第4章动态数列

n
推理：
a ai ai −1 ÷ = i a0 a0 ai −1
（二）增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。 反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
增长速度=发展速度100%） 增长速度=发展速度-1 （100%）
年距增长量 年距增长速度= 年距增长速度 上年同期发展水平 = 年距发展速度-1 年距发展速度（100%） ）
列中各个指标值是不能相加的； 数列中各个指标值是不能相加的；
数列中每个指标值的大小与时间间隔
的长短没有直接关系； 的长短没有直接关系；
数列中每个指标值通常是按期登记一
次取得的。 次取得的。
3.动态数列的编制原则 3.动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。 基本原则是遵守其可比性。 具体说有以下几点： 具体说有以下几点：
绝对数动态数列 相对数动态数列 平均数动态数列 时期数列 时点数列
时期数列特点： 时期数列特点：
列中各个指标值是可加的； 数列中各个指标值是可加的；
数列中每个指标值的大小随着时期的长
短而变动； 短而变动；
数列中每个指标值通常是通过连续不断
的登记而取得。 的登记而取得。
时点数列特点： 时点数列特点：
一、间隔扩大法
例
月份 增加值
某企业某年各月增加值完成情况
1 50.5 2 45 3 52 4 5 6 55.5 7 53 8 58.4 9 57
单位：万元
10 59.2 11 58 12 60.5
51.5 50.4
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
第一季度 增加值(万元) 147.5 第二季度 157.4 第三季度 168.4 第四季度 177.7
∑af a= ∑f
2）如果资料是间断时点资料，也可分为 如果资料是间断时点资料， 二种情况：
对间隔相等的间断时点资料
a1 an + a2 + a3 +⋯+ an−1 + 2 a= 2 n −1
对间隔不等的间断时点资料
a2 + a3 an−1 + an a1 + a2 f1 + f2 + L + fn−1 2 2 a= 2
i =1
n
年距增长量=报告期发展水平 上年同期发展水平 年距增长量=报告期发展水平—上年同期发展水平
(二）平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的 绝对数量。 绝对数量。
逐期增长量之和 累计增长量 平均增长量 = = 逐期增长量个数 动态数列项数 − 1
第二节 动态数列的速度分析指标
一、发展速度与增长速度
为测定季节变动的需要。 测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种： 长期趋势的类型基本有二种： 直线趋势； 线趋势； 直线趋势，即趋势曲线。 非直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有： 测定长期趋势常用的主要方法有：
隔扩大法； 间隔扩大法； 动平均法； 移动平均法； 小平方法。 最小平方法。
∑a 一般公式为： c = a b = n b1 2 + b2 + b3 + ⋯+ n −1 bn 2
3.平 3.平均数动态数列的序时平均数
（1）由一般平均数组成的平均数动态数列 ） 的序时平均数。 的序时平均数。
一般公式：
∑a c= ∑b
（2）由序时平均数组成的平均数动态数列 的序时平均数。
当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。 当时期相等时，可直接用简单算术平均法计算。 当时期或间隔不等时， 当时期或间隔不等时，应使用加权算术平均法计 算。
二、移动平均法
仍用上例资料：
月份 增加值y(万元) 三项移动平均yc 1
50.5
2
45
3
52
4
51.5
5
50.4
6
55.5
7
53
8
58.4
9
57
10
59.2
11
58
12
60.5
-
49.2
49.5
51.3
52.5
53
55.6
56.1
58.2
58.1
59.2
-
∴
趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1 =12-3+1=10
2
∑ ai
i =1
n
n
解这样的高次方程，用查表法。
仍用前例数据：
∑a
∵
i =1
n
i
a0
273.8 + 289.2 + 314.4 + 322.3 + 340.7 = 270.1
1540.4 = = 570.31% 270.1 见表中 .01近似， X = 104.40% 570 ∴
（二） 平均增长速度
式中：a
a1 ,a2 ,a3 ,L an n 时期项数
2. 时点数列的序时平均数
如果资料是连续时点资料，可分为二种情况： 1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：
连续变动的连续时点数列(即未分组资料) 对连续变动的连续时点数列(即未分组资料)
∑a a=
n
非连续变动的连续时点数列(即分组资料) 对非连续变动的连续时点数列(即分组资料)
第三节 长期趋势的测定与预测
长期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。 向上或向下变化) 内持续发展变化的趋势。(向上或向下变化)
测定长期趋势的目的主要有三个： 测定长期趋势的目的主要有三个：
握现象的趋势变化； 把握现象的趋势变化； 数量方面研究现象发展的规律性， 从数量方面研究现象发展的规律性，探 求合适趋势线； 求合适趋势线；
三、增长量与平均增长量
（一)增长量 增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。 说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
增长量 = 报告期水平 − 基期水平
∴ 增长量
a 累计增长量： 累计增长量： i
− a0
逐期增长量： ai − ai −1
∑ ( a i − a i −1 ) = a n − a 0
若由二个连续时点数列对比组成的相对数动
态数列的序时平均数： 态数列的序时平均数：
连续变动时点：
∑a c 用简单平均，即 = = b ∑b
a a
∑af c 非连续变动时点：用加权平均，即 = = b ∑bf
（3） 由一个时期数列和一个时点数列对比
组成的相对数动态数列的序时平均数。 组成的相对数动态数列的序时平均数。
∑f
i =1
n−1
i
2、相对数动态数列的序时平均数
（1） 由两个时期数列对比组成的相对数动态数列的序 ） 时平均数
∑a
一般公式为： a n = ∑a c= = b ∑b ∑ b n
（2） 由两个时点数列对比组成的相对数动态 ） 数列的序时平均数
一般公式为： a1 ( + a 2 + a3 + ⋯ + a 2 c= = b1 b ( + b2 + b3 + ⋯+ 2
在实践中，如果长期计划按累计法制定， 在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用 方程法计算平均发展速度。
a1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n = ∑ a i
i =1
n
∴ a0 X + a0 X + a0 X + ⋯ + a0 X = ∑ ai
i =1
2
3
n
n
∴X + X
n
n −1
+ ⋯+ X + X =
（一）发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。 反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
发展速度 = 报告期水平 × 100% 基期水平
报告期发展水平 年距发展速度 = × 100% 上年同期发展水平
ai 定基发展速度： a0
可分为：
ai 环比发展速度： ai −1
ai an ⇒∏ = a0 i=1 a −1 i
注1：
若采用奇数项移动平均(如上例“三项” 若采用奇数项移动平均(如上例“三项”)， 则平均值是对准在奇项的居中时间处。 则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可 得趋势值； 得趋势值； 若采用偶数项移动平均，则平均值也居中， 若采用偶数项移动平均，则平均值也居中， 因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数， 因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数， 故一般都用奇数项移动平均。 故一般都用奇数项移动平均。
平均发展速度 X = 5 1.0137×1.0162×1.0871×1.0251×1.0571 = 5 1.261268 = 104.75% 或 X=
5
340.7 5 = 1.261385 = 104.75% 270.1
或 X = 5 1.2614 = 104.75%
程法，又称累计法。 2. 方程法，又称累计法。
㈠
平均发展速度
1. 几何平均法，又称水平法。 何平均法，又称水平法。
X =n ∏X
⑴
= n X 1 ⋅ X 2 ⋅ X 3 ⋯⋯ X n =
n
an a1 a 2 a 3 ⋅ ⋅ ⋯⋯ a 0 a1 a 2 a n −1
an a0
⑵ ⑶
=
n
=n R
例
某企业总产值资料
基年 总产值(万元) 环比发展速度(%) 定基发展速度(%) 270.1 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 273.80 101.37 101.37 289.20 101.62 107.07 314.40 108.71 116.40 322.30 102.51 119.33 340.70 105.71 126.14