陕西省西安市西北工业大学附属中学2019年高三上学期第二次适应性训练数学理科试题(扫描版)
2019年最新陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2 B． C． D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．556．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．1507．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．a C．b D．c9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．210．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤ D．②③⑤11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m=______．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为______．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则=______．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC的面积．18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE 夹角的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合A、B，求出∁R B，再求A∩（∁R B）即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴∁R B={x|x＞1}，∴A∩（∁R B）={x|1＜x＜3}．故选：A．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则ta nθ==﹣．故选：B．3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2 B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3．∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=a，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，可得e==，即有c=a，由c2=a2+b2，可得b=a，即有渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．55【考点】计数原理的应用；二项式定理的应用．【分析】先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决．【解答】解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A22=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，在3个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法，则甲乙不相邻的排法有2×6=12种，即n=12；（﹣）n=（﹣）12的通项公式C12k（﹣）k x﹣k=（﹣）k，k C12当4﹣=0时，即k=3时，（﹣）3C123=﹣，故选：A．6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．150【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求．【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.025，所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150．故选：D．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．a C．b D．c【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c 三数的大小，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又c=（）ln3=e=e=＞=a．∴输出的结果为c．故选：D．9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．2【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可．【解答】解：∵实数a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵函数y=（x﹣2）e x，∴y′=（x﹣1）e x，令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，∴函数y=（x﹣2）e x在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴y极小值=y|x=1=﹣e，∴b=﹣e，b2=e2，则ac=e2，故选：C．10．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤ D．②③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据回归直线的性质进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的图象和性质进行判断．④根据幂函数的性质进行判断．⑤根据函数的零点的定义进行判断．【解答】解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；故①正确，②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；故②正确，③函数y=sinx+cosx=2cos（x﹣），将函数的图象向右平移后，得到y=2cos（x﹣﹣）=2cos（x﹣），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，④由m﹣1=1得m=2，此时f（x）=x0是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误，⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=﹣1，若x＞0，则由（x）=0得2x|log2x|﹣1=0，即|log2x|=（）x，作出y=|log2x|和y=（）x的图象，由图象知此时有两个交点，综上函数f（x）=恰好有三个零点；故⑤正确，故选：B11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=∫04（）dx===，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（1）=f（﹣4）=2﹣4=．故答案为：．14．已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m= 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由=0，求得实数m 的值．【解答】解：∵两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量=（3，﹣3），=（1，m），若⊥，则=3+m（﹣3）=0，求得实数m=1，故答案为：1．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，∴=（）（2a+3b）=2+．当且仅当2a=3b，即时上式等号成立．故答案为：4．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则= 1+．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于的方程，从而解出．【解答】解：∵D是抛物线y2=2ax的焦点，∴D（，0）．∵正方形DEFG的边长为b，∴F（，b）．∵F在抛物线上，∴b2=2a（），即b2﹣2ab﹣a2=0，∴（）2﹣﹣1=0，解得=1+或1﹣．∵0＜a＜b，∴=1+．故答案为：三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（C）=1，得，结合范围0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，解得C=，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx），∴，…由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣），…由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…（Ⅱ）由f（C）=1，得，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．…又∵a+b=3，，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2，由面积公式得三角形面积为．…18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得：设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”，则：P（D）=1﹣p（）=1﹣=1﹣=，∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．…（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3…P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：∴E（X）==．…19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x 轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F、G分别是AD、AC的中点，∴FG∥CD，且．又∵CD∥BE，且CD=2BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，EF⊄面ABC且BG⊆面ABC，∴EF∥面ABC．…（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得∵DM与平面ABC所成角的正切值为，∵CD=2，BE=1，…以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），∴=（0，﹣2，2），=（2，﹣1，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得=（1，2，2），而平面ACD的法向量为=（2，0，0），由cos＜＞==，得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．【解答】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．•=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜e∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立令，当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增∴h（x）min=h（1）=4，∴m≤4，即实数m的取值范围是（﹣∞，4]…（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增∴（当x=1时取等号）∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【分析】（Ⅰ）利用圆的切线的性质，及直径所对的角为直角，即可证明AD∥OC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB，利用AD•OC=8，求出半径，即可求圆O的面积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，OD∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC又∵AB为圆O的直径，则AD⊥DB，∴AD∥OC，∴∠BAD=∠BOC…（Ⅱ）解：设圆O的半径为r，则AB=2OA=2OB=2r由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB则，∴AB•OB=AD•OC=8，2r2=8，r=2，∴圆O的面积为S=πr2=4π…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；（Ⅱ）求出f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需．【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，当即时取“=”号…（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述实数t的取值范围是．…。
2019年陕西省高考数学二模试卷(理科)
2019年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．复数2015计算的结果是（ ）A ．－1B ．i - CD2．若sin 20a =，则sin 230的值为（ ）A ．221a -B ．21a -C ．21a -D ．212a -3．522x ⎫⎪⎭-的展开式中常数项是（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-4．已知为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，611S S =，则必有（ ） A ．170a = B ．6120a a += C ．170S > D ．90a <5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．186．右图是函数2sin()(0)y x ωφω=+>图像的一部分，则ω和φ为（ ）Ａ．115ω=, 56πφ=-Ｂ．75ω=, 6πφ=-Ｃ．175ω=, 56πφ=-Ｄ．135ω=, 6πφ=-7．展开10()a b c ++合并同类项后的项数是（ ）A ．11B ．66C ．76D ．1348．已知随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，1EX =，则DX =（ ） A ．25 B ．45 C ．23 D ．43{}na9．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB ⋅=，0PB PC ⋅=，0PC PA ⋅=,则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．411．已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A．5 B．15 C．3 D12．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围是（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 ．14．已知数列1、a 、b 成等差数列，而1、b 、a 成等比数列．若a ≠b ，则7alog a （﹣b ）= ．15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为3，则球O 的体积为 ．16．已知曲线y=x +lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax 2+（a +2）x +1相切，则a= ．三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，B=+A ．（I ）求tanB 的值； （Ⅱ）求c 的值．18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．19．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB 的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=，且n=4m（m＞0），求证：x≥0时，r（x）≥1．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2019年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21．【考点】二项式系数的性质．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．14．已知数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．若a≠b，则7alog a（﹣b）=．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．可得2a=1+b，b2=a，解得b，a，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列．∴2a=1+b，b2=a，可得2b2﹣b﹣1=0，解得b=1或﹣．∵a≠b，∴b≠1．∴b=﹣，a=．则7alog a（﹣b）==．故答案为：．15．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，则球O的体积为24π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB===3∴R3=18，则球O的体积为πR3=24π．故答案为：24π．16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（I）求tanB的值；（Ⅱ）求c的值．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，诱导公式可得3cosA=4sinA，可得tanA的值，由已知及诱导公式即可求tanB的值．（Ⅱ）由tanB=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinA，cosA，由两角和的余弦函数公式可求cosC的值，利用余弦定理即可求c的值．【解答】解：（I）∵a=3，b=4，B=+A．∴由正弦定理可得：=，∴3cosA=4sinA，可得：tanA==，∴tanB=tan（+A）=﹣=﹣．（Ⅱ）∵tanB=﹣．∴cosB=﹣=﹣，sinB==，sinA=sin（B﹣）=﹣cosB=，cosA=，∴cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=×﹣×（﹣）=，∴c===．18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N1．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2，∴总人数N==40人．∵[30，35）这组的频率为：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，[30，35）这组的参加者人数N1为：40×0.3=12人．（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”，∵年龄在[30，35）之间的人数为12，∴P（B）=1﹣=，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，∵年龄在[35，40）之间的人数为8，∴P（C）=1﹣=，∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）==．（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，∴ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，1 2 3Eξ==2．19．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BC；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可得到结论．（2）过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，分别求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AM﹣D的大小．【解答】解：（1）取CD的中点O，连接OP，∵△PCD为等边三角形，∴OP⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∵CD⊥BC，∴BC⊥平面PCD，∴PD⊥BC…（2）以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵，不妨设AB=2，则BC=2，依题意得：A（2，﹣1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，），M（，1，0），∵OP⊥平面ABCD，∴是平面ADM的法向量，设平面PAM的法向量为，又，由，令y=1，得=（），∴cos＜＞==，∴二面角P﹣AM﹣D的大小为45°．20．已知椭圆L： +=1（a＞b＞0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB 的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，又点（2，）在L上，可得+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆L： +=1；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+b代入椭圆方程+=1，可得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣8=0，x1+x2=﹣，即有AB的中点M的横坐标为﹣，纵坐标为﹣k•+b=，直线OM的斜率为k OM==﹣•，即有k OM•k=﹣．则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=，且n=4m（m＞0），求证：x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r （x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）==+=+，则函数的导数r′（x）=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=+0=1，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c=d﹣b，证明：（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（Ⅰ）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；（Ⅱ）先证若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；再证若+＞+，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a﹣b|＜|c﹣d|，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）由（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，由ab＞cd，可得（+）2＞（+）2，即为+＞+；（Ⅱ）若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；若+＞+，则（+）2＞（+）2，即有a+b+2＞c+d+2，由a﹣c=d﹣b，可得a+b=c+d，即有ab＞cd，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd=（c﹣d）2，可得|a﹣b|＜|c﹣d|．即有+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．。
西北工业大学附属中学2019届高三二模试卷(文)
西北工业大学附属中学2019届高三二模试卷(文)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设全集为R,集合{}{}2|160|26A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =A ．()4,0-B ．(]4,2--C ．()4,4-D ．()4,2--2.设复数2z i =-+（i 是虚数单位），z 为共轭复数z ，则()1z z +⋅等于A ．．3.已知向量,a b 满足8,3,4a b a b ⋅===，则2a b -等于A ．5B ．．64.设函数(),01ln ,1x e x f x x e x e⎧≤<=⎨+≤≤⎩，在区间[]0,e 上随机取一个实数x ，则()f x 的值不小于常数e 的概率为A ．1eB ．11e -C ．1e e +D ．11e+ 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少？”根据此规律，求后3天一共走了多少里A ．156里B ．84里C ．66里D ．42里6.设0.40.486,log 0.5,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．3115-B ．75-C ．3117-D ．2117-8.设0ω>，函数2cos 15y x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移54π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为A ．85B ．65C ．45D ．259.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．．．．10.点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上，其左、右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于点A,线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为A ．43±B ．34±C ．35±D ．53± 11.体积为323π的球有一个内接正三棱锥是球的直径，,P A B C P Q -60APQ ∠=,则三棱锥P ABC -的体积为A 12.设正数,x y 满足[]()133log log 1,1x y m m +=∈-，若不等式()()22231823ax xy a y x y -++≥-有解，则实数a 的取值范围是 A ．551,29⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．311,21⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．31,21⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．55,29⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题:本大题共4小题。
陕西省西安中学2019届高三第二次模拟数学(理)试题Word版含答案
陕西省西安中学2019届高三第二次模拟数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第I 卷（非选择题 共90分）1．若集合13|A y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}|ln(1)B x y x ==-，则A B 等于A ．[]0,1 B ．()0,1 C ．[)1,+∞ D ．(),1-∞2. 已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 阅读如图所示的程序框图，若输入1,2x y ==，则输出n= A ．4 B. 5 C.9 D. 104. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，且3a 是2a 和5a 的等比中项，若20k a S = ，则正整数k=A.20B.21C. 191D.190 5.已知6(3x -的展开式中常数项为a ，则120()x ax dx -⎰=A. 1B.-2C.12-D.14-6．已知圆M ：224x y +=，在圆周上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于A.23 B. 13 C.34D.147. 函数()2sin 2f x x x =+的图像向右平移6π单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数()g x ，若存在0x ，使得0()g x a ≤成立，则a 的最小值是A. 3B.1C.2-D.28. 已知12,F F 分别为双曲线22197y x -=的上下焦点，动点P 在双曲线的上支，则221PF PF 最小值为 A ．12 B ． 18 C ．20 D ． 249．设直线[)()cos sin 2cos 00,x y θθθθπ-+=∈与关于,x y 的不等式组22020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域有公共点，则θ的取值范围为A ．{},04ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭UB ． ,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ． {}3,04ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ． {}3,044ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭U 10．菱形ABCD 的对角线相交于点O，其中AO =P 是BCD ∆内（包括边界）一动点，则AP AC ∙的取值范围是A ．[]15,20B ．[]10,20C．⎡⎣ D ．[]5,1011.函数f 定义在有序正整数对的集合上,且满足下列性质: （1）(,)f x x x =；（2）(,)(,)f x y f y x =;（3）()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+则(12,16)(16,12)f f +的值是. A ．24 B ．48 C ． 64 D ．96 12.已知函g(x )=ax-，若至少存在一个0x ∈[1，e]，使00f (x )g(x )>成立，则实数a 的范围为 ．A ．[1，+∞)B ．(0，+∞)C ．[0，+∞)D ．(1，+∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)13. 为了了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下数据：男性接受挑战的有24人，不接受挑战的有31人；女性接受挑战的有8人，不接受挑战的的有26人．在犯错误的概率不超过 （用百分数作答）的前提下，认为冰桶挑战赛与受邀者的性别 （填有关或无关）。
陕西西工大附中2019高三上第二次适应性练习-理综
陕西西工大附中2019高三上第二次适应性练习-理综理科综合能力测试第一卷本卷共21小题，每题6分，共126分可能用到的相对原子质量C12、N14、O16、Na23、Mg24、Al27、Cu64Zn65【一】选择题：此题共13小题，每题6分，在每题给出的4个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、以下有关科学发明的说法，正确的选项是A、孟德尔在豌豆开花时对母本进行去雄和授粉，实现亲本的杂交B、卡尔文利用同位素示踪技术探明了CO2中的C在光合作用中的转移途径C、萨克斯通过对比实验证明光合作用的产物是葡萄糖D、格里菲思的肺炎双球菌转化实验证明了DNA是遗传物质2、右图是高等生物多聚核糖体合成肽链的过程，有关该过程的说法，正确的选项是A、该图表示翻译的过程，图中核糖体从左向右移动B、多聚核糖体合成的多条肽链在氨基酸的排列顺序上互不相同C、假设合成某条肽链时脱去了100个水分子，那么该肽链中至少含有102个O原子D、假设合成产物为胰岛素，那么它不需经内质网和高尔基体的加工3、甲状腺细胞能够将氨基酸和碘合成甲状腺球蛋白，同时将甲状腺球蛋白分泌到细胞外，其过程如下图所示。
以下表达错误的选项是A、用含3H标记的氨基酸注射到该细胞中，那么出现3H的部位依次为③①②⑥④B、与c过程有关的细胞器是内质网、高尔基体、线粒体C、细胞内的碘浓度远远高于血浆中的碘浓度，这说明a是主动运输过程D、假设含18O的氨基酸在甲状腺细胞内的代谢过程中产生了H218O，那么水中的18O最可能来自于氨基酸的—COOH4、下表列出了纯合豌豆两对相对性状杂交试验中F2的部分基因型〔非等位基因位于非同源染色体上〕。
以下表达错误的选项是A、表中Y与y、R与r的分离以及Y与R或r、y与R或r的组合是互不干扰的B、①②③④代表的基因型在F2中出现的概率大小为③>②=④>①C 、F 2中出现表现型不同于亲本的重组类型的概率是3/8或5/8D 、表中Y 、y 、R 、r 基因的载体有染色体、叶绿体、线粒体5、在生态系统中，营养级越高的生物获得的总能量越少。
陕西西工大附中2019高三第二次适应性练习题-理综
陕西西工大附中2019高三第二次适应性练习题-理综理科综合能力测试第一卷本卷共21小题，每题6分，共126分【一】选择题：此题共13小题，每题6分，在每题给出的4个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、在证明DNA是遗传物质的实验中，赫尔希和蔡斯分别用32P和35S标记噬菌体DNA和蛋白质，在下图中一定有放射性的依次是A、①、④B、②、④C、①、⑤D、③、⑤2、下图为人体早期胚胎细胞所经历的生长发育阶段的示意图，图中甲、乙为两个阶段的细胞，a、b表示发育变化的过程。
以下表达正确的选项是A、a过程中有可能发生基因突变B、上皮细胞与骨骼肌细胞的遗传物质相同，因此细胞内RNA也相同C、由于乙细胞中不同的基因重组导致b过程产生不同的细胞D、神经细胞与甲细胞的遗传物质相同，因此其全能性大小也相同3.以下各项中，能表达生命系统．．．．由简单到复杂的正确层次是①皮肤②人的血液③神经元④一个蟋蟀⑤细胞内的蛋白质等化合物⑥病毒⑦同一片草地上的所有山羊⑧一树林中的所有鸟类⑨我国的大兴安岭⑩一块农田的所有生物A、⑤⑥③②①④⑦⑩⑨B、③②①④⑦⑩⑨C、③②①④⑦⑧⑩⑨D、④②①③⑦⑩⑨4、在外界环境条件恒定时，用右图装置测定种子萌发时的呼吸作用类型〔假设呼吸底物全部为葡萄糖〕，实验开始同时关闭两装置活塞，在25℃下通过20min后观看红色液滴移动情况，以下对实验结果的分析错误的选项是．．．．．．〔蒸馏水对气体的妨碍忽略A 、假设装置l 的红色液滴左移，装置2的红色液滴不移动，那么说明如今萌发的种子只进行有氧呼吸B 、假设装置l 的红色液滴左移，装置2的红色液滴右移，那么说明如今萌发的种子既进行有氧呼吸又进行无氧呼吸C 、装置1的红色液滴向左移动的体积是呼吸作用消耗O 2的体积D 、装置2的红色液滴向右移动的体积是呼吸作用释放CO 2的体积5、玉米有色籽粒对无色籽粒是显性。
现将一有色籽粒的植株X 进行测交，后代出现有色籽粒与无色籽粒的比是1：3，对这种杂交现象的推测不确切的是A 、测交后代的有色籽粒的基因型与植株X 相同B 、玉米的有、无色籽粒遗传遵循基因的自由组合定律C 、玉米的有、无色籽粒是由一对等位基因操纵的D 、测交后代的无色籽粒的基因型至少有三种6、以下有关动物和人体内激素的表达，正确的选项是A 、下丘脑分泌的激素，通过垂体能妨碍和操纵胰岛细胞的分泌活动B 、生长激素和性激素均能与双缩脲试剂发生作用，产生紫色反应C 、激素和酶相似，基本上微量高效的物质，都能一次产生多次利用D 、人在寒冷的环境中，血液中的甲状腺激素和肾上腺素都将增加7、分子式为C 5H 10的链烃的同分异构体共有〔包括立体异构〕A.6种B.7种C.8种D.9种8、：t ℃时，某物质的不饱和溶液ag 中含溶质mg 。
2019届陕西西北工业大学附中中考二模数学试卷【含答案及解析】
2019届陕西西北工业大学附中中考二模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列各数中是负数的是（）A．|﹣6| B．（﹣6）﹣1 C．﹣（﹣6） D．（﹣6）02. 如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A． B． C． D．3. 计算（﹣3a3）2的结果是（）A．﹣6a5 B．6a5 C．9a6 D．﹣9a64. 某商场一天中售出某种品牌的运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，5. 鞋的尺码（单位：cm）2323.52424.525销售量（单位：双）12251td6. 图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，如果，AC=6，那么AE的长为（）A．3 B．4 C．9 D．127. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是（）A．12 B．36 C．24 D．608. 不等式组的最小整数解为（）A．1 B．2 C．5 D．69. 已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（）A．－ B．2 C． D．﹣210. 如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A． B． C． D．11. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题12. 分解因式：a3﹣a= ．13. ．A．已知圆锥的底面半径长为5，圆锥侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为．B．（用计算器）若某人沿坡角为23°的斜坡前进168cm，则他上升的高度是（精确到0.01m）14. 如图，反比例函数y=的图象与矩形AOBC的边AC交于E，且AE=2CE，与另一边BC交于点D，连接DE，若S△CED=1，则k的值为．15. 如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC交于点Q，则线段QP的最小值是．三、计算题16. 计算：四、解答题17. 化简：，并求值，其中a=3+．18. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规求作一直线AD，使直线过顶点A，且平分△ABC的面积（不需写作法，保留作图痕迹）19. 为了降低塑料袋﹣﹣“白色污染”对环境污染．学校组织了对使用购物袋的情况的调查，小明同学5月8日到站前市场对部分购物者进行了调查，据了解该市场按塑料购物袋的承重能力分别提供了0.1元，0.2元，0.3元三种质量不同的塑料袋，下面两幅图是这次调查得到的不完整的统计图（若每人每次只使用一个购物袋），请你根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次调查的购物者总人数是人；（2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中0.2元部分所对应的圆心角是度，0.3元部分所对应的圆心角是度；（3）若5月8日到该市场购物的人数有3000人次，则该市场应销售塑料购物袋多少个？20. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．21. 如图，现有甲、乙两个小分队分别同时从B、C两地出发前往A地，甲沿线路BA行进，乙沿线路CA行进，已知C在A的南偏东55°方向，AB的坡度为1：5，同时由于地震原因造成BC路段泥石堵塞，在BC路段中位于A的正南方向上有一清障处H，负责抢修BC路段，已知BH为12000m．（1）求BC的长度；（2）如果两个分队在前往A地时匀速前行，且甲的速度是乙的速度的三倍．试判断哪个分队先到达A地．（tan55°≈1.4，sin55°≈0.84，cos55°≈0.6，≈5.01，结果保留整数）22. 某市为鼓励居民节约用水，规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨的部分仍按a元/吨收费，超过的部分按b元/吨（b＞a）收费，已知该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如表所示：23. 月份用水量（立方米）水费（元）3285642035.2td24. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）25. 如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于点O，D在⊙O上，连接BD、CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若AF=10，tan∠BDF=，求EF的长．26. 如图，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并写出其对称轴；（2）把（1）中所求出的抛物线记为C1，将C1向右平移m个单位得到抛物线C2，C1与C2的在第一象限交点为M，过点M作MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM，当△CMH为等腰三角形时，求抛物线向右平移的距离m和此时点M的坐标．27. 已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
陕西省西工大附中2019届高三11月模拟考试
陕西省西工大附中2019届高三11月模拟考试陕西省西工大附中2019届高三11月模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数2019计算的结果是（）DA ．－1B ．-i C2．若sin 20 =a ，则sin 230 的值为（）A ．2a 2-1B ．1-a 2C ．a 2-1D ．1-2a 2⎫3．-2x 2⎪的展开式中常数项是（）⎭5A ．5B ．-5C ．10D ．-104．已知{a n }为等差数列，若a 1=12，则必有（） S n 为其前n 项和．S 6=S 11，A ．a 17=0 B ．a 6+a 12=0 C ．S 17>0 D ．a 95．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．6B ．9C ．12D ．186．右图是函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0) 图像的一部分，则ω和φ为（）115πＡ．ω=, φ=-567πＢ．ω=, φ=-65175πＣ．ω=, φ=-5613πＤ．ω=, φ=-567．展开(a +b +c ) 10合并同类项后的项数是（）A ．11B ．66C ．76D ．13418．已知随机变量X 的取值为0，1，2，若P (X =0) =，EX =1，则DX=5（）A ．⎧y ≤1⎪9．若变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥0，则z =x -2y 的最大值为( )⎪x -y -2≤0⎩A ．4B ．3C ．2D ．12424 B ． C ． D ． 553310．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA ⋅PB =0，PB ⋅PC =0，PC ⋅PA =0, 则三棱锥P -ABC 的侧面积的最大值为（） 1A ．B ．1C ．2D ．42x 2211．已知抛物线y =8x 的焦点与双曲线2-y 2=1的一个焦点重合，则该a双曲线的离心率为（）ABCD12．已知函数f (x ) =ax 3-3x 2+1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（）A . （2，+∞）B . （-∞，-2）C . （1，+∞）D . （-∞，-1）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）ππ13．已知ω>0，函数f (x ) =sin(ωx +) 在(, π) 上42单调递减，则ω的取值范围是；14．如右图，输入正整数m , n ，满足n ≥m ，则输出的p = ；15．若直线l ：y =kx +1被圆C ：x 2+y 2-2x -3=0截得的弦最短，则；16．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）17．（本小题共12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P (A ) =0.96．（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列与期望．18．（本小题共12分）已知数列{a n }中，且a 1≠a 2，当n ∈N +S n 为其前n项和，时，恒有S n =pna n （p 为常数）．(Ⅰ) 求常数p 的值；(Ⅱ) 当a 2=2时，求数列{a n }的通项公式；74（Ⅲ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n4(a n +2) a n +119. （本小题共12分）四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC =22，SA ＝SB ＝3．（Ⅰ）求证：SA⊥BC ；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．20．（本小题共12分）已知定点C (-1,0) 及椭圆x 2+3y 2=5，过点C 的动直线与该椭圆相交于A , B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA ⋅MB 为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21. （本小题共12分）（Ⅰ）已知正数a 1、a 2满足a 1+a 2=1，求证：a 1log 2a 1+a 2log 2a 2≥-；1（Ⅱ）若正数a 1、a 2、a 3、a 4满足a 1+a 2+a 3+a 4=1，求证：a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-2．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图， O 和 O ' 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C , D 两点，连结DB 并延长交 O 于点E .证明：（I ）AC ⋅BD =AD ⋅AB ；（II ）AC =AE .23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x y x 2y 2+=1，直线l ：+=1，已知椭圆C ：1282416（I ）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；（II ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP上且满足2OQ ⋅OP =OR ．当点P 在l 上移动时，求点Q 在直角坐标系下的轨迹方程．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x ) =|x -2|-|x -5|．（I ）证明：-3≤f (x ) ≤3；（II ）求不等式：f (x ) ≥x 2-8x +14的解集．模拟训练数学（理科）参考答案一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B⎡15⎤m二．填空题：13．⎢, ⎥， 14．A n ， 15．1， 16．50．24⎣⎦三、解答题： 17．【解】：（Ⅰ）1-p 2=0.96⇔p =0.2．（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20⨯0.2=4件，显然X=0,1,2．故21C 16C 1C 21232316C 4P (X =0) =2=．P (X =1) =2=．P (X =2) =24=．C 2019C 2095C 2095所以X 的分布列为38∴EX=9518．【解】：(Ⅰ) 当n =1时，a 1=S 1，∴a 1=pa 1，⇒p =1或a 1=0当p =1时，S n =na n 则有S 2=2a 2⇔a 1+a 2=2a 2⇔a 1=a 2与已知矛盾，∴p ≠1，只有a 1=0．当n =2时，由S 2=2pa 2⇔a 1+a 2=2pa 2，∵a 1=0又a 1≠a 2∴a 2≠01∴p =2n n -1n >2a =S -S =a -a n -1 (Ⅱ) ∵a 2=2，S n =1，当时，na n n n -1n n 2 22a a a a(n -2) a n =(n -1) a n -1⇔n =n -1，∴n =2⇔a n =2n -2n -1n -2n -11当n =1时，a 1=2⨯1-2=0也适合。
“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={x|log2x>0}，则M∩N为()A. (−2,2)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (−2,+∞)【答案】C【解析】解：∵集合M={x|−2<x<2}，N={x|log2x>0}={x|x>1}，∴M∩N={x|1<x<2}=(1,2)．故选：C．分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z满足z=−1+5i2，则|z|=()A. 3B. √26C. 4D. √262【答案】D【解析】解：由复数模的运算法则可得：|z|=|−1+5i2|=|−1+5i||2|=√262．故选：D．由题意结合复数模的运算法则计算z的模即可．本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题．3.若实数x，y满足约束条件{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，则目标函数z=√x2+y2的最大值为()A. √6B. √10C. 2√2D. √7【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足约束条件{x+y≤4 y−x≥0 x−1≥0，所对应的可行域，而目标函数z=√x2+y2表示可行域内的点A到原点距离的平方，由：{x +y =4x=1，解得A(1,3)数形结合可得最大值为：√1+9=√10， 故选：B ．作出可行域，z =√x 2+y 2表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4. 已知命题p ：对∀x >0，总有x <sinx ；命题q ：直线l 1：ax +2y +1=0，l 2：x +(a −1)y −1=0若l 1//l 2，则a =2或a =−1；则下列命题中是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∧(￢q)C. (￢p)∨qD. p ∨q【答案】D【解析】解：设f(x)=sinx −x ，则f′(x)=cosx −1≤0，则函数f(x)在x ≥0上为减函数， 则当x >0时，f(x)<f(0)=0，即此时sinx <x 恒成立，即命题p 是真命题， 若a =0，则两直线方程为l 1：2y +1=0，l 2：x −y −1=0，此时两直线不平行，不满足条件．若a ≠0，若两直线平行，则满足1a =a−12≠−11，由1a =a−12得a(a −1)=2，即a 2−a −2=0得a =2或a =−1，由1a ≠−1得a ≠−1，则a =2，即命题q 是假命题， 则p ∨q 是真命题，其余为假命题， 故选：D ．根据条件判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．5. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A. 23 B. 12 C. 15 D. 25【答案】B【解析】解：现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p=mn =510=12．故选：B．基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m= C51=5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.如图是计算12+14+16+18+110值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A. k≥5B. k<5C. k>5D. k≤6【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算12+14+16+18+110值，共循环5次，∴跳出循环体的n值为12，k值为6，∴判断框内应填的条件是k>5或k≥6．故选：C．根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．7. 已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >b >aD. b >c >a【答案】A【解析】解：点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上， ∴f(2)=2n =8，解得n =3，∴f(x)=x 3，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，∴45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1， c =(log 1254)3<(log 121)3=0，∴a ，b ，c 的大小关系是b >a >c ． 故选：A ．推导出f(x)=x 3，从而45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1，c =(log 1254)3<(log 121)3=0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象经过下列两次变换而得到的( )A. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位B. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移π24个单位C. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半D. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍 【答案】C【解析】解：要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象向左平移π12个单位，得到y=sin(x+π12)，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到y=sin(2x+π12)，故选：C．根据三角函数的图象变换关系进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为()A. 2B. 2√2C. √6D. √2【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：可知PA⊥底面ABC，三角形ABC是等腰三角形，AB⊥BC，可知PC是最长的棱长：√4+4=2√2．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长．本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．10.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为32，则双曲线的离心率为()A. 32B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，∴双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为(−1,0)x=−1时，代入双曲线方程，由b2=1−a2，可得y=±1−a2a，∵△AOB 的面积为32， ∴12⋅1⋅2(1−a 2)a=32，∴a =12，∴e =ca =2． 故选：D ．求出抛物线y 2=4x 的准线方程，可得双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，求出x =−1时，y 的值，利用△AOB 的面积为32，求出a ，即可求双曲线的离心率．本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键．11. 一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是( )A. 若n =9，则甲有必赢的策略B. 若n =11，则乙有必赢的策略C. 若n =6，则乙有必赢的策略D. 若n =4，则甲有必赢的策略【答案】A【解析】解：若n =9，则甲有必赢的策略， 必赢策略如下： 第一步：甲先抓1球，第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时； ②当乙抓2球时，甲再抓2球时； ③当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球， 则布袋中都会剩余1--3个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜． 故选：A ．甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1--3个球，通过简单的合情推理可以得解． 本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．12. 已知函数f(x)={xe x ,x ≥0−x,x <0，又函数g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,−e 2+1e )B. (e 2+1e ,+∞)C. (−e 2+1e ,−2)D. (2,e 2+1e )【答案】A【解析】解：由已知有f(x)=xe x (x ≥0)， f′(x)=1−x e x，易得0≤x <1时，f′(x)>0，x >1时，f′(x)<0， 即f(x)在[0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数， 设m =f(x)，则h(m)=m 2+tm +1， 设h(m)=m 2+tm +1的零点为m 1，m 2 则g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个， 函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置关系如图所示， 由图知：0<m 2<1e <m 1， 即h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，故选：A ．由函数的零点与函数图象的交点问题得：g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个，结合利用导数研究函数的图象可作出函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置， 由二次方程区间根问题得：h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，得解本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题二、解答题（本大题共11小题，共102.0分）13. 若S 1=∫x 221dx,S 2=∫1x 21dx,S 3=∫e x 21dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为______． 【答案】S 2<S 1<S 3【解析】解：S 1=13×(23−13)=73， S 2=ln2−ln1=ln2， S 3=e 2−e ，其中0<S 2<1，2<S 1<3，S 3>3， 故答案为S 2<S 1<S 3运用微积分基本定理可解决此问题． 本题考查定积分的简单应用．14. 公比为√2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12=16，则log 2a 15=______． 【答案】6【解析】解：∵a 2a 12=a 72=16，∴a 7=4， ∴log 2a 15=log 2a 7q 8=log 24×(√2)8=6． 故答案为：6．等比中项结合对数的运算性质可得结果．本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题．15. 圆x 2+y 2=1的任意一条切线与圆x 2+y 2=4相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O为坐标原点，则x 1x 2+y 1y 2=______． 【答案】−2【解析】解：根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2， 又由OP ⊥AB ，则∠BOP =60∘， 则∠AOB =120∘， 又由A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2， 则x 1x 2+y 1y 2=−2； 故答案为：−2．根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，由两个圆的方程分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2，又由OP ⊥AB ，分析可得∠AOB =120∘；结合数量积的计算公式可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2，即可得答案．本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基础题．16. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =b ∗a ； (2)对任意a ，a ∗0=0；(3)对任意a ，b ∈R ，(a ∗b)∗c =c(ab)+(a ∗c)+(b ∗c)−5c ． 则函数f(x)=x ∗1x (x >0)的最小值为______． 【答案】−3【解析】解：根据定义的运算性质得：f(x)=x ∗1x =(x ∗1x )∗1 =1×(x ⋅1x )+(x ∗1)+(1x ∗1)−5×1=1+1∗x +1∗1x =x +1x −5，因为x >0，由均值不等式得f(x)=x +1x−5≥2√x ⋅1x−5=2−5=−3(当且仅当x =1时取“=”)， 即f(x)的最小值为−3． 故答案为−3．根据题目给出的新定义，写出函数的解析式f(x)=x +1x −5，然后运用基本不等式求最值．本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义，正确写出熟悉的函数表达式．17. 某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道(不考虑宽度)，BE 为赛道内的一条服务通道，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km ．(1)求服务通道BE 的长度；(3)应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？【答案】解：(1)∵连接BD ，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ⋅cos∠BCD =3+3+2×√3×√3×12=9， ∴BD =3， ∵BC =CD ，∴∠CBD =∠CDB =π6， 又∵∠CDE =2π3，∴∠BDE =π2，在Rt △BDE 中，BE =√BD 2+DE 2=5． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理可得：BE 2=AB 2+AE 2−2AB ⋅AE ⋅cos∠BAE ，即：25=AB 2+AE 2+AB ⋅AE ，可得：(AB +AE)2−25=AB ⋅AE ≤(AB+AE 2)2， 从而34(AB +AE)2≤25，即：AB +AE ≤10√33，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即设计为AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长．【解析】(1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理可得BD 的值，由BC =CD ，可求∠CBD =∠CDB =π6，可求∠BDE =π2，利用勾股定理可求BE 的值． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理，基本不等式可求AB +AE ≤10√3，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即可得解AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长． 本题主要考查了余弦定理，勾股定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 (1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润； (2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A ，B 两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表： 寿命类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：∑y i 6i=1=96,∑x i 6i=1y i =371．参考公式：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂,其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)=96∑(n i=1x i −x −)2．【答案】解：(1)由折现图可知统计数据(x −,y −)共6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得x −=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，y −=16∑y i 6i=1=16⋅96=16，故b ̂=371−6⋅3.5⋅1617.5=2，故a ̂=y −−b ̂x −=16−2⋅3.5=9， ∴x 关于y 的线性回归方程为y ̂=2x +9， 故x =11时，则y ̂=2×11+9=31，即预测公司2018年1月份(即x =7时)的利润为31百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型材料利润的数学期望为(5−10)×0.2+(10−10)×0.35+(15−10)×0.35+(20−10)×0.1=1.75万元；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴B 型材料利润的数学期望为(5−12)×0.1+(10−12)×0.3+(15−12)×0.4+(20−12)×0.2=1.50万元； ∵1.75>1.50， ∴应该采购A 型材料．【解析】(1)求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论； (2)分别计算相应的数学期望，即可得出结论．本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角∠BAD =∠ADC =60∘，直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，且∠EDA =90∘，ED =AD =2AF =2AB =2． (1)证明：平面ABE ⊥平面EBD ；(2)点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【答案】证明：(1)∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF =AD ，ED ⊥AD ，∴EAD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AD ， ∵AB =1，AD =2，∠BAD =60∘， ∴BD =√1+4−2×1×2cos60∘=√3， ∴AB 2+BD 2=AD 2，∴AB ⊥AD ，又BD ⊂平面BDE ，ED ⊂平面BDE ，BD ∩ED =D ， ∴AB ⊥平面BDE ，又AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EBD ．解：(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,0，0)，C(−12,√32,0)，D(0,√3,0)，E(0,√3,2)，F(1,0，1)，则CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,−1)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗ =(λ,−√3λ,−λ)，(0≤λ≤1)， 则BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,√3−√3λ,2−λ)， 设平面CDE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，平面ABM 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y =02z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)， {n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x =0λx +(√3−√3λ)y +(2−λ)z =0， 取y =2−λ，得n ⃗ =(0,2−λ,√3λ−√3)，∵平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=|2−λ|2√4λ2−10λ+7=√34， 解得λ=12，∴点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【解析】(1)推导出EAD ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ，AB ⊥AD ，由此能证明AB ⊥平面BDE ，从而平面ABE ⊥平面EBD ．(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，点P(2,3)为其上一点，且|PF 1|+|PF 2|=8． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx −4交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．【答案】解：(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12，∴椭圆的方程为x 216+y 212=1， (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{x 216+y 212=1y =kx −4得(4k 2+3)x 2−32kx +16=0， ∴x 1+x 2=32k4k 2+3，x 1x 2=164k +3，由△>0，即(−32k 2)−4×16(4k 2+3)>0，解得k >12或k <−12.① ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4)=(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16=(k 2+1)⋅164k 2+3−4k ⋅32k 4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0解得−2√33<k <2√33.② 由①②解得实数k 的范围是(−2√33,−12)∪(12,2√33). 【解析】(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12求椭圆C 的方程． (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，推出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，然后求解k 的范围即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21. 函数f(x)=ln(x +t)+ax ，其中t 、a 为实常数．(1)若t =0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)t =0时，不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若g(x)=e x +ax ，当t ≤2时，证明：g(x)>f(x)． 【答案】解：(1)当t =0时，f(x)=lnx +ax ，x >0， ∴f′(x)=1x −ax 2=x−a x 2，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，若0<x <a ，则f′(x)<0，函数单调递减，若x >a ，则f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增， (2)∵不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，∴a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]∴h′(x)=1−1−lnx=−lnx≥0恒成立，∴h(x)在(0,1]上单调递增，∴h(x)max=h(1)=1，∴a≥1(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，∴x+t>0，∴x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，∴m′(x)=e x−1，当x>0时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增，当x<0时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，∴m(x)>m(0)=1−1>0，∴e x>x+1，要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，∴φ′(x)=1−1x+t =x+t−1x+t，令φ′(x)=0，解得x=1−t>−1，当x>1−t时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当−t<x<1−t时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，∴φ(x)min=φ(1−t)=2−t≥0，∴g(x)>f(x)．【解析】(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax ，x>0，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数的单调性．(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，可得a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，由x+t>0，可得x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性可得e x>x+1.因此要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：x2+y2−x=0，C2：x2+y2−2y=0．(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线C2的参数方程；(2)直线l过原点，且与曲线C1，C2分别交于A，B两点(A,B不是原点)，求|AB|的最大值．【答案】解：(1)如图，C 1：x 2+y 2−x =0，即(x −12)2+y 2=14， 是以C 1(12,0)为圆心，12为半径，且过原点的圆，设∠PC 1x =α(0≤α<π)． 则{x =12+12cosαy =12sinα， 由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤θ<π，而α=2θ， 所以圆的参数方程为：{x =12+12cos2θy =12sin2θ(θ为参数，且0≤θ<π)． (2)根据已知C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ=cosα，ρ=2sinα(ρ>0)， 故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=√5|sin(α±φ)|≤√5，其中tanφ12． 故当|sin(α±φ)|=1时，等号成立． 综上，|AB|的最大值为√5．【解析】(1)先设出圆C 2的参数方程的标准形式，再根据两个参数之间的关系可得； (2)利用极坐标方程的极径的几何意义可求得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正实数a ，b 满足4a+5b +13a+2b =n6时，求4a +7b 的最小值． 【答案】解：(1)对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立； 因为|x +2|+|x −4|≥|(x +2)−(x −4)|=6， 所以6≥m ，即m ≤6， 实数m 的取值范围是m ≤6；(2)由(1)知n =6，所以4a+5b +13a+2b =n6=1， 所以4a +7b =(4a +7b)(4a+5b +13a+2b )=[(a +5b)+(3a +2b)](4a +5b +13a +2b)=4+1+4(3a+2b)a+5b+a+5b 3a+2b ≥5+2√4(3a+2b)a+5b ⋅a+5b3a+2b =9，当且仅当b =5a ，即a =313，b =1513时取“=”； 所以4a +7b 的最小值为9．【解析】(1)不等式化为|x+2|+|x−4|≥m恒成立，利用绝对值不等式求出|x+2|+ |x−4|的最小值，即可得出m的取值范围；(2)由(1)知n=6，得4a+5b +13a+2b=n6=1，则4a+7b=(4a+7b)(4a+5b+13a+2b)，再利用基本不等式求出它的最小值．本题考查了绝对值不等式以及基本不等式的应用问题，是中档题．。
2019届高三数学二模试卷理科附答案
2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。
陕西省西工大附中2019届高三5月模拟考试数学试题(理)
陕西省西工大附中2019届高三5月模拟考试数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l}B．{x|﹣l＜x＜l}C．{x|﹣1＜x＜4}D．{x|l＜x＜4} 2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，则a n等于（）A．2n﹣1B．3n﹣1 C．2n D．3n5．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为（）A．160 B．80 C．﹣80 D．﹣1607．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．9．设命题p：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，命题q：，若圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则b2+c2=2a2．那么下列命题为假命题的是（）A．￢q B．￢p C．（￢p）∨（￢q）D．p∧（￢q）10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．72 B．80 C．86 D．9211．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．已知3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，则[a]等于．14．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．15．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），则满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan tan+（tan+tan）=1．（I）求△ABC的内角C的值；（II）求证：c2≥4S．18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽75.3 24.6 18.3 101.4（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．19．在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，A1D1的中点．（1）证明：BD⊥A1C；（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线x=（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2=+（O为坐标原点）．（I）求椭圆的离心率；（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使•为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x+m﹣lnx．（I）设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e x﹣elnx≥e；（II）设x=x0是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（I）写出直线l的参数方程；（II）设l与圆x2+y2=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）．（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；（II）若x∈[3，+∞），关于x不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立，求实数m 的取值范围．陕西省西工大附中2019届高三5月模拟考试数学试题(理)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l}B．{x|﹣l＜x＜l}C．{x|﹣1＜x＜4}D．{x|l＜x＜4}【考点】并集及其运算．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x丨0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜4}，故选：C．2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量的三角形法则用表示出．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵E是BC中点，∴=﹣=﹣．∴==．∴x=1，y=﹣．故选D：．4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，则a n等于（）A．2n﹣1B．3n﹣1 C．2n D．3n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，可得（2x+1）2=x（4x+5），解得x即可得出．【解答】解：∵x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，∴（2x+1）2=x（4x+5），解得x=1．∴公比q==3．则a n=3n﹣1．故选：B．5．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，可得g（x）的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得g（x）的图象的对称轴方程．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象，可得=﹣，∴ω=2，则函数g（x）=cos（ωx+）=cos（2x+），令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，当k=1时，x=，故选：B．6．已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为（）A．160 B．80 C．﹣80 D．﹣160【考点】二项式定理的应用．【分析】求定积分可得a的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中x﹣3的系数．【解答】解：a=dx=2，则二项式（1﹣）5=（1﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x﹣r，令﹣r=﹣3，求得r=3，可得展开式中x﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣80，故选：C．7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线和渐近线的交点的纵坐标，根据不等式关系求出a，b的范围，进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴当x=﹣1时，y=±，∵交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，∴||＜2，则离心率e=====，∵e＞1，∴1＜e＜，故选：B8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得S=600，i=1执行循环体，S=600，i=2不满足条件S＜1，执行循环体，S=300，i=3不满足条件S＜1，执行循环体，S=100，i=4不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5不满足条件S＜1，执行循环体，S=5，i=6不满足条件S＜1，执行循环体，S=，i=7满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．故选：C．9．设命题p：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，命题q：，若圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则b2+c2=2a2．那么下列命题为假命题的是（）A．￢q B．￢p C．（￢p）∨（￢q）D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：由于函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，因此∃x0∈（0，+∞），使得e+x0=e，即可判断出真假．对于命题q：由于两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，可知两圆必然外切，进而判断出真假．【解答】解：对于命题p：∵函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，是真命题．对于命题q∵两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，因此两圆必然外切，∴=2|a|，∴b2+c2=4a2．故命题q为假命题．只有￢q为真命题．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．72 B．80 C．86 D．92【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图复原的几何体，画出图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：如图：三视图复原的几何体是五棱柱ABCEF﹣A1B1C1E1F1，其中底面面积S==14，底面周长C=1+4+5+1+5=16，高为h=4，表面积为：2S+Ch=28+64=92．故选：D．11．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x ﹣3|x﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由h（x）=2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|=3﹣（x﹣1）2﹣3|x﹣1|，当x=1∈（0，3）时，h（x）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2，即有a＞2．故选A．12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，=•a2•h=9，∵V棱锥S﹣ABCD∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．已知3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，则[a]等于4．【考点】函数的值．【分析】由题意43=64，53=125，根据3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，即可得出结论．【解答】解：由题意43=64，53=125，∵3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，∴[a]=4．故答案为：4．14．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为5．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜20，S=21=2，k=2满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．15．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H 点，由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，故|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值为|FA|﹣．利用两点间的距离公式求得|FA|，即可得到|最小值|FA|﹣的值．【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，∴|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣．∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5．则所求为|PM|+|PA|=5﹣=．故答案为：．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），则满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为10．【考点】数列的求和．【分析】由=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），可得S n=na n+1﹣n（n+1），利用递推关系可得：a n+1﹣a n=2．利用等差数列的通项公式及其求和公式可得a n，S n．代入a n S n ≤2200化简整理即可得出．【解答】解：∵=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），∴S n=na n+1﹣n（n+1），=（n﹣1）a n﹣（n﹣1）n，相减可得：a n+1﹣a n=2．∴n≥2时，S n﹣1∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n==n（n+1）．∴a n S n≤2200化为：2n•n（n+1）≤2200，即n2（n+1）≤1100=102×11，∴n≤10．∴满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为10．故答案为：10．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan tan+（tan+tan）=1．（I）求△ABC的内角C的值；（II）求证：c2≥4S．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（I）利用正切的和差公式即可得出．（II）利用余弦定理、基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴，，即，∵A、B为△ABC内角，∴，即．于是．（II）证明：由用余弦定理，有，∵△ABC的面积，∴，于是．18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽75.3 24.6 18.3 101.4（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数及，即可求得y关于x的回归方程；（Ⅱ）由题意求得优等品的个数，求得随机变量ξ取值，分别求得P（ξ=0），P （ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，由=，ln=1，=e，故所求回归方程为．（Ⅱ）由，x=58，68，78，即优等品有3件，ξ的可能取值是0，1，2，3，且，，，．0 1 2 3∴．19．在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，A1D1的中点．（1）证明：BD⊥A1C；（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）通过证明BD⊥平面A1AC得出BD⊥A1C．（2）过C作CM⊥BE与M，则可证CM⊥平面ABEF，故而∠CAM为所求的角．利用三角形相似求出CM，从而得出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD．∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又AC⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．（2）过C作CM⊥BE于M，连结AM，∵AB⊥平面BCC1B1，MC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MC，又MC⊥BE，AB⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，AB∩BE=B，∴CM⊥平面ABEF，∴∠CAM为直线AC与平面ABEF所成的角．由△BB1E∽△CMB得，即，解得CM=．∴sin∠CAM===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线x=（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2=+（O为坐标原点）．（I）求椭圆的离心率；（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使•为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意分别求得D、F和P点坐标，根据向量加法的坐标表示求得a和b的关系、由椭圆的性质a2=b2+c2及e=即可求得e；（II）由c=3，即可求得椭圆方程，并求得过点A的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由△＞0求得k的取值范围，利用韦达定理，表示出•，令•=u，（整理68+4n2﹣32n﹣4u）k2+n2﹣u﹣12=0，对任意k∈（﹣，）都成立，求得关于n和u的二元一次方程组，即可求得n的值，求得C点坐标．【解答】解：（I）由题意可知：A（，0），B（0，b），直线AB的方程是：，将x=c代入，得y=，∴D（0，），将x=c代入，得y=±（舍负），∴P（0，），∵2=+，∴2（0，）=（c，0）+（0，），整理得：=，即a=2b，∵a2=b2+c2，∴e==，椭圆的离心率；（II）当c=3时，椭圆的方程为：，过A（4，0）的直线方程为y=k（x﹣4），将直线方程代入椭圆方程消去y，整理得：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，∴△=（﹣32k2）﹣4（1+4k2）（64k2﹣12）=﹣4（16k2﹣12）＞0，解得：﹣＜k＜，假设存在点C（n，0），使得•为常数，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，•=（x1﹣n，y1）•（x2﹣n，y2），=（x1﹣n）•（x2﹣n）+y1•y2，=（x1﹣n）•（x2﹣n）+k2（x1﹣4）（x2﹣4），=（1+k2）x1•x2﹣（n+4k2）（x1+x2）+n2+16k2，=（1+k2）×﹣（n+4k2）×+n2+16k2=u，整理得：（68+4n2﹣32n﹣4u）k2+n2﹣u﹣12=0，对任意k∈（﹣，）都成立，∴，解得：，故在x轴上存在点（，0）使为常数．21．已知函数f（x）=e x+m﹣lnx．（I）设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e x﹣elnx≥e；（II）设x=x0是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，利用x=1是函数f（x）的极值点，求出m，确定f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）=1，即可证明：e x﹣elnx≥e；（II）证明f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x）在x=x0处取得最小值，可得f（x）≥f（x0）=﹣lnx0=+x0+m，利用f（x）≥0恒成立，得出+x0+m≥0，进而得出x0≤a，即可求m的取值范围．【解答】（I）证明：∵f（x）=e x+m﹣lnx，∴f′（x）=e x+m﹣∵x=1是函数f（x）的极值点，∴f′（x）=e1+m﹣1=0，∴m=﹣1，∴f′（x）=e x﹣1﹣，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）=1，∴e x﹣1﹣lnx≥1，∴e x﹣elnx≥e；（II）解：f′（x）=e x+m﹣，设g（x）=e x+m﹣，则g′（x）=e x+m+＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∵x=x0是函数f（x）的极值点，∴x=x0是f′（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，∴=，∴x0+m=﹣lnx0，∵0＜x＜x0，f′（x）＜f′（x0）=0，x＞x0，f′（x）＞f′（x0）=0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x）在x=x0处取得最小值，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0=+x0+m，∵f（x）≥0恒成立，∴+x0+m≥0，∴+x0≥x0+lnx0，∴≥lnx0，∵alna=1，∴x0≤a，∴m=﹣x0﹣lnx0≥﹣a﹣lna．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（I）写出直线l的参数方程；（II）设l与圆x2+y2=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）直线的参数方程为，化简即可得出．（II）把直线代入x2+y2=2化为：．利用根与系数的关系即可得出点P到A，B两点的距离之积．【解答】解：（I）直线的参数方程为，即．（II）把直线代入x2+y2=2．得，化为：．∴t1t2=3，∴点P到A，B两点的距离之积为3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）．（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；（II）若x∈[3，+∞），关于x不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+，利用函数单调性的定义进行证明判断即可．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论得到当x∈[3，+∞），f（x）=x+的最小值为f（3）=，然后将不等式恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．【解答】（I）解：当a=1时，f（x）=x+，当x＞0时，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x2+﹣x1﹣=（x2﹣x1）+=（x2﹣x1）（1﹣），要确定此式的正负只要确定1﹣的正负即可．①当x1、x2∈（0，1）时，1﹣＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，为减函数，②当x1、x2∈（1，+∞）时，1﹣＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，为增函数．即函数f（x）的单调递增区间为为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II）若x∈[3，+∞），由（Ⅰ）知，函数f（x）=x+的最小值为f（3）=3+=，于是不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立等价为≥|m﹣|+|m+|恒成立∵|m﹣|+|m+|≥|﹣m+m+|=，∴|m﹣|+|m+|=，此﹣≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣，]．。
陕西省西北工业大学附属中学2019届高三第二次适应性考试数学(理)试题Word版含答案
陕西省西北工业大学附属中学2019届高三第二次适应性考试数学（理）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第一部分（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线23y x =的焦点坐标是A. 3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,012⎛⎫ ⎪⎝⎭2.《莱茵的草书》（Rhind Papyrus ）是是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三分之和的17是较小的两份之和，则最小一份为A. 53B. 103C. 56D.116 3.下列命题中，假命题是A.“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数cos y x =的一个周期”B.“0m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的充分不必要条件C.“若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题D.“任意()0,a ∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定4.如图是一个有底容器的三视图，现向容器中均匀注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是5.某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1,2,3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有A. 30种B. 90种C. 150种D. 180种6.已知函数()21f x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2015S 的值为 A. 40304031 B. 20144029 C. 20154031 D. 402940317.设复数()()1,0z x yi x R y =-+∈≥，若1z ≤，则y x ≥的概率为A. 3142π+B. 1142π-C. 112π+D. 112π- 8.已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于A,B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为A. 4230x y --==B. 220x y +-==C. 4230x y +-==D. 220x y -+=9.对一名学生8次的数学成绩进行了统计，第次统计得到的数据具体为如在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中a 是这8个数据的平均数），则输出的S 的值是 A. 9 B. 8 C. 7 D. 610.已知11,,,,44AB AC AB AC t t t ⎡⎤⊥==∈⎢⎥⎣⎦，若P 是ABC 所在平面内一点，且ABACAP AB AC =+，则PB PC ⋅的取值范围是A. []13,17B. []12,13C. 3,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.已知定义在[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，当()12,2n n x n N -*⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图像面积为n S ，则n S =A. nB. 2C. 2nD.2n 12.已知数列{}n a 满足，1211,2a a ==，且()()23122110,.n n n n a a n N *+⎡⎤⎡⎤+--+--=∈⎣⎦⎣⎦记2n T 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}nb 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式2111n n nT b b ⎛⎫+⋅< ⎪⎝⎭成立的最小整数n 为A. 7B. 6C. 5D. 4第二部分（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.在ABC 中，角A,B,C 对应的边分别是a,b,c ，已知b =，sinA 2sinB =,则cos A = .14.已知集合(){}21|y lg ,|y 1x x e A x a x B y e ⎧⎫+==-==⎨⎬+⎩⎭，且()R C B A R =，则实数a 的取值范围是 .15.二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中所有有理项的系数和等于 （用数字作答）. 16.已知点(),A a b 与点()1,0B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法：①34100a b -+>；②当0a >时，a b +2>；④当0a >且1,0a b ≠>时，1b a -的取值范围是53,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中所有正确的说法序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（,a R a ∈为常数）. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AC CC AB BC ===D 是1BA 上的一点，且AD ⊥平面1.A BC（1）求证：BC ⊥平面11;ABB A（2）在1BB 棱上是否存在一点E ，使平面AEC 与平面的11ABB A 夹角等于60？若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分12分)第二届世界互联网大会将于2015年12月16日—18日在浙江乌镇进行，届时将有世界各国的互联网精英云集于此共商世界互联网的未来.现在人们的生活已经离不开互联网，网上购物已悄悄走进人们的生活，在刚刚过去的双十一，有4位好友相约：每个人通过执一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用,ξη本别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 分分布列与数学期望EX .20.(本小题满分12分)设12,F F 是椭圆()22:x 2y 20C λλ+=>的左、右两个焦点，P 是椭圆C 上的任意一点.（1）记12F PF θ∠=，求证：cos 0;θ≥（2）若()11,0F -，点()2,0N -，已知椭圆C 上的两个动点A,B 满足NA NB μ=，当11,53μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线AB 斜率的取值范围.已知函数()()0f x kxlnx k =≠有极小值1.e- （1）求实数k 的值；（2）设实数,a b 满足0a b <<.①计算：10ln ln ;2a b x dx +-⎰ ②记①中计算结果(),G a b ，求证：()1,ln 2.G a b b a <-请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程是22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （1）将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A,B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值.23.(本小题满分10分)不等式选讲 已知不等式2326t t m m +--≤-对任意t R ∈恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若（1）中实数m 的最大值为λ，且实数,,x y z 满足345x y z λ++=，求222x y z ++的最小值.。
2019届陕西省西北工业大学附属高三考前模拟练习数学（理）试题
2019届陕西省西北工业大学附属中学高三考前模拟练习数学（理）试题一、单选题1．若(12)x i i yi +=+（,x y R ∈，i 是虚数单位），则y x -等于（ ） A ．3 B ．2C ．0D ．1-【答案】A【解析】()122i ni n ni m i +=-+=+，因,m n R ∈，故1,22n m n ==-=-，所以3n m -=，选A.2．命题P :“x e ∀>，ln 0a x -<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≤ B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >【答案】B【解析】由题意得min (ln ),ln 11a x x e x a ∴>∴≤ ,因为(,1)(,1],(,1)(,1]-∞⊂-∞-∞≠-∞ ,因此一个充分不必要条件是1a <,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3．已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >0y ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C D ．2【答案】B【解析】由双曲线的渐近线方程得出m 的值，再求双曲线的离心率． 【详解】已知双曲线C 的渐近线方程为3x y 0±=，且0m >，所以32m=，得12m =. 44c m =+=，所以双曲线C 的离心率为2323c e a ===. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于基础题． 4．下列说法错误的是（ ）A ．回归直线一定经过样本点中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C ．对分类变量X 与Y ，若2K 越大，则“X 与Y 有关的把握程度越小”D ．在回归方程ˆ0.20.8yx =+中，每当随机变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 就平均增加0.2个单位 【答案】C【解析】根据相关定义分析知A 、B 、D 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的招把握程度越大，故C 不正确，故选C ． 5．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出245sinsinsin sin sin 3333S πππππ=++++的值，可得答案． 【详解】由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出245sinsinsin sin sin 3333S πππππ=++++的值，由于245sin sinsin sin sin 03333S πππππ=++++=. 故选：B ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，则球面面积为（ ）A ．42πB ．48πC ．54πD ．60π【答案】C【解析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积． 【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ，则OO ′⊥面ABC ．在Rt △ACD 中，cos A 13=，则sin A 3=．在△ABC 中，由正弦定理得6sinA =2r ，r =△ABC 外接圆的半径22742r R ==⇒=，2454S R ππ==球表． 故选：C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．7．从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件A 为“两个数之和为偶数”，事件B 为“两个数均为偶数”，则(|)P B A =（ ） A ．13B ．17C ．37D ．12【答案】A【解析】用列举法求出事件A ，事件B 所包含的基本事件的个数，求P （A ），P （AB ），根据条件概率公式，即可得到结论． 【详解】事件A 为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7）， （3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P （A ）＝27937C =， 事件B 为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6），∴P （AB ）＝27317C =，∴P （B|A ）＝(AB)1(A)3P P =． 故选：A ． 【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题．8．将多项式656510a x a x a x a ++++分解因式得5(2)()x x m -+，m 为常数.若57a =-，则0a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由()()56565102x x m a x a x a x a -+=++⋯++，可得5a =5m-2=-7,∴m=-1，02a ∴=.【详解】因为()5x m +的通项公式为515r r r r T C x m -+=，55a x =x15115C x m -+（-2）5x =(5m-2)5 x ，5a ∴=5m-2，又57a =-，∴5m-2=-7,∴m=-1, 550521a C =--（）（）=2， 故选D. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=，所以剩余部分体积为15166-=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为15，故选D ．【考点】几何体的三视图及体积的计算． 10．将()cos()||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于2x π=对称，则ϕ=（ ） A ．512π-B ．3π-C ．3πD ．512π 【答案】B【解析】函数()()cos <2f x x πφφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象经过放缩变换与平移变换后可得1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由1226k ππϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得结果.【详解】函数()()cos <2f x x πφφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π后得到1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为1cos 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象关于于2x π=对称， 1226k ππϕπ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得3k πϕπ=-， 当0k =时，3πϕ=-，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11．如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．23B ．12C ．6D ．5【答案】D【解析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求 AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而cos ,AO AD AO AD = ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．已知函数()x x f x e e -=+，若当0x >时，()1xmf x e m -+-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】若当0x >时， ()1xmf x e m -≤+-恒成立，即m （e x +e ﹣x ﹣1）≤e ﹣x ﹣1， ∵x ＞0，∴e x +e ﹣x ﹣1＞0，即m≤11x x xe e e ---+-在（0，+∞）上恒成立， 设t=e x ，（t ＞1），则m≤21tt 1t --+在（1，+∞）上恒成立，∵21tt 1t --+=﹣()()21111t t t --+-+=﹣()11111t t -++-≥﹣13， 当且仅当t=2时等号成立， ∴m≤﹣13． 故选：B ．二、填空题13．若直线:1l y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，则k =______； 【答案】1【解析】直线y ＝kx ＋1恒过定点A (0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A 点的连线与直线y ＝kx ＋1垂直，所以k ·0110--＝－1，即k ＝1. 14．已知数列{}n a 为等差数列，且1815a a a π++=，()412cos a a α=+，则1x dx α=⎰______；【答案】2【解析】由{}n a 为等差数列，且1815a a a π++=，利用等差数列的性质得到412a a α=+的值，然后求定积分即可．【详解】因为{}n a 为等差数列，由等差数列的性质，得181583a a a a π++==，即83a π=.所以4128223a a a πα=+==，所以()41221cos cos32a a πα=+==-， 所以()1111122022102x dx x dx xα-===-=⎰⎰.故答案为：2． 【点睛】本题考查了等差数列的性质、定积分等知识，属于基础题．15．若实数x ，y 满足20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为______；【答案】3【解析】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线0l ：20x y +=，观察图形，知直线2x y z +=过直线y x a =-+和20x y -=的交点2,33a a A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值，即22433a a ⨯+=，解得3a =，所以实数a 的值为3.【考点】线性规划问题.【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题。
陕西西工大附中2019高三上第二次适应性练习--数学(理)
陕西西工大附中2019高三上第二次适应性练习--数学（理）数学〔理〕第一卷选择题〔共50分〕【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕1、集合P={}22,y y x x R =-+∈,{}2,Q y y x x R ==-+∈,那么P Q ⋂=()A 、(0,2),(1,1)B 、{1,2}C 、{(0,2),(1,1)}D 、{}2x x ≤ 2、方程()2(4)40x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，那么复数z 等于〔〕 A 、22i -B 、22i +C 、22i -+D 、22i --3、假设向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，那么a 与b 的夹角为〔〕A 、2πB 、23πC 、34πD 、56π4、假设一个三棱柱的底面是正三角形，其正〔主〕视图如下图，那么它的体积为〔〕A 、2C 、、45.m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是〔〕 A、⊥αβ，且mαB 、m ∥n ，且n ⊥βC 、⊥αβ，且m ∥αD 、m ⊥n ，且n ∥β 6.假设m 是2和8的等比中项，那么圆锥曲线221y x m+=的离心率为〔〕 A7、右图是两组各7名同学体重〔单位：kg 〕数据的茎叶图、设，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么〔〕〔注：标准差s x 为12,,,n x x x 的平均数〕A 、12x x >，12s s >B 、12x x >，12s s <C 、12x x <，12s s <D 、12x x <，12s s > 8、函数2()21f x x x =-++的定义域为(2,3)-，那么函数(||)y f x =的单调递增区间是〔〕A 、(,1)-∞-和(0,1)B 、(2,1)--和(0,1)C 、(3,1)--和(0,1)D 、(1,0)-和(1,3) 9、假设整数．．,x y 满足3211x y x y y ìï-?ïïï+?íïïï£ïî，那么2x y +的最大值是〔〕A 、1B 、2C 、5D 、6.510、为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的〔〕A 、纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B 、纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度第二卷非选择题〔共100分〕【二】填空题〔本大题共5小题，每题5分，总分值25分，把答案填写在答题卡相应的位置〕 11、1021012311(1)x a a x a x a x +=++++.且数列123,,,,k a a a a 是一个单调递增数列，那么k 的最大值是；12、在面积为9的正方形ABCD 内部随机取一点P ，那么能使PAB ∆的面积大于32的概率是；13、在△ABC中，BC =，AC =π3A =，那么B =____；14、假设(3)2f '=，那么1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-； 15、(考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题评分)A 〔不等式选做题〕假设存在实数x 使12x m x -++≤成立，那么实数m 的取值范围是；B 〔坐标系与参数方程〕曲线3cos ρθ=与11x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩交点的个数为：； C 、如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 通过圆心O ，弦CD⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，那么CE =、 三、解答题〔共6个小题，共75分〕 16〔本小题总分值12分)函数22π()cos ()sin 6f x x x=--、 〔Ⅰ〕求π()12f 的值； 〔Ⅱ〕假设关于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围、17、〔本小题总分值12分)如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥，且M C C B ⊥，2BC =，4MB =，3DN =、〔Ⅰ〕求证：//AB 平面DNC ； 〔Ⅱ〕求二面角D BC N --的余弦值、18、〔本小题总分值12分)甲、乙两人参加某种选拔测试、在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率基本上53，乙能答对其中的5道题、规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题〔不答视为答错〕减5分，至少得15分才能入选、 〔Ⅰ〕求乙得分的分布列和数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人中至少有一人入选的概率、19、〔本小题总分值12分)公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列1{}nS 的前n 项和公式.20、〔本小题总分值13分)抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点、〔Ⅰ〕假设2AF FB =，求直线AB 的斜率；〔Ⅱ〕设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值、21、〔本小题总分值14分)函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数、〔Ⅰ〕当1a =-时，求()f x 的最大值；〔Ⅱ〕假设()f x 在区间(]0,e 上的最大值为3-，求a 的值； 〔Ⅲ〕当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x =+是否有实根？假设无实根请说明理由，假设有实根请给出根的个数、参考答案【一】选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DACABDDCCA【二】填空题11、612、2313、45°14、―415、A [3,1]-B 、1C 、125【三】解答题 16、解：〔Ⅰ〕22ππππ()cos ()sin cos 12121262f =--==、……………………(5分) 〔Ⅱ〕1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- 1π13[cos(2)cos 2]2cos2)2322x x x x =-+=+ π)23x =+、……………………………………………………(9分) ∵π[0,]2x ∈，∴ππ4π2[,]333x +∈，∴当ππ232x +=，即π12x =时， ()f xπ[0,]2x ∀∈，()f x c ≤c≤、 故当π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)+∞、…………………(12分)17.解：〔Ⅰ〕证明：因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，因此MB //平面DNC 、因为AMND 为矩形，因此MA //DN 、 又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ，因此MA //平面DNC 、又MA MB M =，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 因此平面AMB //平面DNC 、又AB ⊂平面AMB ， 因此//AB 平面DNC 、………………………………(5分)〔Ⅱ〕解：由平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND 平面MBCN MN =，DN MN ⊥，因此DN ⊥平面MBCN ，又M N N C ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -.由得30MC MCN =∠=，易得MN =，3NC =、 那么(0,0,3)D ，(0,3,0)C，4,0)B 、(0,3,3)DC =-，(3,1,0)CB =、设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ，那么110,0.DC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即330,0.y z y -=⎧⎪+=令1x =-，那么y =z =1(1=-n 、又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量，因此122112cos ,7⋅===n n n n n n 、故所求二面角D BC N --的余弦值为7、……………………………………(12分)18、解：〔Ⅰ〕设乙答题所得分数为X ，那么X 的可能取值为15,0,15,30-、35310C 1(15)C 12P X =-==；2155310C C 5(0)C 12P X ===； 1255310C C 5(15)C 12P X ===；35310C 1(30)C 12P X ===、 乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30 P121125 125 121 ………………(6分)155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=、 〔Ⅱ〕由甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B . 那么223332381()C ()()()555125P A =+=，511()12122P B =+=、 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=、………………………………………………(12分)19.解：〔Ⅰ〕设等差数列{}n a 的公差为0d ¹.因为346S a =+， 因此11323362da a d 创+=++.① 因为1413,,a a a 成等比数列， 因此2111(12)(3)a a d a d +=+.② 由①，②可得：13,2a d ==.因此21n a n =+.…………………………………………………………(6分)〔Ⅱ〕由21n a n =+可知：2(321)22n n n S n n++?==+ 因此11111()(2)22n S n n n n ==-++因此123111111n nS S S S S -+++++11111111111()2132435112n n n n =-+-+-++-+--++21111135()212124(1)(2)n n n n n n +=+--=++++. 因此数列1{}nS 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++.……………………〔12分〕20.解：〔Ⅰ〕依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+、 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=、设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因此124y y m +=，124y y =-、① 因为2AF FB =， 因此122y y =-、②联立①和②，消去12,y y，得m =、因此直线AB的斜率是±6分〕〔Ⅱ〕解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等， 因此四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆、 因为12122||||2AOBS OF y y ∆=⨯⋅⋅-== 因此0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4，………………………〔13分〕21、解：〔Ⅰ〕当1a =-时，()ln f x x x =-+，11()1x f x x x-'=-+=当0<x<1时，()f x '>0；当x>1时。
陕西省西北工业大学附属中学2019届高三下学期模拟训练(4)数学(理)试题
西工大附中2019届模拟训练(四)理科数学一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}2|430,|21xA x x xB y y =+->==+，则A B =（ ）A. ()1,2B. ()1,4C. ()2,4D. ()1,+∞B由一元二次不等式的解法求出A ，由指数函数的性质求出B ，由交集的运算求出A B ．解：因为{}{}2|430,|21xA x x xB y y =+->==+所以{}{}|14,|1A x x B y y =-<<=> 所以{}()|141,4A B x x =<<=故选：B 2. 已知i 是虚数单位，若(),22i ia bi ab R i i +=-∈+-，则+a b 的值是（ ） A. 0 B. 25i - C. 25- D. 25D利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简22i i i i -+- 为25，再利用两个复数相等的充要条件求出a 、b 的值，即可得到+a b 的值．解：若(,)22i i a bi a b R i i +=-∈+-， 则(2)(2)12122(2)(2)(2)(2)555i i i i i i a bi i i i i -++-++=-=-=+-+-， 25a ∴=，0b =，25a b ∴+=．故选：D ． 3. 设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件Am ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m n λ=，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n <．反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足0m n <，而m n λ=不成立．即可判断出结论． 解：m ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m n λ=，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n <． 反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足0m n <，而m n λ=不成立．∴m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是0m n <”的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ且对任意的x ∈R ，都有()4f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()()cos 10g x A x A ωϕ=+->，则8g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 1A +B. 1A -C. 1A --D. 1-D由题意可知函数()f x 的图象关于直线8x π=对称，可知,82k k Z ππωϕπ⋅+=+∈，代入即可得到选项.根据函数()()sin f x A x =+ωϕ对任意的x ∈R ，都有()4f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的图象关于直线8x π=对称，故有,82k k Z ππωϕπ⋅+=+∈，cos 101188g A ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D. 5.若O 为ABC △所在平面内任一点，且满足20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC △的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形A由20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推出0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可知ABC △的中线和底边垂直，则ABC △为等腰三角形.∵20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， ∴AC CB AB →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⊥,∴ABC △的中线和底边垂直， ∴ABC △是等腰三角形．故选：A.6. 设集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4i A x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件222212343x x x x +++≤的元素个数为（ ）A. 60B. 65C. 80D. 81B将x 的取值分为两组：{0}M =，{1N =-，1}，A 中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，3个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A 中满足条件“222212343x x x x +++”的元素个数． 解：集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4i A x x x x x i =∈-=，集合A 满足条件“222212343x x x x +++”， 设{0}M =，{}1,1N =-，①A 中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从N 中取，取法总数有：134232C ⨯=， ②A 中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从N 中取，取法总数有：224224C ⨯=，③A 中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从N 中取，取法总数有：3428C ⨯=，④A 中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：441C =，∴集合A 中满足条件“222212343x x x x +++”的元素个数为：32248165+++=．故选：B ．7. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.(0)2a bab a b +>> B. 222(0)a b ab a b +>>C.2(0)ab ab a b a b>>+D.220)22a b a b a b ++>>D由图形可知11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在直角OCF △中，由勾股定理可求CF ，结合CF OF ≥即可得出．由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-， 在直角OCF △中，由勾股定理可得：CF == CF OF ≥，∴1()2a b +，(,0)a b >．故选：D 8. 已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．B. 2C. 1D. 2+C试题分析：由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒-=⇒--=>⇒=+，选C.9. 已知等比数列{}141,1,8n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围是（ ）A. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，418a =，可得318q =，解得q ．可得n a ．可得1124n n na a +=⨯．利用等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出． 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，418a =， 318q ∴=，解得12q =． 11111()()22n n n a --=⨯=．12111111()()()22224n n n n n n a a --+∴===⨯．12231211(1)111212442()2(1)144434314n n n n na a a a a a +-∴++⋯+=++⋯⋯+=⨯=-<-． 12231n n a a a a a a k +++⋯+<，23k． k ∴的取值范围是：2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ．10. 函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A. B.C. D.A分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两互相垂直，且3,2,2PA PB PC ===，设点M 是底面三角形内一动点，定义：()(),,f M m n p =，其中,,m n p 分别是三棱锥,,M PAB M PBC M PAC ---的体积.若()()1,,4f M x y =且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值是（ ） A. 22- B.221- C.942- D. 642-C先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出1ax y+的最小值，建立关于a 的不等关系，解之即可．解：PA 、PB 、PC 两两垂直，且3PA =．2PB =，2PC =．V∴1132221432P ABCx y -=⨯⨯⨯⨯==++， 即41x y +=，18a x y +恒成立， ∴11()(4)a ax y x y x y +=++ 414ax ya y x=+++ 1448a a ++，解得942a- ∴正实数a 的最小值为9424-．故选：C ．12. 已知函数()12121,0log 2,1ax x a f x x a x +<<⎧⎪=⎨+≤<⎪⎩，且()252f a =，若当1201x x 时，()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是（ ）A. 1,13⎛⎤⎥⎝⎦B. 11,63⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭A先根据函数的解析式和()252f a =，求出a 的值，再画出()f x 的图象，结合图象和12()()f x f x =，求出1x 的范围，可得出()()21211116x f x x f x x x ==+，构造函数()26g x x x =+，利用二次函数的基本性质可求得()12x f x 的取值范围. 解：01a <<，2a a ∴<，25()2f a =，251212a a ∴+=，解得12a =，12161,02()1log 2,12x x f x x x ⎧+<<⎪⎪∴=⎨⎪+≤<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图所示，1201x x <<<时，12()()f x f x =，由图象可知，2112x ≤<，则()()(]12122log 22,3f x f x x ==+∈，12613x ∴<+≤，解得11163x <≤，()()()212111111616x f x x f x x x x x ∴==+=+， 构造函数()26g x x x =+，其中1163x <≤，则二次函数()26g x x x =+在区间11,63⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，当11,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1163g g x g ⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()113g x <≤.综上所述，()12x f x 的取值范围是1,13⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A ．21()621x x ++可看做6盒子，每个盒子都放有1、x 、2x ，3个元素，从每个盒子中取一个元素的组合问题，再利用组合公式计算可得； 解：因为()62212012121x x a a x a x a x ++=++++，可看做6盒子，每个盒子都放有1、x 、2x ，3个元素，从每个盒子中取一个元素的组合问题，要得到2x ，有两种取法，①取1个2x 与5个1，②取2个x 与4个1；则()1212522422661121a x C x C x x =⋅+⋅=所以221a = 故答案为：2114. 连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列1,31,3n a -⎧=⎨⎩点数不是的倍数点数是的倍数，n S 是其前n 项和，则53S =的概率是________.10243分析】分析53S =知：抛掷5次得3分，包括得5次中向上面上的点数是3的倍数发生4次，用n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率的概率公式即可．解：53S =知：抛掷5次得3分，包括得5次中向上面上的点数是3的倍数发生4次，由于1n a =的概率为21 63=，故其概率为：4451110()(1)33243P C=-=，故答案为：10243．15. 若变量x，y满足20,30,30,x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则2z x y=+的最小值为___________．4先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y=+表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：约束条件20,30,30,x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2z x y=+过点D时，z取得最小值，由3020x yx y+-=⎧⎨-=⎩，可得()1,2D时，在y轴上截距最小，此时z取得最小值4．故答案为：4．16. 已知函数322(1)(){ln (1)x x xx f x xx --+<=≥，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()f t kt ≥”是假命题，则实数k 的取值范围是 .1(,1]e. 试题分析：根据题意分析可知，问题等价于命题“t R ∀∈，且0t ≠，使得()f t kt <”是真命题，当1t ≥时，问题等价于max max ()ln []()f t t k t t >=，设ln ()x g x x =，∴21ln '()xg x x -=， ∴()g x 在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，∴max 1()()g x g e e==，∴1k e >，当1t <时，问题等价于322kt t t t >--+，若01t <<：，∵1k e>，∴3202kt t t t >>--+，故不等式显然成立，若0t <：则3222211kt t t t k t t k >--+⇒<-+⇒≤，综上实数k 的取值范围是1(,1]e. 三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.) 17. 已知在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin sin sin()a c A Ba b A B -+=-+． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积S 的最大值． （I ）3B π=；（II. 试题分析：（I ）先运用诱导公式化简，再运用正弦、余弦定理求解；（II ）借助正弦定理及基本不等式即可获解． 试题解析： 解：（Ⅰ）()sin sin A B C A B C π++=∴+=，∴sin sinBsin a c A a b C-+=-， 由正弦定理得a c a ba b c-+=-， 即222b a c ac =+-，结合余弦定理，有()1cos ,0,2B B π=∈，∴3B π=．（Ⅱ）22sin3bR π==，解得b =所以，22232cos23ba c ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等），所以133sin 23S ac π=≤． 18. 某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h )，随机选择了n 名同学进行调查，下表是这n 名同学的日睡眠时间的频率分布表：（1）求n 的值，若20a =，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[)4,5的中点值是4.5)作为代表，若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求,a b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率.（1）50n =，图形见解析；（2）15a =，15b =．0.38 （1）由题意可得6500.12n ==，当20a =时，对应的频率为200.450=，故b 对应的频率为10.120.20.40.080.8----=，故频率0.2对应的频数为500.210⨯=，0.08对应的频率为500.084⨯=，故可得到完整的频率分步表，由此画出频率分步直方图． （2）由题意可得50610430a b +=---=，且4.50.12 5.50.2 6.57.58.50.08 6.525050a b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，由此求得a 和b 的值，从而求得学生的睡眠时间在7小时以上的频率． 解：（1）由题意可得6500.12n ==，当20a =时，对应的频率为200.450=，故b 对应的频率为10.120.20.40.080.8----=，故频率0.2对应的频数为500.210⨯=，0.08对应的频率为500.084⨯=． 故表格中的数据分别为： 序号i分组（睡眠时间）频数（人数）频率1 [4，5) 6 0.12 2 [5，6) 100.20 3 [6，7) 20a =0.4 4 [7，8) 10b =0.2 5[8，9)40.08频率分步直方图为：（2）由题意可得50610430a b +=---=， 且4.50.12 5.50.2 6.57.58.50.08 6.525050a b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 即30a b +=，且1315420a b +=，解得15a =，15b =． 故学生的睡眠时间在7小时以上的频率等于150.080.3850+=． 19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别为,AB PC 的中点.（1）求证：EF //平面PAD ；（2）若2PA =，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角 Q AP D --5？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q 存在，是EF 中点.（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题取PD 中点M ，利用三角形中位线性质得1//2MF DC ==，再结合平行四边形性质得四边形EFMA 为平行四边形，从而得出EF ∥AM ，（2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系列等量关系，求出待定参数 证明：（1）取PD 中点M ，连接MF 、MA ，在△PCD 中，F 为PC 的中点，∴1//2MF DC =， 正方形ABCD 中E 为AB 中点，∴1//2AE DC =，∴=//AE MF ，故四边形EFMA 为平行四边形，∴EF ∥AM ， 又∵EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ；（2）结论：满足条件的Q 存在，是EF 中点．理由如下： 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则P （0，0，2），B （0，1，0），C （1，1，0），E （0，12，0），F （12，12，1）， 由题易知平面PAD 的法向量为n =（0，1，0）， 假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=，∵1(,0,1)2EF =，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22AQ λλ=，λ∈[0,1]，设平面PAQ 的法向量为(,,)x y z ∏=，由10{220x y z z λλ++==，可得(1,,0)λ∏=-， ∴2cos ,1m n m n m n λ⋅==+， 251λ=+12λ=，所以满足条件的Q 存在，是EF 中点．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点2P ⎛ ⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点.（1）2212x y +=；（2）AB 过定点(1,1)--．（1）依题意可得2PF x ⊥轴，从而得到1c =，再根据过点P ⎛ ⎝⎭，得到方程组，解得即可；（2）当直线AB 的斜率不存在时，设0(A x ，0)y ，则0(B x ，0)y -，由122k k +=，得01x =-，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为(1)y kx m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=，由此利用韦达定理、斜率公式能证明AB 过定点(1,1)--．解：（1）依题意椭圆C过点1,2P ⎛ ⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点，所以2PF x ⊥轴，所以2222211121c a b c a b =⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程2212x y +=； （2）当直线AB 的斜率不存在时，设0(A x ,0)y ，则0(B x , 0)y -， 由122k k +=，得0000112y y x x ---+=， 解得01x =-，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为(1)y kx m m =+≠，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=，122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+，122k k +=，∴1212112y y x x --+=，∴()()212212112kx m x kx m x x x +-++-=， 1221(22)(1)()k x x m x x ∴-=-+，2(22)(22)(1)(4)k m m km ∴--=--，由1m ≠，(1)(1)k m km -+=-，得1k m =+，(1)y kx m m x m ∴=+=++， (1)m x y x ∴+=-，则10x y x +=⎧⎨-=⎩，解得1x y ==-.AB ∴过定点(1,1)--．21. 已知函数()2x f x e x =-.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.（1）(2)1y e x =-+，（2）证明见解析；（1）求出导数，可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2） 猜测：当0x >，1x ≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方，只证：当0x >时，()(2)1f x e x -+，又1x lnx +，即(2)11x e e x lnx x+--+，即可．解：（1）因为()2x f x e x =-，所以()2x f x e x '=-，由题设得()12f e '=-， ()11f e =-，()f x ∴在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+．（2）()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-，()f x '∴在(0,2)ln 上单调递减，在(2,)ln +∞上单调递增， 所以()(2)2220f x f ln ln ''=->，所以()f x 在[0，1]上单调递增，所以()()11max f x f e ==-，[0x ∈，1]．()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+，故可猜测：当0x >，1x ≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方． 下证：当0x >时，()(2)1f x e x -+，设()()(2)1g x f x e x =---，0x >，则()2(2)x g x e x e '=---，()2x g x e ''=-，()'g x 在(0,2)ln 上单调递减，在(2,)ln +∞上单调递增，又(0)30g e '=->，()10g '=，021ln <<，(2)0g ln '∴<， 所以，存在0(0,12)x n ∈，使得00()g x '=，所以，当(0x ∈，0)(1x ⋃，)+∞时，()0g x '>；当0(x x ∈，1)时，()0g x '<， 故()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又()()010g g ==，2()(2)10x g x e x e x ∴=----，当且仅当1x =时取等号，故(2)1,0x e e x x x x+-->．令()ln 1h x x x =-+，则()111xh x x x-'=-=，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10h x h ==，所以ln 10x x -+≤恒成立，即1x lnx +，即(2)11x e e x lnx x+--+，当1x =时，等号成立． 22. 在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点M 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为12cos (2x y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）. （1）直线l 过M 且与曲线C 相切，求直线l 的极坐标方程；（2）点N 与点M 关于y 轴对称，求曲线C 上的点到点N 的距离的取值范围.（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==将极坐标化为直角坐标()2,2；根据22sin cos 1αα+=消参数得普通方程()2214x y -+=，再根据圆心到切线距离等于半径得切线斜率0k =或43k =-,最后根据sin ,cos y x ρθρθ==将直线点斜式化为极坐标方程（2）先得N ()2,2-，再根据圆的性质得曲线C 上的点到点N 的距离的最小值为CN r -,最大值为CN r +,即可求取值范围试题分析：对于问题（1）可以先求出点M 的直角坐标以及曲线C 的普通方程，利用直线l 过M 且与曲线C 相切，即可求直线l 的极坐标方程；对问题（2）可以先根据点N 与点M 关于y 轴对称，求出点N 的坐标，再求出点N 到圆心C 的距离，从而可求曲线C 上的点到点N 的距离的取值范围．试题解析：（1）由题意得点M 的直角坐标为()2,2，曲线C 的一般方程为()2214x y -+=设直线l 的方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∵直线l 过M 且与曲线 C 相切，∴2=，即2340k k +=，解得403k k ==-或，∴直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=或4cos 3sin 140ρθρθ+-=， （2）∵点N 与点M 关于y 轴对称，∴点N 的直角坐标为()2,2-， 则点N 到圆心C=曲线C 上的点到点N22，曲线C 上的点到点N的距离的取值范围为2⎤⎦【方法点晴】本题是一个关于极坐标与参数方程的问题，属于容易题.解决本题的基本思路及切入点是，对于问题（1）可以先求出点M 的直角坐标以及曲线C 的普通方程，利用直线l 过M 且与曲线C 相切，即可求直线l 的极坐标方程；对问题（2）可以先根据点N 与点M 关于y 轴对称，求出点N 的坐标，再求出点N 到圆心C 的距离，从而可求曲线C 上的点到点N 的距离的取值范围．23. 设函数()2,f x x x a x R =++-∈.（1）若0a <，且()2log 2f x >对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0a >，且关于x 的不等式()32f x x <有解，求实数a 的取值范围. (1)(),6-∞-；(2)()4,+∞.试题分析：对问题（1），可以先求出函数()2,f x x x a x R =++-∈的最小值，再根据极端不等式恒成立即可求出实数a 的取值范围；对于问题（2），要使关于x 的不等式()32f x x <有解，那么必然函数()f x 的图象与直线32y x =的图象应该有两个交点，进而可求出实数a 的取值范围．试题解析：（1）由绝对值的性质得：()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+， ∵()2log 2f x >对任意x R ∈恒成立， ∴24a +>，解得62a a -或， ∵0a <，∴ 实数a 的取值范围是(),6-∞-（2）当0a >时，()22,22{2,222,x a x f x x x a a x a x a x a --+<-=++-=+-≤≤+->若关于x 的不等式()32f x x <有解，则函数()f x 的图象与直线32y x =有两个交点，∴232a a +<，解得4a >， ∴实数a 的取值范围是()4,+∞。