ）的条件下，若f(x)≤12(3x 2+1
x 2−6x)在x ∈（0，1]内恒成立，试确定a 的取值范围．
华山中学2018-2019学年第一学期高二年级期中考试
数学（文科）参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.B
6.D
7.C
8.A
9.D 10.D 11.C 12.A
2018-2019学年第一学期高二年级期中考试数学（文）试卷 第5页 共4页 2018-2019学年第一学期高二年级期中考试数学（文）试卷 第6页 共4页
13.【答案】17
3 14.【答案】（-2，1） 15.【答案】√2 16.【答案】2700
17.【答案】解：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，
所以40名读书者中年龄分布在[40，70）的人数为40×
0.75=30． （2）40 名读书者年龄的平均数为25×
0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54． 设中位数为x ，由于频率=1
2=0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x −50) 则x =50+1
2×(60−50)=55，
即40名读书者年龄的中位数为55．
18. 【答案】解：
19. （I ）在图1中，
20. 因为AB =BC =1
2AD =a ，E 是AD 的中点，
21. ∠BAD =π
2， 22. 所以BE ⊥AC ，
23. 即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥面A 1OC ， 24. 由CD ∥BE ， 所以CD ⊥面A 1OC ， 25. （II ）即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高， 26. 根据图1得出
A 1O =√22A
B =√22a ， ∴平行四边形
BCDE 的面积S =BC •AB =a 2
，
27.
V =1
3×S ×A 1O =13
×a 2
×
√22a =√26a 3， 由a =√26
a 3=36√2，得出a =6． 19.【答案】解：（1）椭圆x
2
64+y
2
16
=1的a =8， 左顶点为（-8，0）， 设抛物线的方程为y 2=-2px （p ＞0），
可得-p
2=-8， 解得p =16， 则抛物线的方程为y 2=-32x ；
（2）双曲线与椭圆x 264+y 2
16
=1共焦点（±√64−16，0）， 即为（±
4√3，0）， 设双曲线的方程为x 2a
2-y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）， 则a 2
+b 2
=48，
渐近线方程为y =±b
a x ， 可得b
a =√3，
解得a =2√3，b =6，
则双曲线的方程为x 212-y 2
36
=1．
20.【答案】解：（1）f '（x ）=3ax 2-2（a +2）x ，f '（1）=3a -2（a +2）=-1，解得a =3．
3222，
所以f （x ）在[1，3]上的值域为[-4，0]．
21.【答案】解：（Ⅰ）设F （c ，0），由条件知2c =2√33，得c =√3，又c a =√3
2
， ∴a =2，b 2=a 2-c 2=1， 故E 的方程为：
x 24
+y 2=1；
（Ⅱ）当l ⊥x 轴时，不合题意，
故设l ：y =kx -2，p （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
联立{y =kx −2x 24
+y 2
=1，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0． 当△=16（4k 2-3）＞0，即k 2>3
4时， x 1=
8k−√4k 2−34k 2+1
，x 2=8k+√4k 2
−3
4k 2+1
． 从而|PQ |=√1+k 2|x 1−x 2|=4√k
2+1·√4k 2−3
4k 2+1
．
又点O 到直线PQ 的距离d =√k 2+1．
∴△OPQ 的面积为S △OPQ =12|PQ |·d =4√4k 2
−3
4k 2+1， 设√4k 2−3=t (t >0)，
则S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t
≤2√4=1，当且仅当t =4
t ，即t =2时取“=”，
∴√4k 2−3=2，即k =±√7
2
时等号成立，且满足△＞0，
∴当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y =√72
x -2或y =-√7
2
x -2.
22.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=ln x +x 2
-ax （x ＞0），则f ′（x ）=1
x +2x -a （x ＞0）．
∵函数f （x ）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f ′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，即1
x +2x -a ≥0在（0，+∞）上恒成立． ∴1
x +2x ≥a ．
∵当x ＞0时，1x +2x ≥2√2，当且仅当1
x =2x ，即x =√2
2
时等号成立． ∴a 的取值范围是（-∞，2√2]；
（Ⅱ）当a =3时，f′(x)=
(2x−1)(x−1)
x
(x ＞0) 当0＜x ＜1
2或x ＞1时，f ′（x ）＞0， 当1
2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0
∴f （x ）在（0，1
2）和（1，+∞）上是增函数，在（1
2，1）上是减函数， ∴f （x ）极大值=f （1
2）=-5
4-ln2，f （x ）极小值=f （1）=-2
（III ）设g(x)=f(x)−1
2(3x 2+1
x 2−6x)=lnx −12x 2+(3−a)x −1
2x 2 ∴g ′（x ）=(1
x −x)+(3−a)+1
x 3
∵a ∈（-∞，2√2]，且x ∈（0，1] ∴g ′（x ）＞0
∴g （x ）在（0，1）内为增函数 ∴g （x ）max =g （1）=2-a
∵f(x)≤12(3x 2+1
x 2−6x)在x ∈（0，1]内恒成立， ∴2-a ≤0，解得a ≥2， ∵a ≤2√2， ∴2≤a ≤2√2．。