广州市荔湾广雅九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(有答案解析)

一、选择题
1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l
B ．m≥-l 且m≠1
C ．m≥-l
D ．m ＞-1且m≠1 2．用配方法转化方程2210x
x +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 3．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）
A ．10%
B ．29%
C ．81%
D ．14.5% 4．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）
A ．3125x x +=-
B ．31(25)x x +=--
C ．31(25)x x +=±-
D ．3125x x +=±- 5．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）
A ．()50166x +=
B ．()250166x +=
C ．()2
501266x += D ．()()5011266x x ++= 6．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ）
A ．2(2)3x +=
B ．2 (x+2)11=
C ．2 (2)3?x -=
D ．2()211x -=
7．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）
A ．a ≠2
B ．a=2
C ．a=-3
D ．a=-3或a=2 8．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）
A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．22241212112x x ++=+
C ．2412919x x ++=+
D ．241212112x x ++=+ 9．方程()55x x x +=+的根为（ ）
A ．15=x ，25x =-
B ．11x =，25x =-
C ．0x =
D ．125x x ==- 10．方程(2)2x x x -=-的解是（ ）
A ．2
B ．2-，1
C ．1-
D ．2，1-
11．一元二次方程2304y y +-
=，配方后可化为（ ） A ．21()12y += B ．21()12y -= C ．21
1()2
2y += D ．213()24
y -= 12．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．210x x += B ．ax 2+bx +c ＝0
C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0
D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2 二、填空题
13．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．
14．一元二次方程（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4化为一般形式可得_________．
15．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．
16．已知 12,x x 是一元二次方程()2
3112x -=的两个解，则12x x +=_______． 17．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．
18．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．
19．方程2350x x -=的一次项系数是______．
20．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛． 三、解答题
21．已知关于x 的一元二次方程kx 2+6x ﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）写出满足条件的k 的最小整数值，并求此时方程的根．
22．解下列方程
（1）22(4)216x x +=-；
（2）22x x =+．
23．按要求的方法解方程，否则不得分．
（1）2450x x -=+（配方法）
（2）22730x x -+=（公式法）
（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）
24．定义：若关于x 的一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．
（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．
①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；
②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．
（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 25．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m
--+的值． 对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当x=n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式2x ，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．
(1)代数式22x -的不变值是________，A=________．
(2)已知代数式231x bx -+，若A=0，求b 的值．
26．解下列方程
（1）2210x x ++= （2）233x x
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
∵方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，
∴210m -≠，
解得1m ≠±，
10m +≥，
解得：1m ≥-，
∴1m >-且1m ≠，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．A
【分析】
方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．
【详解】
解：2210x x +-=
2212x x ++=
∴2(1)2x +=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，
根据题意得，()2100181x -=，
解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
一元二次方程22
(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：22(31)(25)x x +=-
开方得31(25)x x +=±-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 5．D
【分析】
根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．
【详解】
解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，
∴2月份的营业额=50×（1+x ），
∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），
∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．
6．B
解析：B
【分析】
根据配方法解一元二次方程的方法解答即可．
【详解】
解：用配方法解方程2
470x x ，方程应变形为24411x x ++=，即()2
211x +=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方的方法是解题的关键． 7．B
解析：B
【分析】
将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．
【详解】
解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，
得： a 2+a-6=0，
解得：a 1=﹣3，a 2=2，
∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，
∴a=2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．
8．C
解析：C
【分析】
把原方程变形为2(2)621x x +⨯=，将2x 看成未知数，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】
解：方程24121x x +=变形为2
(2)621x x +⨯=， 2(2)62+91+9x x +⨯=
∴2412919x x ++=+
故选：C
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
9．B
解析：B
【分析】
根据因式分解法解方程即可；
【详解】
()55x x x +=+，
()()550+-+=x x x ，
()()510x x +-=，
11x =，25x =-；
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先移项得到x （2﹣x ）+（2﹣x ）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：x （2﹣x ）+（2﹣x ）＝0，
（2﹣x ）（x +1）＝0，
2﹣x ＝0或x +1＝0，
所以x 1＝2，x 2＝﹣1．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个
一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．A
解析：A
【分析】
根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．
【详解】
解：∵23
0 4
y y
+-=，
∴y2+y=3
4
，
则y2+y+1
4
=
3
4
+
1
4
，
即（y+1
2
）2=1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
12．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】
A、是分式方程．错误；
B、当a＝0时不是一元二次方程，错误；
C、是，一元二次方程，正确；
D、3x2+2＝x2+2(x﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；
故选：C．
【点睛】
考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
二、填空题
13．-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解：一元二次方程x2－2x ＋1＝0一次项系数是：－2故答案为：－2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解
解析：-2
【分析】
根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．
【详解】
解：一元二次方程x 2 －2x ＋1＝0一次项系数是：－2．
故答案为：－2．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 14．x2﹣5x ﹣7＝0【分析】利用多项式乘多项式的法则展开再利用等式的性质进行移项合并进行计算【详解】（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4x2﹣2x ﹣3＝3x ＋4x2﹣5x ﹣7＝0故答案是：x2﹣5x ﹣7＝0
解析：x 2﹣5x ﹣7＝0 ．
【分析】
利用多项式乘多项式的法则展开，再利用等式的性质进行移项、合并，进行计算．
【详解】
（x ＋1）（x ﹣3）＝3x ＋4，
x 2﹣2x ﹣3＝3x ＋4，
x 2﹣5x ﹣7＝0．
故答案是：x 2﹣5x ﹣7＝0．
【点睛】
本题考查一元二次方程的变形，属于基础题型．
15．3【分析】先移项再两边配上4写成完全平方公式即可【详解】解：∵∴即故答案为：3【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可
解析：3
【分析】
先移项，再两边配上4，写成完全平方公式即可．
【详解】
解：∵241x x +=-，
∴24414x x ++=-+，即()2
23x +=，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可．
16．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】
解析：2
【分析】
先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．
【详解】
解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，
∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，
∴x 1+x 2=2．
故答案为：2．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a
-是解题的关键． 17．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的
解析：-1
【分析】
根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，
∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β，
∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，
∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，
解得：m=-1或m=4（舍去）．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．
18．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114
x =，22x =-
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．
【详解】
解：()422x x x +=+
()()4220x x x +-+=
()()4120x x -+=
114
x =，22x =-． 故答案是：114x =
，22x =-． 【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
19．-5【分析】根据一元二次方程的一般形式解答【详解】解：方程的一次项是其系数是故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程的一般式解题的关键是掌握一次项系数的定义
解析：-5
【分析】
根据一元二次方程的一般形式解答．
【详解】
解：方程2350x x -=的一次项是5x -，其系数是5-．
故答案是：5-．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．
20．10【分析】设共有x 个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x 个队参加比赛根据题意得：2×x （x-1）=90整理得：x2
解析：10．
【分析】
设共有x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x 个队参加比赛，
根据题意得：2×12
x （x-1）=90， 整理得：x 2-x-90=0，
解得：x=10或x=-9（舍去）．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
21．（Ⅰ）k ＞﹣9且k ≠0；（Ⅱ）8k =-，112x =，214x = 【分析】
（Ⅰ）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k ≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k 的取值范围；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中k 的取值范围，任取一k 的值，然后解方程即可．
【详解】
解：（Ⅰ）根据题意得，k ≠0，且△＞0，即2640k +>，
解得k ＞﹣9，
∴实数k 的取值范围为k ＞﹣9且k ≠0；
（Ⅱ）由（1）知，实数k 的取值范围为k ＞﹣9且k ≠0，故取8k =-，
所以该方程为28610x x -+-=，解得112
x =，214x =． 【点睛】
本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式和解一元二次方程的方法．
22．（1）124,3x x ==-；（2）121,2x x =-=
【分析】
（1）化成一般式以后利用因式分解法解即可；
（2）化成一般式以后利用因式分解法解即可；
【详解】
解：（1）28-x+4=x 2x -x-12=0
(x+3)(x-4)=0
∴124,3x x ==-
（2） 220x x --=
(2)(1)0x x -+=
121,2x x ∴=-=
【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23．（1）1215x x ==-，；（2）12132x x ==
，；（3）1221x x ，=-=． 【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）2450x x -=+，
移项得：245x x +=，
配方得：24454x x ++=+，即()229x +=，
直接开平方得：23x +=±，
∴1215x x ==-，；
（2）22730x x -+=，
∵2a =，7b =-，3c =，
()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，
∴775224
x ±±==⨯， ∴12132
x x ==
，； （3）(1)(2)24x x x ++=+， 整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=，
因式分解得：()()210x x +-=，
∴20x +=或10x -=，
∴1221x x ，=-=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程． 24．（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =
【分析】
（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；
②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；
（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
【详解】
解：（1）①()22210x m x m m --+-=，
∵()()
2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
()22210x m x m m --+-=，
解得：11x m =-，2x m =，
方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．
②由①得，()1,M m m -，
令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，
∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，
当x=0时，y=1，
∴()0,1A ，
∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，
解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩
， 解得12x y =⎧⎨=⎩
， ∴()1,2B ，
∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上
∴12m ≤≤；
（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，
∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，
∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．
【点睛】
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
25．（1）-1，2；3；（2）1123b =-+2123b =--【分析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求出x 的值，再作差后可求出A 的值；
（2）由A=0可得出方程23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，进而可得出△=0，解答
即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意得，220x x --=，
解得，11x =-，22x =
∴A=2-（1）=2+1=3，
故答案为：-1，2；3；
（2）根据题意得，23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，
∴△=[- (b+1)]2-4×3×1=0
∴11b =-+21b =--【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
26．（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．
【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】
（1）2210x x ++=，
2(1)0x +=，
解得121x x ==-；
（2）233x x ，
233
0x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，
30x -=或40x -=，
3x =或4x =，
即123,4x x ==．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．。