人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第三课 柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 (共63张PPT)
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而|m|=
又|n|= ,由2a|m1·n|≤2|bm|1|n|(,2得c 1) 2a b c 3 3.
所以 3
当且仅2当a a1=b=2cb=11时 ,等2c号1成 3立.3.
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18
2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
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13
【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+ b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1, 2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西 不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃 而解.
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33
【解析】(1)因为(x+2y+3z)2
=(x·1+ y· + z· )2
2
23
3
≤[x2+( y)2+( z)2]·[12+( )2+( )2]
=(x2+2y22+3z2)(13+2+3)=18. 2
3
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34
当且仅当 x 2y ,即3xz=y=z时,等号成立. 12 3
__x1_2__y_12___x_2_2__y_22____x_1__x_2__2 __y_1__y_2_2_________
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5
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (_a_1_2+_a_2_2_+_…__+_a_n2_)_(_b_1_2+_b_2_2_+_…__+_b_n2_)_≥__(_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_)_2_. 当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi (i=1,2,…,n)时,等号成立.
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31
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.
将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)
≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)
上式两边除以n2,得 a1b1 a2b2 anbn n
等 (号a1 当 a且2n仅a当n )a(1b=1 ab22=n…=bna).n或b1=b2=…=bn时成立.
边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相
等,由整体性可构造向量m=(
),
2a 1，2b 1，2c 1
n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.
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17
【证明】令m=( 2a 1，2b 1)，,n2=c(11,1,1),则
m·n=
2a 1 2b 1 2c 1.
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14
(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组 数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意 体会.
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15
【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:
2a 1 2b 1 2c 1 3 3.
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16
【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左
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11
由柯西不等式,有
( 1 1 [.(..n +1 1) )+(n+2)+…+2n]>n2, 于n 是1 n 2 2n
1 1 ... 1
> n 1 n =2 =2n
n2
2n 2
≥(n 1=) (.n 2) ... (2n) 3n 1 3 1
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39
【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列, 则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________. 【解析】反序和最小,即最小值为 2×5+3×4+4×3+5×2=44. 答案:44
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25
【延伸探究】在本例条件下,你能证明 aA bB cC
吗?
abc
2
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26
【证明】能.由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,有 0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+ B) +c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π2(aA+bB+cC). 得 aA bB cC .
24
n
3 1 7 2
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12
又由柯西不等式,有
1 1 ... 1 ＜ n 1 n 2 2n
(12
12
... 12 )[ (n
1 1)2
(n
1 2)2
...
1 (2n)2
]
＜ n(1 1 ) 所以 n 2n
2. 2
4 ＜1- 1 1 1 ... ＜1 . 1 2 7 2 3 4 2n 1 2n 2
所以-3 ≤x+2y+3z≤3 ,
2
2
即u的最小值为-3 ,最大值为3 .
2
2
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35
(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且
b1<b2<b3<b4<b5.
因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.
又1≥
由排序不212 等 31式2 ,得412
37
【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限 定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理. 在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往 比较容易.
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38
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注 等号成立的条件,不能忽略.
(1)求证: 25x2 16y2 9z2 5. (2)求 4y 3z 的3z最 5小x 值5.x 4y
9 9 x2
y2 z2
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19
【解析】(1)根据柯西不等式,得
[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y()]25x2 16y2 9z2 )
≥(5x+4y+3z)2,
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29
【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或
a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明: a1b1 a2b2 anbn n
当( 且a1 仅a2当na1=aa2n=)…g( b=1anb或2 nb1=b2b=n…). =bn时,等号成立.
第三课 柯西不等式、 排序不等式与数学归纳法
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1
【网络体系】
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2
【核心速填】
1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:_____________________ 若a,b,c,d都是实数,则
_______________________. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
根据柯西不等式,得
(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,
即x2+y2+z2≥2,当且仅当
时,等号成立.
综上,
≥2×32=18. x y z 1
5 435
9 9 x2
y2 z2
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21
类型二 利用排序不等式证明不等式 【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度 数,a,b,c表示其对边,求证:
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9
类型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:
4 ＜1- 1 1 1 ... 1 1 ＜ 2 .
7
2 3 4 2n 1 2n 2
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10
【证明】1- 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2n 1 2n
(1 1 1 1 1 1 ) 2(1 1 1 1 ) 2 3 4 2n 1 2n 2 4 6 2n
1 1 1 1 . 所n以1求n证式2 等价2于n Байду номын сангаас1<2n
<.
4
1 1 ... 1
2
7 n 1 n 2 2n 2
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30
【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn. 则由排序原理得: a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbn a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1 a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2 ……
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32
类型三 利用柯西不等式和排序不等式求最值
【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求
u=x+2y+3z的最小值和最大值.
(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=
a1+ a2 a3 a4 a5 22 32 42 52
的最小值.
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6
3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________ ≤a1b1+a2b2+…+anbn. a1c1+a2c2+…+ancn
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aA bB cC . abc 3
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22
【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c 由排序原理:顺序和≥乱序和 所以aA+bB+cC≥aB+bC+cA aA+bB+cC≥aC+bA+cB aA+bB+cC=aA+bB+cC
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23
上述三式相加得 3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c) 所以
4y 3z 3z 5x 5x 4y
因为5x+4y+3z=10,
所以
25x2 16y2 9z2 102
5.
4y 3z 3z 5x 5x 4y 20
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20
(2)根据基本不等式,得 9x2 9y2z2 2 9 g9 x2 y2z2 2g3x2y2z2 , 当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.
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3
(2)柯西不等式的向量形式:__设__α_,_β__是__两__个__向__量__,_则__
_____________________.当且仅当 是零向量,或存
|α · β |≤ |α |·| β|
β
在实数k,使 =k 时,等号成立.
αβ
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4
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么
7
4.数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当____时,命题成立. (2)假设当nn==kn(0 k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明 ______时,命题也成立.
n=k+1
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8
【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (1)对假设设而不用. (2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. (3)没有搞清从k到k+1的跨度.
abc 2
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27
【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出 两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合. 这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点 进行合理选择.
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28
(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有 关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.
aA bB cC . abc 3
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24
方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,
由排序不等式 aA bB cC A B Cga b c，
即aA+bB+cC≥ (a+3 b+c), 3
3
所以
3
aA bB cC . abc 3
1 52
.
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36
a1
a2 22
a3 32
a4 42
a5 52
b1
b2 22
b3 32
b4 42
b5 52
11 2
1 22
3
1 32
4
1 42
5
1 52
1
1 2
1 3
1 4
1 5
137 . 60
即M的最小值为137 . 60
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又|n|= ,由2a|m1·n|≤2|bm|1|n|(,2得c 1) 2a b c 3 3.
所以 3
当且仅2当a a1=b=2cb=11时 ,等2c号1成 3立.3.
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2.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
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【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+ b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1, 2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西 不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃 而解.
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【解析】(1)因为(x+2y+3z)2
=(x·1+ y· + z· )2
2
23
3
≤[x2+( y)2+( z)2]·[12+( )2+( )2]
=(x2+2y22+3z2)(13+2+3)=18. 2
3
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当且仅当 x 2y ,即3xz=y=z时,等号成立. 12 3
__x1_2__y_12___x_2_2__y_22____x_1__x_2__2 __y_1__y_2_2_________
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2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (_a_1_2+_a_2_2_+_…__+_a_n2_)_(_b_1_2+_b_2_2_+_…__+_b_n2_)_≥__(_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_)_2_. 当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi (i=1,2,…,n)时,等号成立.
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a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.
将上述n个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)
≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)
上式两边除以n2,得 a1b1 a2b2 anbn n
等 (号a1 当 a且2n仅a当n )a(1b=1 ab22=n…=bna).n或b1=b2=…=bn时成立.
边应是两个向量的数量积.由于变量a,b,c的系数都相
等,由整体性可构造向量m=(
),
2a 1，2b 1，2c 1
n=(1,1,1),利用|m·n|≤|m||n|可得证.
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【证明】令m=( 2a 1，2b 1)，,n2=c(11,1,1),则
m·n=
2a 1 2b 1 2c 1.
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(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组 数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意 体会.
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【变式训练】1.设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:
2a 1 2b 1 2c 1 3 3.
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【解题指南】利用柯西不等式的向量形式,目标式的左
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由柯西不等式,有
( 1 1 [.(..n +1 1) )+(n+2)+…+2n]>n2, 于n 是1 n 2 2n
1 1 ... 1
> n 1 n =2 =2n
n2
2n 2
≥(n 1=) (.n 2) ... (2n) 3n 1 3 1
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【变式训练】1.设x1,x2,x3,x4是2,3,4,5的任一排列, 则2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_________. 【解析】反序和最小,即最小值为 2×5+3×4+4×3+5×2=44. 答案:44
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【延伸探究】在本例条件下,你能证明 aA bB cC
吗?
abc
2
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【证明】能.由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,有 0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+ B) +c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π2(aA+bB+cC). 得 aA bB cC .
24
n
3 1 7 2
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又由柯西不等式,有
1 1 ... 1 ＜ n 1 n 2 2n
(12
12
... 12 )[ (n
1 1)2
(n
1 2)2
...
1 (2n)2
]
＜ n(1 1 ) 所以 n 2n
2. 2
4 ＜1- 1 1 1 ... ＜1 . 1 2 7 2 3 4 2n 1 2n 2
所以-3 ≤x+2y+3z≤3 ,
2
2
即u的最小值为-3 ,最大值为3 .
2
2
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(2)设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,且
b1<b2<b3<b4<b5.
因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.
又1≥
由排序不212 等 31式2 ,得412
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【方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限 定,其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理. 在这类题目中,利用柯西不等式或排序不等式处理往往 比较容易.
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(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时,要关注 等号成立的条件,不能忽略.
(1)求证: 25x2 16y2 9z2 5. (2)求 4y 3z 的3z最 5小x 值5.x 4y
9 9 x2
y2 z2
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【解析】(1)根据柯西不等式,得
[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y()]25x2 16y2 9z2 )
≥(5x+4y+3z)2,
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【变式训练】若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或
a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,证明: a1b1 a2b2 anbn n
当( 且a1 仅a2当na1=aa2n=)…g( b=1anb或2 nb1=b2b=n…). =bn时,等号成立.
第三课 柯西不等式、 排序不等式与数学归纳法
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【核心速填】
1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:_____________________ 若a,b,c,d都是实数,则
_______________________. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
根据柯西不等式,得
(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,
即x2+y2+z2≥2,当且仅当
时,等号成立.
综上,
≥2×32=18. x y z 1
5 435
9 9 x2
y2 z2
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类型二 利用排序不等式证明不等式 【典例2】设A,B,C表示△ABC的三个内角的弧度 数,a,b,c表示其对边,求证:
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类型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:
4 ＜1- 1 1 1 ... 1 1 ＜ 2 .
7
2 3 4 2n 1 2n 2
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【证明】1- 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2n 1 2n
(1 1 1 1 1 1 ) 2(1 1 1 1 ) 2 3 4 2n 1 2n 2 4 6 2n
1 1 1 1 . 所n以1求n证式2 等价2于n Байду номын сангаас1<2n
<.
4
1 1 ... 1
2
7 n 1 n 2 2n 2
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30
【证明】不妨设a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn. 则由排序原理得: a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b1+a2b2+…+anbn a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1 a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2 ……
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32
类型三 利用柯西不等式和排序不等式求最值
【典例3】(1)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求
u=x+2y+3z的最小值和最大值.
(2)设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,求M=
a1+ a2 a3 a4 a5 22 32 42 52
的最小值.
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6
3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________ ≤a1b1+a2b2+…+anbn. a1c1+a2c2+…+ancn
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aA bB cC . abc 3
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22
【证明】方法一:不妨设A>B>C,则有a>b>c 由排序原理:顺序和≥乱序和 所以aA+bB+cC≥aB+bC+cA aA+bB+cC≥aC+bA+cB aA+bB+cC=aA+bB+cC
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23
上述三式相加得 3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c) 所以
4y 3z 3z 5x 5x 4y
因为5x+4y+3z=10,
所以
25x2 16y2 9z2 102
5.
4y 3z 3z 5x 5x 4y 20
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20
(2)根据基本不等式,得 9x2 9y2z2 2 9 g9 x2 y2z2 2g3x2y2z2 , 当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.
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3
(2)柯西不等式的向量形式:__设__α_,_β__是__两__个__向__量__,_则__
_____________________.当且仅当 是零向量,或存
|α · β |≤ |α |·| β|
β
在实数k,使 =k 时,等号成立.
αβ
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4
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么
7
4.数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当____时,命题成立. (2)假设当nn==kn(0 k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明 ______时,命题也成立.
n=k+1
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【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (1)对假设设而不用. (2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. (3)没有搞清从k到k+1的跨度.
abc 2
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【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出 两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合. 这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点 进行合理选择.
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(2)根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有 关的不等式问题,利用排序不等式解决往往很简捷.
aA bB cC . abc 3
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方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,
由排序不等式 aA bB cC A B Cga b c，
即aA+bB+cC≥ (a+3 b+c), 3
3
所以
3
aA bB cC . abc 3
1 52
.
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36
a1
a2 22
a3 32
a4 42
a5 52
b1
b2 22
b3 32
b4 42
b5 52
11 2
1 22
3
1 32
4
1 42
5
1 52
1
1 2
1 3
1 4
1 5
137 . 60
即M的最小值为137 . 60
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