甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题 Word版含解析

天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试
数学文科试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】={1,3}U C A -，则(){1
}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.已知平面向量(1,)a m =r ，(3,1)b =-r 且(2)//a b b +r
r r ，则实数m 的值为（ ）
A.
13
B. 13
-
C.
23
D. 23
-
【答案】B 【解析】
(2)//a b b +r
r r (1,21)//(3,1)m ⇒-+-13(21)13
m m ⇒-+=-⇒=-,选B.
3.“2211og a og b <”是“11
a b
<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以11
0a b
>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11
a b
<”的既不充分也不必要
条件. 故选D
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.
4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75
C. 90
D. 105
【答案】B 【解析】
3482585325
a a a a a a a ++=++== ，即
525
3
a =
，而
()1995925
99752
3
a a S a +=
==⨯
= ，故选B.
5.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D 【解析】
∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--
当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D
6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是
A. 2
21x y x =-- B. 2sin 41
x x y x ⋅=+
C. ln x y x
=
D. (
)
2
2e x
y x x =-
【答案】D 【解析】
对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2x
y =趋向于0，21y x =+趋向于+∞
∴函数2
21x y x =--的值小于0，故排除A
对于B ，∵sin y x =是周期函数
∴函数2sin 41
x x
y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B
对于C ， ∵ln x
y x
=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln x
y x
=
<，故排除C 对于D ，∵函数()2
2211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0x
y e =>恒成立
∴2()2x
y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，
y 趋向于+∞
故选D
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
7.已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，02
0210x x --≤则下列选项中是
假命题的为（ ） A. p q ∧
B. ()p q ∧⌝
C. p q ∨
D.
()p q ∨⌝
【答案】B 【解析】 【分析】
分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可.
【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.
取00x N =∈，满足02
0210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．
【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.
8.平面上三个单位向量,,a b c r r r 两两夹角都是23
π
，则a b -r r 与a c +r r 夹角是（ ）
A.
3
π
B.
23
π C.
12
π
D.
6
π 【答案】D 【解析】
由题意得，向量,,a b c r r r 为单位向量，且两两夹角为23
π
，
则3,1a b a c -=+=v v v v
，
且
222213()()111cos 11cos 11cos 133322
a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=
v v v v v v v v v v v
，
所以a b -r r 与a c +r r 的夹角为3
()()32cos 2
31a b a c a b a c
θ-⋅+==
=⨯-⋅+v v v v v v v v ，且0θπ≤≤， 所以a b -r r 与a c +r r 的夹角为6
π
，故选D.
9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ）
A. 40
B. 35
C. 5
D. 12
【答案】C 【解析】 【分析】
数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．
【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ．
【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.已知函数()sin 333f x x x ππωω⎛
⎫
⎛⎫=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A. 20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B. 12,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D.
13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx ()0ω>可得[﹣2πω，2π
ω
]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣
2πω，
2πω]⊇[3,42ππ-]，可解得0＜ω≤2
3
，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得14 ⨯
2πω 2π≤，得1
4
ω≥ ，进而得解．
【详解】()sin 3cos 33f x x x ππωω⎛⎫
⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭=2sinωx ()0ω>， ∴[﹣
2πω，2π
ω
]是函数含原点的递增区间． 又∵函数在[3,42
ππ
-
]上递增，
∴[﹣2πω，
2πω]⊇[3,42
ππ-]， ∴得不等式组：﹣2πω≤34π-，且2π≤2πω
， 又∵ω＞0， ∴0＜ω≤
23
， 又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知
14 ⨯ 2πω 2π≤且54 ⨯ 2πω
2π> 可得ω∈[
14，5)4．综上：ω∈12,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选：B ．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．
11.如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中
点，则AM AO ⋅u u u u v u u u v
的值为（ ）
A. 3
B. 12
C. 6
D. 5
【答案】D 【解析】 【分析】
取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求
AM AO AD AO AE AO
⋅=⋅+⋅
u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，由数量积的定义可得,
AD AO AD AE AO AE
⋅=⋅=
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，代值即可．
【详解】如图所示，取AB,AC的中点,D E，且O为ABC
∆的外心，可知OD AB,OE AC
⊥⊥，
∵M是边BC的中点，∴
1
()
2
AM AB AC
=+
u u u u r u u u r u u u r
.
11
AM()()
22
AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO
⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
由数量积的定义可得cos,
AD AO AD AO AD AO
⋅=
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
而cos,
AO AD AO AD
=
u u u v u u u v u u u v u u u v
，故
2
2
2
4
||4
22
AB
AD AO AD
⎛⎫⎛⎫
⎪
⋅====
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
u u u v
u u u v u u u v u u u v
；
同理可得
2
2
2
2
||1
22
AC
AE AO AE
⎛⎫⎛⎫
⎪
⋅====
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
u u u v
u u u v u u u v u u u v
，
故415
AM AO AD AO AE AO
⋅=⋅+⋅=+=
u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
.
故选：D．
【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．
12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，()()
2
log2
f x x x b
=+++，则()3
f x>
的解集为（）
A. ()(),22,-∞-+∞U
B. ()(),44,-∞-+∞U
C. ()2,2-
D. ()4,4-
【答案】A 【解析】 【
分析】
由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，利用()00f =求出b 的值.然后解()3f x >这个不等式，求得x 的取值范围.
【详解】由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，故()20log 2010f b b =++=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()()2log 21f x x x =++-，这是一个增函数，且()00f =，所以()0f x ≥，故()()33f x f x >⇔>，注意到()23f =，故2x >.根据奇函数图像关于原点对称可知，当2x <-时，()3f x <-，()3f x >.综上所述，()(),22,x ∈-∞-⋃+∞.
故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值
不等式的解法.属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知112,1,,,1,2,322a ⎧
⎫
∈---⎨⎬⎩
⎭
，若幂函数()f x x a =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =____． 【答案】1- 【解析】 【分析】
先根据单调性判断出a 的正负，然后根据奇偶性判断出a 的可取值. 【详解】112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---
⎨⎬⎩⎭
Q 幂函数()f x 在(0,)+∞上递减， ∴ 0a <，即12,1,2a ⎧
⎫∈---⎨⎬⎩⎭
又因为()f x x a
=为奇函数，
∴ 1a =-． 故答案为：1-.
【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在(0,)+∞递增，若幂指数小于零时，则幂函数在(0,)+∞递减.
14.将函数2sin3y x =的图象向左平移π
12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为___． 【答案】2- 【解析】 【分析】
先由平移得f(x)的解析式，再将
π
3
代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+
π)12=2sin(3x+π)4,则π5πf 2sin 234⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
故答案为2-
【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题
15.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*
21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．
【答案】63 【解析】 【分析】
根据n S 和n a 关系得到数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案. 【详解】当1n =时，1121a a =-，得11a =，
当2n …
时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，
两式作差可得：1
22
n n n
a a a
-
=-，则：
1
2
n n
a a
-
=，
据此可得数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，
其前6项和为
6
6
21
63
21
S
-
==
-
．
故答案为63．
【点睛】本题考查了等比数列的前N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.
16.在同一个平面内，向量,,
OA OB OC
u u u r u u u r u u u r
的模分别为1,1,2,OA
u u u r
与OC
u u u r
的夹角为α，且
tan7,OB
α=
u u u r
与OC
u u u r
的夹角为45o，若()
,
OC mOA nOB m n R
=+∈
u u u r u u u r u u u r
，则
m n
+=_________．
【答案】3
【解析】
【详解】以OA为x轴，建立直角坐标系，则()
1,0
A，由OC
u u u v
2与OA
u u u v
与OC
u u u v
的夹角为α，且tan7
α=知，22
cos
1010
sin
αα
==，可得
17
,,
55
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
()()
()
cos45,45
B sin
αα
++
o o，
34
,
55
B
⎛⎫
∴-
⎪
⎝⎭
，由OC mOA nOB
u u u v u u u v u u u v
=+可得
13
173455
,,,
74
5555
55
m n
m n n
n
⎧
=-
⎪⎪
⎛⎫⎛⎫
=-⎨
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎪=
⎪⎩
57
,
44
m n
==，3
m n
∴+=，故答案为3.
【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．
三、解答题：共70分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ； （2）若7c =
ABC ∆的面积为
33
2
，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3
C π
=；（2）57.
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ； （2）根据
133
sin C 2ab =
πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为57．
【详解】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，
()2cos sin sin C ΑΒC +=．
故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =
，所以π
C 3
=． （2）由已知ABC ∆的面积为
33
2，所以133sin 22
ab C =． 又πC 3=，所以6ab =．因为2222271
cos 2122
a b c a b C ab +-+-=== ，
所以2213a b +=，从而()2
25a b +=．解得：5a b +=， 所以ΑΒC △的周长为57．
【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式解三角形，常用的解题方法是利
用正弦定理或余弦定理进行“边化角”或“角化边”的转换，本题属于基础题.
18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56
44
100
(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
(3)从(2)中抽取的
5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率. 参考数据：
()2P K k >
0.10
0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）2；（3）3
5
. 【解析】 【分析】 （1）计算2K
的值，对比题目所给参考数据可以判断出没有
95%把握认为“微信控”与“性
别”有关.（2）女性用户中，微信控和非微信控的比例为30:203:2=，由此求得各抽取的人数.（3）利用列举法以及古典概型概率计算公式，求得抽取3人中恰有2人是“微信控”
的概率.
【详解】解：（1）由2×2列联表可得：
()
()()()()
()2
2
21002620302450
0.649 3.84150505644
77
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
=
≈<++++⨯⨯⨯， 所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；
（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人； （3）设事件M =“从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人，抽取3人中恰有2人是“微信控””
抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为,,A B C ； “非微信控”2人分别记
,D E .
则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：
,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共有10种；
抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：,,,,,ABD ABE ACD ACE BCD BCE ，共有6种， 所以()63105
P M =
=. 【点睛】本小题主要考查22⨯联表独立性检验的知识，考查分层抽样，考查利用列举法求古典概型，属于中档题.
19.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB //EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，已知AB ＝2，EF ＝1．
（I ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；
（II ）若BC ＝1，求四棱锥F －ABCD 的体积．
【答案】（I ）见解析;（II ）3. 【解析】 【分析】
（I ）通过证明,AF BF AF BC ⊥⊥，证得AF ⊥平面CBF ，由此证得平面DAF ⊥平面
CBF .（II ）矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，点F 到边OA
的
距离即为四棱锥
F ABCD 的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积. 【详解】（I ）
∵AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上
∴AF ⊥BF
又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直且它们的交线为AB ，CB ⊥AB
∴CB ⊥圆O 所在平面 ∴AF ⊥BC 又BC 、 BF 为平面CBF 上两相交直线
∴AF ⊥平面CBF 又AF DAF 面⊂
∴平面DAF ⊥平面CBF ．
（II ）连接OE
∵AB ＝2，EF ＝1，AB //EF
∴OA ＝OE ＝1，即四边形OEF A 为菱形 ∴AF ＝OA ＝OF ＝1 ∴等边三角形OAF 中，点F 到边OA 的距离为32
又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直
∴点F 到边OA 的距离即为四棱锥F －ABCD 的高 ∴四棱锥F －ABCD 的高3
h = 又BC ＝1
∴矩形的ABCD 的面积S ABCD ＝212AB BC ⋅=⨯=
∴133
2323
F ABCD V -=
⨯⨯=
【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.
20.已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+u u u r u u u r u u r
．
()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；
()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出
直线方程．
【答案】（1）22143x y +=（2）23
y 23
x =±+
【解析】 【分析】
（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．
（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．
【详解】(1) 因为23OP OA OB =+u u u v u u u v u u u v
即()())()
0000,2,030,23x y x y x == 所以002,3x x y = 所以0013,23
x x y y =
=
又因为1AB =,所以22
001x y +=
即:2
2
13123x y ⎛⎫
⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=
(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+
联立直线1l 和椭圆方程22214
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得: (
)2
2
341640k
x
kx +++=
由>0∆,得2
1
4
k >
()* 设()()
112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点
所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v
即12120x x y y +=
也即()()1212220x x kx kx +++= 即(
)()2
12
121240k
x x
k x x ++++= 将(1)式代入,得(
)22
2
4132403434k k
k k
+-
+=++ 即(
)()2
2
241324340k
k k +-++=
解得2
43k =
,满足（*）式，所以23k = 所以直线3
23
y x =±+
21.已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自
然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21
()(352)02
f x x x k +
--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】
（1）对()f x 求导得()2x
f x e x '=-，根据函数()
f x 的
图象在0x =处的切线为y bx =，
列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()2
1x f x e x =--，根据
()()
2135202f x x x k +
--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215
122
x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215
122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，
()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304
h ⎛⎫> ⎪⎭
'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00h x '=，
利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()2
2x
f x e x a b =-++，()2x
f x e x '=-.
由题意知()()01201
011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨
⎨==='⎪⎩⎩
. （2）由（1）知：()2
1x
f x e x =--，
∴()()
21
35202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 215
1022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立
215
122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.
令()215122x h x e x x =+--，则()52x
h x e x ='+-.
由于()'
10x
h x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.
又()3002h =-<'，()3102h e =->'，1
21202h e ⎛
⎫=-< ⎪'⎝⎭，
3
43737104444h e ⎛
⎫=->+-⎪'= ⎝⎭
，
所以存在唯一的013,24x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.
所以()()02000min 15
122x
h x h x e x x ==+
--. 又()00h x '=，即00502x
e x +-=，∴005
2
x e x =-. ∴ ()()
22
00000051511732222
h x x x x x x =-+--=
-+. ∵ 013,24x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
. 又因为215
122
x
k e x x ≤+
--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭:3
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】
（1）首先利用2
2
1cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{
x cos y sin ϕ
ϕ
=+=（φ为参数）进行消参数
运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）
设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直
线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】
（1）圆C 的普通方程为()2
211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（2）设()11,ρθP ，则由2{3
cos ρθ
πθ==解得11ρ=，1
3πθ=，得1,3P π⎛⎫
⎪⎝⎭
； 设()22Q ,ρθ，则由
2sin 33
3{
3
πρθπ
θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭=
解得23ρ=，23
π
θ=
，得3,
3Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
； 所以Q 2P =
【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.
23.已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求
111
a b c
++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；
（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．
【详解】（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨
->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1
213
x x ≥⎧⎨+>⎩，
解得{|11}x x x 或-.
（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，
()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫
++=++++ ⎪⎝⎭
133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1
322233
≥
+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
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