2020版高考数学一轮复习不等式、推理与证明课时规范练32基本不等式及其应用文

课时规范练32 基本不等式及其应用
基础巩固组
1.下列不等式一定成立的是()
A.lg x2+>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.<1(x∈R)
2.若a,b都是正数,则1+1+的最小值为()
A.7
B.8
C.9
D.10
3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是()
A. B.4 C. D.5
4.(2018江西南昌测试三,10)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为()
A. B. C. D.1
5.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y满足x>y,x+2y=3,则的最小值为()
A. B.3 C. D.
6.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lg a+lg b=0且a≠b,则的取值范围为()
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.[2,3)∪(3,+∞)
D.(2,3)∪(3,+∞)
7.(2018天津十二中学联考一,12)已知a>b>0,则2a+的最小值为()
A.2+2
B.
C.2
D.
8.(2018河北唐山迁安三中期中,9)设x,y均为正实数,且=1,则xy的最小值为()
A.4
B.4
C.9
D.16
9.若对于任意x>0, ≤a恒成立,则a的取值范围是.
10.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.
11.(2018河北唐山二模,23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.
(1)求证:a+b≤2;
(2)判断等式=c+d能否成立,并说明理由.
12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)1+1+≥9.
综合提升组
13.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的△ABC内的一点(不含边
界),△PAB,△PAC和△PBC的面积分别为x,y,z,则的最小值是()
A.3
B.
C. D.
14.(2018广东广州仲元中学期末,11)已知x,y∈R+,且满足x+2y=2xy,则x+4y的最小值为()
A.3-
B.3+2
C.3+
D.4
15.(2018湖南澧县一中一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则
的最小值为.
创新应用组
16.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t 的最大值为b,若a>0,b>0,则的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
课时规范练32 基本不等式及其应用
1.C 当x>0时,x 2
+≥2·x·=x ,所以lg x 2
+≥lg x (x>0),故选项A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;由基本不等式可知,选项C 正确;当x=0时,有=1,故选项D 不正确.
2.C ∵a ,b 都是正数,∴1+1+
=5+≥5+2
=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C .
3.C 依题意,得
·(a+b )= 5+≥5+2
=,
当且仅当
即a=,b=
时取等号,
即
的最小值是.
4.A 因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy ,左右两边同时除以xy ,得
=1,求
的最大值,即求
的最小值,所以
×1=×=
≥2
≥3,当
且仅当时取等号,所以的最大值为,所以选A . 5.A 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y )+(x+5y )=6,所以
×6=
[(x-y )+(x+5y )]= 10+≥ (10+2)=,
当且仅当x=2,y=时取最小值.故选A .
6.A ∵lg a+lg b=0且a ≠b ,∴lg ab=0,即ab=1.∴·ab=2b+a ≥2=2,当且仅当
a=2b=时取等号.∴的取值范围为[2,+∞),故选A . 7.A ∵a>b>0,2a+=a+b+a-b+
,
∴a+b+≥2
,当且仅当a+b=
时取等号;a-b+
≥2
,当且仅当
a-b=
时取等号.
∴联立解得
∴当时,a+b+a-b+
≥2+2,即2a+取得
最小值2+2.
8.D 将等式化简可得xy-8=x+y ≥2
,解得
≥4,所以xy ≥16,
所以最小值为16.故选D .
9.,+∞
,
因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),则,即的
最大值为
,故a ≥
.
10.[4,12]∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤,
∴6-(x2+4y2)≤,
∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).
∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,
∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).
综上可知4≤x2+4y2≤12.
11.(1)证明由题意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,当且仅当a=b时,取等号.
解得(a+b)2≤4,又a,b>0,所以a+b≤2.
(2)解不能成立.,
因为a+b≤2,
所以≤1+,
因为c>0,d>0,cd>1,
所以c+d=+1,
故=c+d不能成立.
12.证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴
=2=2=2+4≥4+4=8当且仅当a=b=时,等号成立,
∴≥8.
(2)∵1+1+=+1,
由(1)知≥8.
∴1+1+≥9.
13.A∵x+y+z=1,∴+1≥2+1=3,当且仅当x=时取等号,∴的最小值为3,故选A.
14.B由题意可得(2y-1)(x-1)=1,变形为(x-1)(4y-2)=2,所以,所以
x+4y≥2+3,当且仅当x-1=4y-2时,等号成立,即x=+1,y=,选B.
15.4由题意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,则
=+≥2+2=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.∴
的最小值为4.
16.A曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,
(x+6)2+(y-6)2可以看作点M到点N(-6,6)的距离的平方,圆C上一点M到N的距离的最大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点,
所以直线AN的方程为y=-(x-2),
由解得(舍去),
∴当时,t取得最大值,且t max=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b, ∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,
∴[(a+1)+b]=+2≥1,当且仅当,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立.
故选A.。