【2018】甘肃省武威市第六中学2018届高三下学期第四次诊断考试 数学(文)(word版有答案)

甘肃省武威市六中2018届高三第四次诊断考试（2018.04）
文科数学试题
第I 卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合{|2}M x x =≥-，{|12}N x x =<<，则M N = （ ）
A ．{|22}x x -≤<
B ．{|2}x x ≥-
C ．{|2}x x <
D ．{|12}x x <<
2．设i 是虚数单位，则复数i +11
在复平面内所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知向量)()()(.2,,4,3,12,a k c b === 若
()
c b //a 3-，则实数的值为（ ） A.-8 B.-6 C.-1 D.6
4．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出
了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角
6π
α=
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概
率是（ ）
A. 43
B. 23
C.
434- D. 23
1-
5．已知
()
cos ,sin a αα=
，
()()()
cos ,sin b αα=--
，那么“0?a b ⋅=
是“α=
4k ππ+()k Z ∈”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. 圆O ：
22
4x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )
A. [
B. (
C. [1,1]-
D. (1,1)-
7．公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为 ( )
(参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
8．设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则目标函数
13
++=
x y z 的取值范
围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41
B ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛
∞-,441, C ．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--41,4 D (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-⋃-∞-,414, 9.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表面积为
A. π24 B ．π48C ．π96
D ．π384
10.已知双曲线2222:1
1x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，
若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且
12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）
A
．2 B
．2 C.2 D ．3
11.在锐角三角形ABC 中，
a ，
b ，
c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已
知a =
，
22(3)tan b c A +-，
2
2cos 2A B
+1)cosC =，则ABC ∆的面积为（ ）
A
．B
．
C. D
．
12.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且()'()1f x f x +>，设(2)1a f =-，[(3)1]b e f =-，则a ，b 的大小关系为（ ）
A ．a b <
B ．a b >
C ．a b =
D ．无法确定
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若
则
||PQ =______
14．已知函数，若，，且，则的最小值为
____________
15.已知3(,2P 是函数sin()(0)y A x ωϕω=+>图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的
两个最高点，若60MPN ∠=
，则该函数最小正周期是 ____________
16已知定义在R 上的函数
()
f x 满足：函数
()
1y f x =-的图象关于点
()1,0对称，且0x ≥时恒有
()()
2f x f x +=，当
[]
0,1x ∈时，
()1x f x e =-，则
()()20172018f f -+=
__________
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分） 已知数列
{}n a 的前n 项和为12n S a =，，12n n a S +=+.
（1）求证数列
{}n a 为等比数列；
（2）已知2log n
n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .
18．（本题满分12分）
近日,某市举行了教师选拔考试(既有笔试又有面试),该市教育局对参加该次考试的50名教师的笔试成
;
(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数
(3)若该市教育局在分数较高的第三、四、五组中,按分层抽样的方法抽取6名教师,现从这6名教师中抽取3名教师进行面试,求抽到的教师都不来自第四组的概率.
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD
E-中，A B C D
ED平面
⊥，CD
AB//，AD
AB⊥，
1
2
2
AB AD CD
===
．
（1）求证：BDE
BC面
⊥；
（2）当三棱锥BCE
A-的体积等于3
4
时，求四棱锥.
ABCD
E-的表面积．
20. （本题满分12分）
已知
(2,0)
A-，(2,0)
B，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为
3
4
-
.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）设直线l与（1）中轨迹相切于点P，与直线4
x=相交于点Q，且(1,0)
F，求证：90
PFQ
∠= .
21. （本题满分12分）
C
A
B
D E
已知函数
3
()(1)x
a
f x e
x x
=-+
（0
x>，a R
∈）．
（1）若
()
f x在(0,)
+∞上单调递减，求a的取值范围；
（2）当
(3,)
a e
∈--时，判断关于x的方程()2
f x=的解得个数．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，)
以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.
曲线
.
(1)若直线与曲线相交于点，证明：为定值；
(2)将曲线
上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩
形周长的最大值.
23. （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若直线与函数的图象有公共点,求的取值范围.
武威六中2018届高三第四次模拟文科数学试题参考答案
选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B D B B C A C B A A
二．填空题：13. 14. .15. 6 16. 1e -
三、解答题： 17．（1）∵
12n n a S +=+,∴12(2)n n a S n =-+≥. 两式作差得：
11n n n n n a a S S a +--=-=，
所以：12n n a a +=，即1
2(2)
n n a n a +=≥.-----------------5分 又当1n =时：2124a S =+=，∴2
1
2
a a =成立；
所以数列
{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，--------6分
(2)由（1）可得：1.
12()n n n
a a q n N -==∈.2log n n
b a n ==，-----8分 11111
(1)1n n b b n n n n +==-
++， ----------------------10分
∴
111111()()...()12231n T n n =-+-++-+1111n n n =-=
++.--------12分 18. (1)由频率分布表可得,,
解得. -----------------3分
补全的频率分布直方图如下: -----------------4分
(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数为 (55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74. -----------------7分
(3)由(1)知,第三、四、五组的教师的人数分别为15、10、5,按分层抽样的方法,各组抽取的人数分别为3,2,1. -----------------8分
记第三组中的3人分别为a1,a2,a3,第四组中的2人分别为b1,b2,第五组中的1人为c,则抽取3人的所有情况为{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a2,c},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2},{a1,a3,c},{a1,b1,b2},{a1,b1,c},{a1,b2,c },{a2,a3,b1},{a2,a3,b2},{a2,a3,c},{a2,b1,b2},{a2,b1,c},{a2,b2,c},{a3,b1,b2},{a3,b1,c},{a3,b2,c},{b1,b2, c},共20种; -----------------10分
记“抽到的教师都不来自第四组”为事件M,则M 包含的情况为{a1,a2,a3},{a1,a2,c},{a1,a3,c},{a2,a3,c},共4种. -----------------11分
所以抽到的教师都不来自第四组的概率为P(M)=. -----------------12分
19．（本小题满分12分）
（1）解：取CD 的中点F ，连结BF ，
则直角梯形ABCD 中，BF CD ⊥，BF CF DF ==
90CBD ∴∠=︒即：BD BC ⊥
⊥DE 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD DE BC ⊥∴
又BD DE D ⋂=BDE BC 平面⊥∴-----------------6分
解：
11124
33233ABCE E ABC ABC V V DE S DE AB AD DE -∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==
2DE ∴=-----------------8分
2222=+=∴AD DE EA ，322
2=+=BD DE BE ， 又2=AB 2
22AE AB BE +=∴AE AB ⊥∴-----------------10分
∴四棱锥ABCD E -的表面积为
()622212AB BC AD 2
1
21212121++=⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯CD DE BE BC AB AE AD DE -----------------12分
20.解：（1）设(,)C x y ，则依题意得
3
4AC BC k k ⋅=-
，又(2,0)A -，(2,0)B ，所以有
3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-，-----------------2分
整理得22
1(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. -----------------4分
（2）设直线l ：y kx m =+，与
22
3412x y +=联立得 2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，
依题意
222
(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=， ∴
122834km x x k -+=
+，得12
2434km
x x k -==+，-----------------8分
∴
2243(
,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)
k P m m -，又(4,4)Q k m +，
又(1,0)F ，则43(1,)(3,4)0k FP FQ k m m m ⋅=--⋅+= .知FP FQ ⊥
，
即90PFQ ∠=
.-----------------12分
21.解：（1）
2222
2
3333'()(1)x
x a x x a
f x e e x x x x x -+-=---=⋅-， 由题'()0f x ≤在(0,)+∞恒成立，222330x x x a
e x x -+-⋅-≤，即2(33)x a x x e ≥-+-⋅，
设2()(33)x g x x x e =-+-⋅，
2
'()()x g x e x x =-+， ()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
max ()(1)g x g e ==-，[,)a e ∈-+∞．-----------------6分
（2）3()(1)2x a f x e x x =-+=，即32(1)x
a e x x =--，其中0x >，
∴2(3)x
a x x e =--，0x >，
令()2(3)x h x x x e =--，'()2(2)x h x x e =+-，''()(1)x h x x e =-，
'()h x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，由'(0)0h =，
又'(2)20h =>，所以存在00x >，使'()h x 在0(0,)x 上满足'()0h x <，
在
0(,)x +∞上满足'()0h x >，即()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，
由(0)3h =-，x →+∞时，()h x →+∞，
所以当0x >，(3,)a e ∈--时，2(3)x
a x x e =--有一个解， ∴()2f x =只有一个解．-----------------12分
22．(1)曲线.
，
.
. -----------------5分
(2)伸缩变换后得.其参数方程为：.
不妨设点在第一象限，由对称性知：
周长为
，(时取等号)周长最大为. -----------------10分
23(1)由,得或或,
解得,故不等式的解集为. -----------------5分(2),
作出函数的图象,如图所示,
直线过定点,
当此直线经过点时,;当此直线与直线平行时,. 故由图可知,. -----------------10分。