2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷(理科)(5月份)

2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷（理科）
（5月份）
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{(,)|210}A x y x y =-+=，{(,)|0}B x y x ay =+=，若A B =∅，则实
数(a = ) A ．12
-
B ．2
C ．2-
D ．
12
2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数5
12z i
=-，则下列结论正确的是( ) A ．z 的共轭复数是12i -+ B ．z 的虚部是2i
C ．2z R ∈
D ．||z =
3．（5分）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>P ，则该双
曲线的方程是( )
A ．2
212x y -=
B ．2
212
y x -=
C ．22
124x y -=
D ．22
142
x y -=
4．（5分）设平面向量1e 与向量2e 互相垂直，且122(3,4)e e +=-，若1||3e =，则2||(e = )
A B ．2 C ．D ．4
5．（5分）设0.73a =，0.81
()3
b -=，0.7log 0.8
c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6．（5分）曲线2()f x x xlnx =+在点(1，f （1）)处的切线与直线10x ay --=平行，则(a = )
A ．13
B ．
12
C ．1
D ．2
7．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，535S =，则10(S = ) A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)2
2
π
π
θ
-
的图象上相邻的两条对称轴之间
的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移3
π后得到奇函数()g x 的图象，则(0)(f = ) A ．
12
B ．1
2
-
C
D
． 9．（5分）2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有( ) A ．28种
B ．32种
C ．36种
D ．44种
10．（5分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆是等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC
，AB =
，AC =60CAB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球体积为( )
A ．
43
π
B
C ．
323
π
D
11．（5分）已知函数2,0
()(1),0x e x f x ax lnx x -⎧-=⎨->⎩
，若不等式()1f x -恒成立，则实数a 的取值
范围是( ) A ．[1-，0]
B ．(1-，0]
C ．[0，1]
D ．[0，]e
12．（5分）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是圆224x y +=上两个不同的点，且满足12122x x y y +=，则1122|8||8|x y x y +-++-的最大值为( ) A
．
B
．8C
．D
．16+
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．（5分）
已知二项式(n x -的展开式中，二项式系数之和为32．则该展开式中含2x 项
的系数为 ．
14．（5分）已知实数x ，y 满足3020220x x y x y +⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
，则2z x y =-的最小值为 ．
15．（5分）已知等比数列{}n a 满足123456a a a a a ++++=，33a =，则12345
11111
a a a a a ++++= ． 16．（5分）已知抛物线22(0)x py p =>与圆225x y +=相交于点0(2,)A x ，点A 关于原点O 对
称的点为B ．若过点B 的直线（且不过点)A 与抛物线交于C ，D 两点，则直线AC 与AD 的斜率之积为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos213cos()A B C =++． （1）求角A 的值；
（2）点D 在线段AC 上，BD BC =，13
cos 14
ABD ∠=
且5AC =，求边长BD ．
18．（12分）等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点且
1AD CE ==．如图甲，将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使四棱锥1A DBCE -的体积
最大．连接
1A B
，
1A C
，如图乙，点M 为
1A D
的中点
.
（1）求证：//EM 平面1A BC ； （2）求二面角1C A E B --的余弦值．
19．（12分）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A ，B 两点处进行套圈，已知甲在A ，B 两
点的命中率均为13，乙在A 点的命中率为1
(1)2
p p <，在B 点的命中率为21p -，且他们每
次套圈互不影响．
（1）若甲在A 处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A ，B 两点各套圈一次，且在A 点命中计2分，在B 点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X ，乙的得分为Y ，写出X 和Y 的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若EX EY >，求p 的取值范围．
20．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的左、右焦点分别为12(F F ，且
点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，点O 为坐标原点，则当AOB ∆的面积S 最大时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
21．（12分）已知函数()2()x f x x ae a R =-∈，()(1)g x x x lnx =-+． （1）讨论函数()y f x =，x R ∈的单调性；
（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围． （二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为412
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）、在以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，曲线C
的极坐标方程为2sin()33
π
ρθ=+-．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的直角坐标为(4,0)-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，弦AB 的中点为E ，N 是曲线C 上异于A ，B 的点，求MNE ∆面积的最大值． 23．已知函数()||2|1|5(0)f x x m x m =++-->的一个零点为2， （1）求不等式()3f x <的解集；
（2）设函数()()|1|5g x f x x =--+的最小值为t ，且正实数a ，b ，c 满足1
2a b t c
++
=，
求证：16
3
a b ab c c +
+
．
2021年江西省重点中学协作体高考数学第二次联考试卷（理科）
（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{(,)|210}A x y x y =-+=，{(,)|0}B x y x ay =+=，若A B =∅，则实
数(a = ) A ．12
-
B ．2
C ．2-
D ．
12
【解答】解：
A
B =∅，
∴直线210x y -+=和直线0x ay +=平行， ∴
121
a
=-， ∴1
2
a =-．
故选：A ．
2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数5
12z i
=-，则下列结论正确的是( ) A ．z 的共轭复数是12i -+ B ．z 的虚部是2i
C ．2z R ∈
D ．||z =【解答】解：55(12)
1212(12)(12)
i z i i i i +=
==+--+， :A z 的共轭复数为12i -，A ∴错误， :B z 的虚部为2，B ∴错误，
222:(12)14434C z i i i i =+=++=-+，C ∴错误，
2:||1D z =，D ∴正确．
故选：D ．
3．（5分）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>P ，则该双
曲线的方程是( )
A ．2
212
x y -=
B ．22
12
y x -= C ．22124x y -= D ．22
142x y -=
【解答】解：双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
P ，
可得：2222
22
21c
a a
b
c a b ⎧=⎪⎪
⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得1a =
，b =
c =
所以双曲线方程为：2
2
12
y x -=．
故选：B ．
4．（5分）设平面向量1e 与向量2e 互相垂直，且122(3,4)e e +=-，若1||3e =，则2||(e = )
A
B ．2 C
．D ．4
【解答】解：平面向量1e 与向量2e 互相垂直，∴120e e ⋅=，
122(3,4)e e +=-，1||3e =，
2
2
2
2121211222|2|(2)4490495e e e e e e e e e ∴+=+=+⋅+=++=+， ∴2
24e =，
2||2e ∴=， 故选：B ．
5．（5分）设0.73a =，0.81()3
b -=，0.7log 0.8
c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【解答】解：0.73a =，0.80.81
()33
b -==，
则1b a >>，
0.70.7log 0.8log 0.71<=，
c a b ∴<<，
故选：D ．
6．（5分）曲线2()f x x xlnx =+在点(1，f （1）)处的切线与直线10x ay --=平行，则(a =
)
A ．13
B ．
12
C ．1
D ．2
【解答】解：由题意，()21f x x lnx '=++，
故曲线2()f x x xlnx =+在点(1，f （1）)处的切线斜率k f '=（1）2013=++=， 该切线与直线10x ay --=平行，而直线10x ay --=的斜率1k a
=． ∴
13a =，即13
a =． 故选：A ．
7．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，535S =，则10(S = ) A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由53535S a ==，解得57a =，所以32752d a a =-=-=，12523a a d =-=-=．
所以10109
103230901202
S ⨯=⨯+⨯=+=． 故选：C ．
8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)2
2
π
π
θ
-的图象上相邻的两条对称轴之间
的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移3
π
后得到奇函数()g x 的图象，则(0)(f = )
A ．
12
B ．1
2
-
C D ． 【解答】解：函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)2
2
π
π
θ
-
的图象上，
相邻的两条对称轴之间的距离为1222
ππ
ω⨯=，2ω∴=，()sin(2)f x x θ=+．
将函数()f x 的图象向左平移
3π后得到奇函数2()sin(2)3
g x x πθ=++的图象， ∴23k πθπ+=，k Z ∈，3πθ∴=，()sin(2)3
f x x π=+，
则(0)sin 3f π
==， 故选：C ．
9．（5分）2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，
且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有( ) A ．28种
B ．32种
C ．36种
D ．44种
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①高校甲排第二个，丁高校排第三个，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，有2
248A =种
顺序，
剩下两个高校全排列，有222A =种顺序，
则有8216⨯=种不同的顺序；
②高校甲排第三个，丁高校排第四个，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，有2
2
48A =种顺序，
剩下两个高校全排列，有2
2
2A =种顺序， 则有8216⨯=种不同的顺序； 则有161632+=种不同的顺序， 故选：B ．
10．（5分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆是等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，AB =，
AC =60CAB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球体积为( )
A ．43
π
B C ．
323
π
D 【
解答
】解
：
在ABC
∆中，
3BC =，
所以222AC AB BC =+，则90ABC ∠=︒， 设点D 是AC 的中点，则D 是ABC ∆的外心， 又PAC ∆是等边三角形，则PD AC ⊥，
又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 所以PD ⊥平面ABC ，
则PAC ∆的外心即三棱锥P ABC -外接球的球心，
所以球的半径122R =
=，
则球的体积为343233
V R π
π==．
故选：C ．
11．（5分）已知函数2,0
()(1),0x e x f x ax lnx x -⎧-=⎨->⎩
，若不等式()1f x -恒成立，则实数a 的取值
范围是( ) A ．[1-，0]
B ．(1-，0]
C ．[0，1]
D ．[0，]e
【解答】解：根据题意，当0x 时，即在区间(-∞，0]上，1
()2()2x x f x e e
-=-=-，
则()f x 在区间(-∞，0]上为减函数，则有()(0)1f x f =-，
若不等式()1f x -恒成立，必有在区间(0,)+∞上，()(1)1f x ax lnx =--恒成立， 设()(1)g x x lnx =-，(0,)x ∈+∞， 其导数()11g x lnx lnx '=+-=，
在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 为减函数，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 为增函数， 故在区间(0,)+∞上，()g x g （1）1=-，其()g x 为最大值；
在区间(0,)+∞上，()(1)1f x ax lnx =--恒成立，即()1ag x -恒成立， 当0a =时，不等式为01-，恒成立， 当0a <时，不等式等价于1
()g x a
-，不能恒成立，不符合题意， 当0a >时，不等式等价于1()g x a -
，则有11a
--，即
1
1a
，又由0a >，解可得01a <，
综合可得：01a ，即a 的取值范围为[0，1]； 故选：C ．
12．（5分）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是圆224x y +=上两个不同的点，且满足12122x x y y +=，则1122|8||8|x y x y +-++-的最大值为( ) A ．2382
B ．86
C ．43162
D ．1626+
【解答】解：
12122OA OB x x y y ⋅=+=，1
cos 2
||||OA OB AOB OA OB ⋅∴∠=
=⋅，
0AOB π∠，∴3
AOB π
∠=
，
不妨设12cos x θ=，12sin y θ=，22cos()3x πθ=+，22sin()3y π
θ=+，
1182cos 2sin 8)804x y π
θθθ+-=+-=+-<，同理可得2280x y +-<， 11221212|8||8|16()x y x y x x y y ∴+-++-=-+++
16[2cos 2cos()2sin 2sin()]33
ππ
θθθθ=-+++++
16(2cos cos 2sin sin )θθθθθθ=-+++
16[(3(3]θθ=-+
16)θϕ=+
16)1626θϕ=-++
其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=
=+．
故1122|8||8|x y x y +-++-的最大值为16+． 故选：D ．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．（5分）已知二项式(n x
-的展开式中，二项式系数之和为32．则该展开式中含2x 项
的系数为 40 ．
【解答】解：二项式系数之和为32． 232n ∴=，得5n =，
则展开式的通项公式552
15
5
((2)k k k
k
k k
k k T C x C x
--
-+=⋅=-⋅，
由522
k
k --
=得332k =，得2k =，
即2x 项的系数22
5
(2)41040C -⋅=⨯=， 故答案为：40．
14．（5分）已知实数x ，y 满足3020220x x y x y +⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
，则2z x y =-的最小值为 19- ．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立30220x x y +=⎧⎨+-=⎩
，解得(3,8)A -，
由2z x y =-，得122z y x =
-，由图可知，当直线122
z
y x =-过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为19-． 故答案为：19-．
15．（5分）已知等比数列{}n a 满足123456a a a a a ++++=，33a =，则12345
11111a a a a a ++++= 2
3
． 【解答】解：等比数列{}n a 的公比为q ，由于满足123456a a a a a ++++=， 所以23211
(1)6a q q q q
⋅++++=， 所以2211
(
1)2q q q q
++++=， 22123453111111112(1)3
q q a a a a a a q q ++++=++++=． 故答案为：
2
3
． 16．（5分）已知抛物线22(0)x py p =>与圆225x y +=相交于点0(2,)A x ，点A 关于原点O 对称的点为B ．若过点B 的直线（且不过点)A 与抛物线交于C ，D 两点，则直线AC 与AD 的
斜率之积为
1
2
． 【解答】解：由题意，设抛物线22(0)x py p =>与圆225x y +=在第一象限内的交点为0(2,)A x ，
2045x ∴+=，2
01x ∴=，即(2,1)A ±将A 的坐标代入22x py =，可得2p =；
不妨令(2,1)A ，则(2,1)B --，
过点B 的直线（且不过点)A 方程设为(2)1y k x =+-， 联立2(2)14y k x x y
=+-⎧⎨=⎩可得24840x kx k --+=，
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，124x x k ∴+=，1284x x k =-+，
2121212121211
12
11144(2)(2)222216
AC AD
x x y y k k x x x x x x ----⋅=⋅=⋅=++---- 121211
[2()4](8484)1616x x x x k k =+++=-+++ 12
=
． 故答案为：
12
． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos213cos()A B C =++． （1）求角A 的值；
（2）点D 在线段AC 上，BD BC =，13
cos 14
ABD ∠=
且5AC =，求边长BD ．
【解答】解：（1）cos213cos()A B C =++ 又2cos 22cos 1A A =-，cos()cos B C A +=-，
22cos 3cos 20A A ∴+-=，即(cos 2)(2cos 1)0A A +-=，
∴1cos 2
A =
，3A π=．
（2）
13
cos 14
ABD ∠=
，22sin cos 1ABD ABD ∠+∠=， ∴33
sin 14
ABD ∠=
， BD BC =，
BDC C ∴∠=∠，
故53
sin sin()sin()sin(2)14
ABC A C A BDC A ABD ∠=+=+∠=+∠= 由正弦定理得
sin sin BC AC
A ABC
=
∠， 7BC ∴=，即7BD =．
18．（12分）等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点且
1AD CE ==．如图甲，将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使四棱锥1A DBCE -的体积
最大．连接
1A B
，
1A C
，如图乙，点M 为
1A D
的中点
.
（1）求证：//EM 平面1A BC ； （2）求二面角1C A E B --的余弦值．
【解答】（1）证明：取BD 的中点N ，连接NE ，则//NE BC ， 在四棱锥1A DBCE -中，//NE BC ，连接MN ，
在△1DA B 中，1//MN A B ，所以平面//MNE 平面1A BC ，所以//EM 平面1A BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）
（2）由1AD CE ==知3DE =，所以222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥．当体积最大时1A D ⊥平面BCDE ．⋯⋯⋯⋯⋯（6分）
以D 为原点，DB 、DE 、1DA 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则133
(,,0)22
C ，(0,3,0)E ，1(0A ，0，1)，(2B ，0，0)．
设平面1CEA 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面1BEA 的法向量为2222(,,)n x y z = 则111100n A E n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，212100n A E n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111
30
13302y z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，22223020y z x z -=-=⎪⎩， 取1(3,13)n =-，2(3,2,23)n =，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 所以125133
cos ,719
n n <=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 所以二面角1C A E B --5133
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 19．（12分）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中
不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A ，B 两点处进行套圈，已知甲在A ，B 两点的命中率均为13，乙在A 点的命中率为1
(1)2
p p <，在B 点的命中率为21p -，且他们每
次套圈互不影响．
（1）若甲在A 处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A ，B 两点各套圈一次，且在A 点命中计2分，在B 点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X ，乙的得分为Y ，写出X 和Y 的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若EX EY >，求p 的取值范围．
【解答】解：（1）设“甲至少命中2次”为事件C ，则P （C ）41
34212111()()33327
C =--⨯⨯=
， 故甲至少命中2次的概率为
11
27
．⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）由题意知，0X =，2，3，5，0Y =，2，3，5，224
(0)()39P X ===，
122(2)(3)339P X P X ====⨯=，211
(5)()39
P X ===，
22(0)(1)(22)2(1)242P Y p p p p p ==--=-=-+， 2(2)2(1)22P Y p p p p ==-=-+， 2(3)(1)(21)231P Y p p p p ==--=-+-， 2(5)(21)2P Y p p p p ==-=-．
X ∴的分布列为
⋯⋯⋯⋯⋯（7分）
Y 的分布列为
∴42215
()023599993
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()83E Y p =-．⋯⋯⋯⋯⋯（10分）
（3）EX EY >， ∴
5833p >-，即7
12
p <， p ∴的取值范围是17
[,
)212
．⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 20．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的左、右焦点分别为12(F F ，且
点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，点O 为坐标原点，则当AOB ∆的面积S 最大时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
【解答】解：（1）由题意知22222
11
2
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，
解得2,a b ==，故椭圆C 的方程为22
142
x y +=；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）
（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，
由2224
x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩
，得222(21)4240k x mkx m +++-=，△2222328168(42)k m k m =-+=-+，
则2121222424,2121mk m x x x x k k -+=-=++，点O 到直线l
的距离d =，
11||22S d AB =⋅⋅=
2222
(42)
2221
m k m
k ++-=⋅+， S
当且仅当22242m k m =+-，即2221m k =+时成立，① 符合△0>，⋯⋯⋯⋯（9分）
此时21200022221
,221x x mk k k x y kx m m k m m m
+==-=-=+=-+=+，
即0000
1,22x m
m k x y y ==-=-代入①式，整理得220001(0)2x y y +=≠， 即点M 的轨迹为椭圆2
21:1(0)2
x C y y +=≠⋯⋯⋯⋯⋯（12分）
21．（12分）已知函数()2()x f x x ae a R =-∈，()(1)g x x x lnx =-+． （1）讨论函数()y f x =，x R ∈的单调性；
（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）()2x f x ae '=-，
当0a 时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 当0a >时，令()20x f x ae '=-=，得2x ln a
=，
则2x ln a <时，()0f x '>，()f x 单调递增；2
x ln a
>时，()0f x '<，()f x 单调递减，
综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，()f x 在2(,)ln a -∞上单调递增，在2
(,)ln a
+∞上单调递减．⋯⋯⋯⋯⋯（5分）
（2）不等式()()f x g x >，即(1)x ae x lnx x <-+， 因为0x e >，所以(1)
x
x lnx x a e -+<，⋯⋯⋯⋯⋯（6分）
令(1)()(1)x x x
x lnx x x x
h x ln e e e -+==⋅+，
令()x
x x e
ϕ=
，1()x x x e ϕ-'=，则当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 所以()x ϕϕ（1），即1
()(0,]x e
ϕ∈，⋯⋯⋯⋯⋯（8分）
令()t x ϕ=，则
(1)(1)x x
x x ln t lnt e e ⋅+=+， 设()(1)m t t lnt =+，则()2m t lnt '=+． 所以当21(0,
)t e ∈时，()0m x '<，当211
(,)x e e
∈时，()0m x '>，
所以()m t 在21(0,
)e 上单调递减，在211
(,)e e 上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 所以2211()(
)min m t m e e ==-．即()h x 的最小值为2
1
e
-， 所以实数a 的取值范围为2
1
(,)e -∞-
．⋯⋯⋯⋯⋯（12分）
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为412
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）、
在以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，曲线C
的极坐标方程为2sin()33
π
ρθ=+-．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的直角坐标为(4,0)-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，弦AB 的中点为E ，N 是曲线C 上异于A ，B 的点，求MNE ∆面积的最大值．
【解答】解：（1）直线l
的参数方程为412
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）
、转换为普通方程为40x +=．
曲线C
的极坐标方程为2sin()33πρθ=+-，根据222
cos sin x y x y ρθρθ
ρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，转换为直角坐标方
程为22(3)(9x y -+=．
（2）点M 恰好在直线l
上，将412
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22(3)(9x y -+=中，
化简整理得2430t -+=，
设A 和B 两点对应的参数分别为1t 和2t ，
则12t t +=1243t t =， 所以点E
对应的参数为
12
2
t t += 又曲线C
的圆心为C ，半径为3的圆， 所以圆心为C 到直线l
的距离2d =
=，所以动点N 到直线EM 最大距离为5，
所以1
()52
MNE max S ∆=⨯⨯=
23．已知函数()||2|1|5(0)f x x m x m =++-->的一个零点为2， （1）求不等式()3f x <的解集；
（2）设函数()()|1|5g x f x x =--+的最小值为t ，且正实数a ，b ，c 满足1
2a b t c
++=，求证：16
3
a b ab c c +
+
． 【解答】解：（1）f （2）|2|30m =+-=，又0m >，1m ∴=， ()|1|2|1|5f x x x ∴=++--，
则1()3343x f x x -⎧<⇔⎨--<⎩，或1123x x -<<⎧⎨--<⎩，或1363x x ⎧⎨-<⎩
，
解得7
13
x -<-或11x -<<或13x <，
∴不等式()3f x <的解集是7|33x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
；
证明：（2）()()|1|5|1||1||(1)(1)|2g x f x x x x x x =--+=++-+--=，
即14a b c ++
=，∴2222112216()2a b
a b a b ab c c c c
=++=+++++
2222222221222111
(22)2[()()()]22a b a b ab a b a b c c c c c =+++++=+++++ 22122222(2)22a b
a b a b
ab ab ab c c
c c c c
++
++++++
3()a b
ab c c
=+
+（当且仅当1a b c ==时，等号成立）
， 故16
3
a b ab c c ++
．。