5.1角的概念

5.1角的概念
教学目标： 1． 理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法
2． 终边相同的角的表示
教学重点： 1.区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义
2.理解概念“00
到900
的角”、“第一象限角”、“锐角”和“小于900
的角”
教学难点： 1.理解并掌握正角、负角、零角的定义
2.理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法
3.树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。

教学方法：
1．揭示知识背景，引发学生学习兴趣；
2．创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识。

教学过程：
一、复习00
～3600
角的概念
提问：初中时，我们已学习了00
～3600
角的概念，它是如何定义的呢？
(角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形) 讲解:如下图所示，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

二、角概念的推广 1.手表如果快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校
正？
（逆时针旋转300
；顺时针旋转300
）
2．在日常生活中，我们经常要遇到大于360○
的角以及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角概念的必要性。

同学们再思考一下，举出几个现实生活中“大于3600
的角或按不同方向旋转而成的角”的例子。

（自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的角）
3. 为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角。

记作α 那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
4．按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。

为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α. 三、象限角
请同学们观察上图中各角的特点
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

思考：
1．定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2．定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3．是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。

答：1.不行，始边包括端点（原点）；
2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

强调：
同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。

讨论：300，3900，-3300角是第几象限角？3000，-600角，都是第几象限角？5850角是第几象限角？
议一议：
（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
处理方法学生讨论后出答案：（锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角）
（2）锐角就是小于900的角吗？
处理方法学生讨论后出答案：（小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角）（3）锐角就是00～900的角吗？（复习集合的表示方法）
锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}.
练一练：
已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.
四、终边相同的角的表示法
观察:3900，-3300与300角的终边相同，有什么关系,请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？
请同学回答:
图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。

规律是：终边相同的角相差3600的整数倍。

例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。

那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：
3×3600+300-3×3600+300
4×3600+300-4×3600+300
……，……，
由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。

对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

五、例题讲评
例1 在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）-1200；（2）6400；（3）-9500
解：（1）-1200=2400+（-1）×3600，∴与-1200角终边相同的角是2400角，它是第三象限角；（2）6400=2800+3600，∴与6400角终边相同的角是2800角，它是第四象限角；
（3）-9500，=1300+（-3）×3600，∴与-9500角终边相同的角是1300角，它是第二象限角. 处理：学生思考，教师板演。

注意以下几点：（1）k∈Z；
（2）α是任意角；（正角、负角、零角）
（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同
的角有无数多个，它们相差3600的整数倍。

六、本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。

七、布置作业。