江西省信丰中学2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题

江西省信丰中学2021届高三上学期第二次月考数学（文）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{
}
2
1,A y y x x Z ==-∈，{}
sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1
C ．{}1,1-
D ．{}1,0-
2．设复数z 满足()123z i i +=+（i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知命题:0,1x p x e ∀≥≥或sin 1x <，则p ⌝为（ ） A ．0,1x x e ∃<<且sin 1x > B ．0,1x x e ∃≥<或sin 1x > C ．0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥
D ．0,1x x e ∃<≥或sin 1x ≤
4．函数1()22x
f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,3
5．函数()cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像的一条对称轴方程为（） A ．6
x π
=
B ．512
x π=
C ．23
x π=
D ．23
x π=-
6．设sin18cos44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos29b =︒︒，cos30c =︒，则有（ ） A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
7．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤
D ．4a ≤
8．如图，直线2230x y +-=经过函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||ϕπ<）图像的最高点M 和最低点N ，则（ ）
A ．2
π
ω=，4
π
ϕ=
B ．ωπ=，0ϕ=
C ．2
π
ω=
，4π
ϕ=-
D ．ωπ=，2
ϕπ=
9．已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，将其图象向右平移
6
π
个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线23x π=对称
B ．关于直线6
x π
=对称 C ．关于点2-
03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称 D ．关于点5-
012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a ﹣c ，则角B 的取值范围是（ ） A ．(0，
3
π
] B ．(0，
23
π] C ．[
3
π
，π) D ．[
23
π
，π) 11．已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
12．已知函数3
ln ,1
()1,1
x x f x x x >⎧=⎨
-≤⎩，若函数()(1)y f x a x =--恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．33,4⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
D ．(0,1)
二、填空题
13．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 14．已知ABC 的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c .若
1
sin 4
a A =，则sin sin sin
b
c a
B C A
+-+-等于________.
15．已知πtan 34θ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，则22sin 2cos θθ-=_______. 16．给出下列4个命题： ①函数πsin 212y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭的最小正周期是π
2
； ②直线7π12x =
是函数π2sin 34y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的一条对称轴；
③若1
sin cos 5αα+=-
，且α为第二象限角，则3tan 4
α=-； ④函数cos(23)y x =-在区间2,33⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
其中正确的是_____.（写出所有正确的序号）
三、解答题
17．已知α是第四象限角，3sin cos tan()
22()tan()sin()
f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
---. （1）化简()f α. （2）若33
cos 2
5
πα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，求()f α的值. 18．已知:p 存在[0,4]x ∈，使不等式22log (1)0x
x a ++-<成立．:q 方程
2sin sin 0x x a +-=有解．
（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p q ⌝∧为真命题，求实数a 的取值范围．
19．函数()()π
πsin 002
2ωϕωϕ⎛
⎫
=+>>-<< ⎪⎝
⎭
，，
f x A x A 的部分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()f x =
324x ππ<<，求cos2x .
20．已知函数()321312322
f x x x x =
-++. （1）求()f x 的单调区间和极值；
（2）若直线2y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值.
21．已知函数2
())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫
=++-><< ⎪⎝⎭
为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为2
π
. （1）当,24x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求函数()g x 的值域. 22．已知函数()()()2
ln 21R f x x ax a x a =+++∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）求证：当0a <时，()3
24f x a
≤-
-； （3）设m 是整数，对于任意的正整数n ，有2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求m 的最小值．
参考答案
1．D 【分析】
先化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】
因为{
}
2
1,A y y x x Z ==-∈，{}{}
sin ,11B y y x x R y y ==∈=-≤≤， 令211x -=-，则0x A =∈；令210x -=，则1x A =±∈；
令211x -=，则x A =； 所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查求集合的交集，属于基础题型. 2．A 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得z 的坐标,进而得答案． 【详解】
由()123z i i +=+得()()()()
31231121212i i i
z i i i i +-+=
==-++-， 所以1z i =+，故其在复平面内对应的点为（1，1），在第一象限 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．C 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可判断. 【详解】
解：命题:0,1x
p x e ∀≥≥或sin 1x <为全称命题，由全称命题的否定为特称命题，则p ⌝为
0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥
故选：C 【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题. 4．D 【分析】
利用零点存在性定理即可判断零点所在的区间. 【详解】
由复合函数的单调性知，()f x 是减函数
()1
1(1)12502f -⎛⎫
-=--+=> ⎪⎝⎭,
1(0)02302f ⎛⎫
=-+=> ⎪⎝⎭，
113(1)12022f ⎛⎫
=-+=> ⎪⎝⎭，
211(2)22024f ⎛⎫
=-+=> ⎪⎝⎭，
317(3)32028f ⎛⎫
=-+=-< ⎪⎝⎭
，
因为(2)(3)0f f ⋅<，
由零点存在性定理知在区间()2,3内存在零点. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，属于基础题. 5．B 【分析】 令()26
x k k π
π+
=∈Z ，得到函数的对称轴，然后选取不同的k 值，得到答案.
【详解】
函数()cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
令()26
x k k π
π+=∈Z ，
则,212
k x k ππ
=
-∈Z ， 当1k =时，512
x π
=，
故选B . 【点睛】
本题考查求余弦型函数的对称轴，属于简单题. 6．B 【分析】
先利用两角和的正弦公式对a 化简，利用二倍角公式对b 化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小 【详解】
解：sin18cos 44cos18sin sin(1844)sin 4624a ︒︒=︒+︒==︒︒+︒， 2sin 29cos29sin58b =︒︒=︒，cos30sin60c =︒=︒， 因为sin y x =在(0,90)︒︒上为增函数，且586062︒<︒<︒， 所以sin58sin60sin62︒<︒<︒，即可b c a <<， 故选：B 【点睛】
此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题 7．A 【分析】
“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为22,[1,2]x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案． 【详解】
若“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得2
2,[1,2]x a x ≥∈恒成立
只需(
)
2
min
22a x
≤=，所以1a ≤时，[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，
“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，
故1a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，以及探求命题的充分不必要条件，属于常考题型． 8．A 【分析】
根据()sin()f x x ωϕ=+，可得()f x 最大值为1，最小值为-1，代入直线2230x y +-=，可得M ，N 的坐标，根据()f x 图像与性质，即可得答案. 【详解】
由M ，N 分别是图像的最高点和最低点得其纵坐标为1和1-， 代入直线2230x y +-=得其横坐标分别为1
2和52
， 故1,12M ⎛⎫
⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，得512222T =-=，
所以24T π
ω
==
，
又因为0>ω，故2
π
ω=
，
将M 代入()f x 得11sin 22πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
， 故
12222k π
πϕπ⨯+=+，所以2,4
k k Z π
ϕπ=+∈ 因为||ϕπ<，所以4
π
ϕ=，
故选：A . 【点睛】
本题主要考查sin()y A x ωφ=+的图像特征，由函数sin()y A x ωφ=+的部分图像求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于基础题．
9．D 【解析】 由题意得
22π
πω
=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+， ∴()cos[2()]cos(2)cos 26
3
g x x x x π
π
ϕϕ=-+=-
+=，
∴3
π
ϕ=
，
∴()cos(2)3
f x x π
=+
． ∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±，
21()cos(2)cos 166332
f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333f πππ
π-
=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232
f ππππ-=-⨯+=-=，
∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ． 10．A 【分析】
已知的不等式利用正弦定理化简，整理后求出cos B 的范围，利用余弦定理的性质即可确定
B 的取值范围.
【详解】 在△ABC 中，
2cos 2b C a c ≤-，
2sin cos 2sin sin B C A C ∴≤-，
2sin cos 2sin()sin B C B C C ∴≤+-，
即2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C ≤+-=+-，
2cos sin sin 0B C C -≥，即1
cos 2
B ≥， 0B π<< 03
B π
∴<≤
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦函数公式，以及余弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解决问题的关键，属于中档题. 11．B 【分析】
若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小． 【详解】
对于,a b 的大小：44ln3ln3ln81a πππ===，33ln 4ln ln 644b πππ===，明显a b >； 对于,a c 的大小：构造函数ln ()x f x x
=
，则'
21ln ()x f x x -=，
当(0,)x e ∈时，'
()0,()f x f x >在(0,)e 上单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，'
()0,()f x f x <在(,)e +∞上单调递减，
3,()(3)e f f ππ>>∴<即
33ln ln 3
,3ln ln 3,ln ln 3,33
πππ
πππππ
<
∴<∴<∴<a c ∴>
对于,b c 的大小：3ln 4ln 64b ππ==，3434ln ln[()]c ππ==，64π<43
[()]π，c b >
故选B ． 【点睛】
将,,a b c 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目． 12．C 【分析】
画出函数的图象,①当直线()1y a x =-与曲线ln y x =相切于点()1,0时,1a =,推出直线
()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有3个交点时a 的范围;②当直线()1y a x =-与曲线
31y x =-相切时,设切点为3
00
,1x x ,通过()3
002
113a x x a x ⎧-=-⎨=-⎩,求出01x =,3a =-或
01
2x =-,34
a =-,然后判断求解a 的范围.
【详解】
函数3
ln ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩
的图象如图所示,
①当直线()1y a x =-与曲线ln y x =相切于点()1,0时, 1a =,
故当0a =或1a ≥时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有一个交点, 当01a <<时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有两个交点,
②当直线()1y a x =-与曲线3
1y x =-相切时,
设切点为3
00
,1x x ,则()3002
113a x x a x ⎧-=-⎨=-⎩, 2300031
1x x x ,解得01x =,3a =-或01
2x =-,34
a =-，
当3
04
a -
<<时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有一个交点, 当3
4
a =-
或3a ≤-时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有两个交点, 当3
34
a -<<-
时,直线()1y a x =-与函数()f x 的图象恰有三个交点, 综上a 的取值范围是33,4⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
. 故选：
C.
【点睛】
本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题. 13．2y x = 【分析】
设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】
设切线的切点坐标为001
(,),ln 1,1x y y x x y x
=++'=
+， 0000
1
|12,1,2x x y x y x ='=
+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题. 14．
14
【分析】 由正弦定理1
sin sin sin 4
a b c A B C ===，结合比例式的性质，即可求解. 【详解】 因为
1sin 4
a A =，由正弦定理
1
sin sin sin 4a b c A B C ===， 根据比例式的性质，可得1
sin sin sin sin 4
b c a a B C A A +-==+-.
故答案为：14
. 【点睛】
本题主要考查了解三角形的正弦定理及其应用，以及比例式的性质，其中解答中熟记解三角形的正弦定理和比例式的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
15．75
-
【分析】
利用两角和差正切公式可求得1
tan 2
θ=
，配凑分母22sin cos θθ+，分子分母同时除以2cos θ可构造出关于tan θ的式子，代入1tan 2
θ=求得结果.
【详解】
tan
tan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4
π
θπθθπθ
θ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得：1tan 2θ=，
222
222
22
sin 2cos tan 2s sin in cos tan 2co 1s θθθθθθθθ--==+∴+-2
212725112⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
故答案为：7
5
-. 【点睛】
本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型. 16．①②③ 【分析】
①根据函数sin(2)12
y x π
=-的最小正周期得出函数|sin(2)|12
y x π
=-
的最小正周期；
②当712x π=
时函数y 取得最小值，判断712
x π=是函数y 的一条对称轴； ③根据1
sin cos 5
αα+=-，且α为第二象限角，求出tan α的值；
④根据x 的取值范围，结合余弦函数的单调性，求出函数y 的单调性．
【详解】
解：对于①，函数sin(2)12
y x π
=-
的最小正周期是π，
∴函数|sin(2)|12
y x π
=-
的最小正周期是
2
π
，①正确； 对于②，712
x π=
时，72sin(3)2124y ππ
=⨯-=-为最小值，
∴直线712x π
=
是函数2sin(3)4
y x π=-的一条对称轴，∴②正确； 对于③，若1sin cos 5
αα+=-，则22
1sin 2sin cos cos 25αααα++=，
124
2sin cos 12525
αα∴=
-=-， 又α为第二象限角，sin cos 0αα∴->，
7
sin cos 5
αα∴-===， 3
sin 5α∴=，4cos 5
α=-，3tan 4α∴=-，③正确；
对于④，2
(3
x ∈，3)时，23(7,0)x -∈-，
由(7,0)[2π-⊇-，0]，
根据余弦函数的图象与性质知，函数cos(23)y x =-在2
(3
，3)上不单调，④错误．
综上，①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】
本题以三角函数性质为载体考查了三角函数的周期性、单调性、对称性以及同角三角函数的关系的应用，是综合题． 17．（1）cos α-；（2）4
5
- 【分析】
（1）利用诱导公式以及同角三角函数关系式化简即可； （2）先将已知条件化简，然后代入化简后的结论即可． 【详解】 （1）3sin()cos(
)tan()
22()tan()sin()
f π
π
ααπααπαπα-
+-=---． sin()sin (tan )
2
tan sin π
ααααα
---=
- cos sin tan tan sin ααα
αα
=
-
cos α=-．
（2）因为3cos()2
πα- 3cos(
)2
π
α=- 3sin 5
α=-=
， 所以3sin 5
α=-
． 因为α是第四象限角， 所以4cos 5
α=
， 所以4
()cos 5
f αα=-=-．
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，属于基础题． 18．（1）(1,)+∞（2）1,14⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）p 为真命题等价于不等式22log (1)0x
x a ++-<在[0,4]上有解，设
2()2log (1)x f x x a =++-，求出min ()f x ，即可得到本题答案；
（2）求出p 假q 真时，a 对应的取值范围,即可得到本题答案. 【详解】
（1）p 为真命题等价于不等式22log (1)0x
x a ++-<在[0,4]上有解（*）， 设2()2log (1)x
f x x a =++-，则不等式（*）等价于min ()0f x <，
又()f x 在[0,4]上单调递增，
∴min ()(0)10f x =f a =-<，∴1a >， 故当p 为真命题时，a 的取值范围是(1,)+∞；
（2）令sin t x =，则2
()g t t t =+，[]11
t ,∈-， 当q 为真命题时，a 的取值范围即为()g t 的值域，
∵当[]11
t ,∈-时，2
2
111()(),22
44g t t t t ⎡⎤=+=+-∈-⎢⎥⎣⎦
，
因为p q ⌝∧为真命题，所以p 假q 真，
所以1
124
a a ≤⎧⎪
⎨-≤≤⎪⎩，∴114a -≤≤，
故若p q ⌝∧为真命题，则a 的取值范围为1,14⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查根据命题和复合命题的真假，确定参数的取值范围，考查学生分析问题和解决问题的能力.
19．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
（2
）
6
【分析】
（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式. （2）利用两角和与差公式求解. 【详解】
解：（1）由图像可知2,2A ω==,则()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 得
52,62
k k Z ππϕπ+=+∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈，由ππ
22ϕ-<<，
得3
π
ϕ=- ，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
.
（2）由题意知()2sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭=得sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝
⎭=， 由
32
4x π
π<<
，则272336x πππ<-<，则cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝
⎭3
=-，
cos 2cos 233x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭1cos 2sin 22323x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
=【点睛】
本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧. 20．（1）单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调递减区间为()1,2，极大值为
4
3
，极小值
为
7
6；（2）12
b =或4b =-. 【分析】
（1）求得函数()y f x =的导数，分别解不等式()0f x '>、()0f x '<可得出函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间，并由此可求得该函数的极大值和极小值；
（2）令()2f x '=，可求得切点的横坐标，进而可求得切点的坐标，再将切点坐标代入切线方程可求得实数b 的值. 【详解】 （1）
()32131
2322
f x x x x =-++，定义域为R ，()232f x x x '=-+.
令()0f x '>，解得1x <或2x >；令()0f x '<，解得12x <<.
所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调递减区间为()1,2， 函数()y f x =的极大值为()4
13f =
，极小值为726
f ； （2）令()2
322f x x x '=-+=，解得0x =或3x =，()1
02
f =，()32f =， 所以，切点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或()3,2，则有12b =或232b ⨯+=，解得1
2
b =或4b =-. 【点睛】
本题考查利用导数求解函数的单调区间与极值，同时也考查了利用函数的切线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
21．（1）单调递减区间为,24ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
；（2）[-. 【分析】
（1）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，根据条件，可求出周期T 和ω，结合奇函数性质，求出ϕ，再用整体代入法求出,24x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦内的递减区间； （2）利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出,126x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时的值域.
【详解】
（1）())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫
=+-+=+- ⎪⎝
⎭
， 因为相邻两对称轴间的距离为
2π
，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6
k πϕπ-=，6
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
因为0ϕπ<<，所以6
π
=
ϕ，函数为()2sin 2f x x =， ,24x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，22x ππ-≤≤，()f x 单调递减，需满足22x ππ-≤≤-，∴24x ππ-≤≤-，
所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
； （2）由题意可得：()2sin 43g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
， ∵,126x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，∴24333x πππ-≤-≤，
∴1sin 432
x π⎛
⎫
-≤-
≤ ⎪
⎝
⎭，
()[g x ∈-，即函数()g x 的值域为[-.
【点睛】
本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.
22．（1）当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()f x 在10,2a ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减；（2）证明见解析；（3）3． 【分析】
（1）求导得()()()
()1210x ax f x x x
++'=
>，然后分0a ≥和0a <两类讨论()f x '与0
的大小关系，从而得()f x 的单调性；
（2）由（1）可知，当0a <时，()f x 的单调性，从而得()max 12f x f a ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，于是原问题转化为只需要证明13224f a a ⎛⎫-
≤-- ⎪⎝⎭
，构造函数()()1ln 0g x x x x =-->，通过导数可推出ln 1≤-x x （当且仅当1x =时，等号成立），即11ln 122a a ⎛⎫
-≤-- ⎪
⎝⎭
，再结合前面所得结论即可得证；
（3）由（2）可得，ln 1≤-x x ，若令112k x =+
，则11ln 12
2
k
k ⎛
⎫+< ⎪⎝⎭，*
N k ∈，再结合放缩法、等比数列的前n 项和公式和对数的运算法则可证得2111111e 222n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
+
+⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，由2111
111222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
+⋅⋅⋅+ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111112222⎛⎫⎛
⎫⎛⎫>+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而得当3n ≥时，()21111112,e 222
n ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
++⋅⋅⋅+∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故而得解． 【详解】 （1）解：()()1221f x ax a x '=
+++()()()1210x ax x x
++=>， 若0a ≥，则()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增； 若0a <，令()0f x '=，则1
2x a
=-， 当1
02x a
<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1
2x a
>-
时，()0f x '<，()f x 单调递减， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫-
⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减；
（2）证：由（1）知，当0a <时，()f x 在10,2a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调
递减，
max 1()()2f x f a ∴=-
211ln()()22a a a =-+-1(21)()2a a ++-11ln()124a a =---， 于是需要证明113ln()12244a a a
-
--≤--， 令()1ln (0)g x x x x =-->，则()11
1x g x x x -'=-=，
当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，
∴当1x =时，函数()g x 取得最小值()10g =，
1ln 0x x ∴--≥，即ln 1≤-x x （当且仅当1x =时，等号成立）
， 11
ln()122a a ∴-
≤--， 11ln()124a a ∴---113
(1)12244a a a
≤----=--，
故当0a <时，3
()24f x a ≤--； （3）解：由（2）可得，ln 1≤-x x （当且仅当1x =时，等号成立）， 令112k x =+
，得11
ln(1)22
k k
+<，*N k ∈， 2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ∴++++⋯++2111222n <++⋯+11
[1()]
2
2112
n -=-1
11ln e 2n =-<=，
即2111
(1)(1)(1)e 222n ++⋯+<．
又223111111135
(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222264
n ++⋯+>+++=
>， ∴当3n ≥时，2111
(1)(1)(1)(2,)222n e ++⋯+∈，
*N m ∈，2111
(1)(1)(1)222
n m ++⋯+<，
m ∴的最小值为3．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题和不等式的证明，还涉及等比数列的前n 项和公式、对数的运算法则等基础知识，将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及充分利用放缩法是解题的关键，考查学生的转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，
属于难题．。