2020~2021湖北省宜昌市高三上学期2月联考数学试题及答案

机密★启用前
2021年宜昌市高三年级二月联考
数学试卷
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．设全集U R =，集合{0}M x x =≤∣，集合{}21N x x =≤∣，则
(
)U
M N =（ ）
A ．(]
0,1
B ．[]1,0-
C ．[)1,-+∞
D ．(]
,1-∞-
2．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()
295,N σ，且
(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人
数为（ ）
A ．100
B ．125
C ．150
D ．175
3．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线过点()3,4，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
54
B ．
53
C ．
43
D ．
35
4．若两个非零向量a 、b 满足||||2||a b a b a +=-=，则a b -与b 的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 5．已知23log 2a =，14
67b -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，sin1468c =︒，则（ ）
A ．b a c >>
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（ ）
A ．
1sin α
B ．
1
cos α
C
D
7．已知2a >-，0b >，直线1:(2)10l x a y --+=，2:220l bx y --=，且12l l ⊥，则11
22a b
+
+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
14
D ．
98
8．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonic solids ）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，，则正二十面体的顶点的个数为（ ）
A ．30
B ．20
C ．12
D ．10
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分． 9．下列命题中，正确的命题有（ ）
A ．函数()f x x =与()g x =
B ．命题“0[0,1]x ∃∈，2
001x x +≥”的否定为“[0,1]x ∀∈，21x x +<”
C ．已知x R ∈，则“0x >”是“|1|1x -<”的充分不必要条件
D ．若函数21,0
()2,
0x
x x f x x +<⎧=⎨
≥⎩，则(1)(1)1f f +-= 10．已知函数2
2
()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期是π
B ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得到 C ．4
x π
=
是()f x 的一条对称轴
D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
11．已知1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则下列结论正确的有（ ） A ．01a =
B ．6210a =-
C ．
310122310
1023
22221024
a a a a +++⋅⋅⋅+=- D ．024*******a a a a a a +++++=
12．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点），且BE BF =．将AED △、
DCF △分别沿DE ．DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，则下列结论正确的有（ ）
A ．A D EF '⊥
B ．当1BE BF ==时，三棱锥A DEF '-的外接球的表面积为6π
C ．当1
2
BE BF ==
时，三棱锥A DEF '-的体积为12
D ．当1
2
BE BF ==
时，点A '到平面DEF
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 是虚数单位，则
11i
i
+=-__________． 14．若函数log (1)8(01)a y x a a =-+>≠且的图像过定点P ，且点P 在幂函数()()f x x R α
α=∈的图像
上，则12f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
__________． 15．若一个圆的圆心是抛物线2
8x y =
20y --=相切，则该圆的标准方程为
__________．过点()2,2P --作该圆的两条切线P A ．PB ，切点分别为A ．B ，则直线AB 的方程为__________．（第一个空2分，第二个空3分）
16．某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值
范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在(1,)+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，525S =，112(2)n n n a a a n -+=+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若()*1
1
n n n b n N a a +=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）
在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c
，且a =
2sin
sin 2
B C
b B +=．
（1）求sin A ；
（2）如图，M 为边AC 上一点，且2MC MB =，2
ABM π
∠=，求ABC △的面积．
19．（12分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD BC ∥，AD CD ⊥，
224PA BC AD CD ====，E 为BC 的中点，设Q 为PC 上一点．
（1）求证：DE PC ⊥；
（2）若直线EQ 与平面P AC
，求二面角E AQ C --的余弦值．
20．（12分）
某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是1
2
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；
（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望； （3）求这位参赛者闯关成功的概率． 21．（12分）
已知点A 、B 坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是1
2
-． （1）试求点P 的轨迹Γ的方程；
（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹厂相交于M ．N 两点，过点M
作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．
22．（12分）
已知函数2
2
()1ln f x x ax a x =++-． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若0a =，且(0,1)x ∈，求证：
2
()2ln 122x
f x x x e x
-+-<． 2021年宜昌市高三年级二月联考
数学答案
13．1 14．
18
15．2
2
(2)4x y +-=，220x y +-= 16．(,4]-∞-
17．（1）∵112(2)n n n a a a n -+=+≥，∴11(2)n n n n a a a a n +--=-≥
∴{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，
∵23a =，525S =，∴113
545252
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨
=⎩， ∴21n a n =-． （2）
1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+
1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭． 18．（1）∵2sin
sin 2B C b B +=，∴2sin sin 2A
b B π-=， ∴2sin cos sin 2
A
B A B =，
而sin 0B ≠， ∴2cos
cos 222A A A =，又cos 02
A
≠， ∴sin
2A =，∴cos 2A =， ∴4
sin 2sin
cos 225
A A A ==． （2）由（1）可得：4cos cos sin 25BMC A A π⎛
⎫
∠=+
=-=- ⎪⎝
⎭，3
sin 5
BMC ∠=， 在BMC △中，2222cos BC MB MC MB MC BMC =+-⋅⋅∠
即222
4414142255
MB MB MB MB MB ⎛⎫=+-⋅⋅-= ⎪
⎝⎭，
∴MB =
∵4sin 5A =
，∴4
tan 3
MB A AB ==
，∴4AB =
∴11528ABM S AB MB =
⋅=△，1
sin 32
BMC S MB MC BMC =⋅⋅∠=△， ABC △的面积为1539
388
+=．
19．（1）由题意得DE AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，∴PA DE ⊥．
又PA AC A =，∴DE ⊥平面P AC ，∴DE PC ⊥． （2）设AC
DE O =，连接OQ ，由（1）得：DE ⊥平面P AC ，
∴EQO ∠为EQ 与平面P AC 所成的角，
∴tan 2
OE EQO OQ ∠=
=
，∵EO =2OQ =， ∴Q 为PC 的中点
以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， ∴(0,0,0)A ，(2,0,0)E ，(2,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,1,2)Q ，(0,2,0)D ， 设平面AEQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，
∴0
n AE n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩，
令1z =-，∴2y =，0x =，∴(0,2,1)n =- 易得平面ACQ 的一个法向量为(2,2,0)DE =-，
∴10
cos ,5||||
DE n DE n DE n
⋅〈〉=
=-⋅， ∴二面角E AQ C --的余弦值为
5
． 20．（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =
∴()()()
123123123P P A A A P A A A P A A A =++
22121112143323323329
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--
()1231(30)18P P A A A ξ=-==
，()
1231(20)9P P A A A ξ=-==， ()1231(0)9P P A A A ξ===，()
1232
(10)9P P A A A ξ===，
()1231(20)18P P A A A ξ===，()
1231
(30)9P P A A A ξ===，
()
1231(50)9P P A A A ξ===，()1232
(60)9
P P A A A ξ===，
∴ξ的分布列为：
()9
E ξ=
． （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4
(30)(50)(60)9
P P P P ξξξ==+=+==． 21．（1）设(),P x y ，由题意得：12
PA PB k k ⋅=-
1
2=-，化简得22184x y +
=．
又x ≠±，
∴点P 的轨迹方程为22
1(84
x y x +=≠±． （2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上，
由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，
与22
184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，
12242m y y m +=
+，12
24
2
y y m -=+， ∴()1212my y y y =-+，
21
12:(4)4
y y ND y x y x -=
+++，令0y =， ∴()()
121
22121424y x y my x y y y y +++=-
=---
()121121
2121
221y y y my y y y y y y -+++=-
=-=--，
3x =-，
∴直线ND 过定点()3,0-．
方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，
与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，
12242m y y m +=
+，122
4
2
y y m -=+，
()12422m y m -=+
，()
22
422m y m +=+， ()2112121
122(4)2:(4)42
y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=
++
2244)2222m x m m m my -+++++=
+
224)3)2222
x x m m my my ++++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-，
22．（1）当1a =时，2
()1ln f x x x x =++-，
∴1(1)(21)
()12x x f x x x x
--+'=
+-=
，
令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >， ∴()f x 的单调递增区间为(]
0,1，单调递减区间为[1,)+∞． （2）当0a =时，()1ln f x x =+，
∴
22
()2ln 11ln 12222x x f x x x x x e x e x
--+-<⇔+-<，
即()
3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，
令()(1ln )(01)g x x x x =-<<，∴()ln 0g x x '=->， ∴()g x 在()0,1上单调递增，∴()()11g x g <=． 令()
3()221x h x e x x =-++， ∴()
32()2623x h x e x x x '=--++， 令3
2
()2623x x x x ϕ=--++，
∴2()6122x x x ϕ'=--+在()0,1上递减，
又(0)20ϕ'=>，(1)160ϕ'=-<，
∴0(0,1)x ∃∈使()00x ϕ'=，且()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增，
()0,1x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减，
而(0)30ϕ=>，(1)30ϕ=-<，
∴1(0,1)x ∃∈使()10x ϕ=，即()10h x '=，
()10,x x ∈时()0h x '>，()h x 单调递增，()1,1x x ∈时()0h x '<，()h x 单调递减，
而(0)1h =，(1)h e =，∴()1h x >恒成立，
∴()()g x h x <，即()
3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<， 即2
()2ln 122x
f x x x e x
-+-<．。