电工电子3.3
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1 P T 1 T
T
0 T
p dt UI si n (2 ω t ) dt 0
C是非耗 能元件
0
p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u,i o i u
i
u p +
i
+
u -
u
+
i
u
+
i
结论： 纯电容不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
P
ωt
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
例3.3 已知在电阻电路中
R 100, u 220 2 sin314tV , 求i , I , I m和I
解：
u 220 2 i sin 314t 2.2 2 sin 314tA R 100 U 220 I 2.2 A R 100 I m 2 I 2.2 2 3.1A U 2200 I 2.20 2.2 A R 100
U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 531 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
j +4 +1
-3
-4
+3
3.3 单一参数的交流电路
3.3.1 纯电阻电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: u iR 设 u U msinω t
UI si n2 ω t (2) 平均功率
p i u Um I m sinω t sin( ω t 90) Um Im U m I m sin ω t cos ω t sin 2 ω t 2
1 T P p dt T o 1 T UI si n (2ω t ) dt 0 T o
所以电感元件具有通低频阻高频的特性 练习题： 1.一只L=20mH的电感线圈，通以 的电流 i 5 2sin(314 30)A t 求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
3.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i
du + 基本关系式： i C u C dt _ 设： 2 U sin ω t u 则： C du 2 UC ω cos ω t i 电流与电压 dt 的变化率成
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
t
瞬时值
相量图
u U m sin t U I
复数
符号法
a jb U e j U U
提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
u 5 2 sin( t 531 )
U 3 j4
所以电容C是储 能元件。
+ p <0
o
+ p <0
p >0
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
i 2I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 )
所 以p UI si n2 t ω
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
i
90
O
ωt
① 频率相同 ② U =I L ③ 电压超前电流90 相位差 ψu ψi 90
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
有效值: U I ω L
U 或 I L
感抗(Ω )
定义： X L L 2 f L 则:
U I XL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路 XL 交流：f
X L 2 π fL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L
感抗XL是频率的函数 根据：
I , XL
I U 2fL X
L
I I 0 可得相量式： U U 90 Iω L 90 U U 则： 90 jL I I U jI ω L I (jX L )
所以
U 20 I 0.15A X C 135.5 Q UI 20 0.15 3Var
（3）这样两只电容并联接在1000Hz、10V交流 电源上工作时：
C C1 C 2 47 47 94F 1 1 XC 1.69 6 2fC 2 3.14 1000 94 10 U 10 I 5.92 A X C 1.69 Q UI 10 5.92 59.2Var
电感电路复数形式的欧姆定律
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
O
f
U 超前 I 90
U
相量图
I
注意！
u XL i
U m LI m
Um U L Im I
2. 功率关系 (1) 瞬时功率
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
1 U m I m (1 cos 2 ω t ) 2
结论:
O
ωt
p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P
瞬时功率在一个周期内的平均值
T T
i
+ u _
R
1 1 P p dt u i dt T 0 T 0 p p 大写 T 1 1 U m I m (1 cos 2 ω t ) dt T 0 2 1 T UI (1 cos2 ω t )d t UI O T 0 2 U 2 单位:瓦（W） P UI I R R
U jX L I
di U XL u L dt I u i ωL
I U jω C
U 1 I jω C
例3.5
现有一只47μF、额定电压为20V的无极性电容器， 试问： （1）能否接到20V的交流电源上工作？ （2）将两只这样的电容器串联后接于工频20Hz的 交流电源上，电路的电流，有功和无功功率是多少？ （3）将两只这样的电容并联后接于1000Hz，10V的 交流电源上，电路的电流和无功功率又是多少？
Q UI I 2 X C
单位：var
U2 XC
【练习】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：
U I R U i R
u i XL
U I ωL
U j ωL I
U I ωC
u i XC
u i R
U I R
解： （1）由于交流电源电压20V指的是有效值， 其 大 ： Um 2U 1.414 20 28.28 最 值 V 超过电容额定电压20V，不能接到该电源上
（2）两只这样的电容器串联到工频20V的交流 电源上工作时，串联等效电容及其电抗分别为：
C1C 2 47 106 47 106 C 23.5 10 6 23.5F C1 C 2 (47 47) 10 6 1 1 XC 135.5 6 2fC 2 3.14 50 23.5 10
3.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 di 基本关系式： e L L u
i
+
eL L +
设： 2 I sin ω t i
dt
u
d( I msinω t ) uL dt 2 Iω L sin(ω t 90)
-
2 U sin( ω t 90)
u i u
则：
jI 1 jI X U C ωC
相量图
U
电容电路中复数形式的欧姆定律
2.功率关系 由 u 2Usinω t
i
+
u _ C
i
2Uω C sin( ω t 90)
(1) 瞬时功率
p i u Um I m sinω t sin( ω t 90) Um Im sin 2 ω t UI si n2 ω t 2 (2) 平均功率 Ｐ
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 阻抗 参数 (参考方向) 关系
i 设 + u i
电压、电流关系 瞬时值 有效值
功 相量图 相量式 率
有功功率 无功功率
i 2 Isin t ω
2 U ωC sin( t 90) ω
u i
正比。
u i
90
① 频率相同 ② I =UC ωt ③电流超前电压90 相位差 ψ u ψ i 90
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值
I U ω C 或 1 1 定义： XC 容抗（Ω ） ωC 2 π f C
简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、霍氏定律。
i
R
u
L
uR uL
u uR uL di iR L dt
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、霍氏定律
I R
U
L
UR UL
UL
U
I
UR
U R IR、 U L I jX L U U R U L I（R jX L )
则:
1 U I ωC
U I XC
直流： C X 交流：f
1 XC 2π f C
，电容C视为开路
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
1 XC 2π fC
容抗XC是频率的函数 由： u
I , XC
XC
1 ωC
I U (2 π f C )
O f 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90) 可得相量式 U U 0 I 超前 U 90 I 90 jUω C I I
L是非耗 能元件
p 分析：瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u i
o
i u 可逆的能量 转换过程 p + Nhomakorabeau
+
i
u
+
i u +
i
结论： 纯电感不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
电感L是储 ωt 能元件。
X L 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4Ω
U 10 I 318m A XL 31.4
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
U 10 I 3.18m A XL 3140
储能 放能 储能 放能
(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率 达到的最大值表征，即 p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
U2 Q U I I XL
2
XL
单位：var
例1: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦 电源上，求I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时I为多少？ 解： (1) 当 f = 50Hz 时
单一参数电路中的基本关系
参数
阻抗 基本关系 相量式 相量图
R L
R
u iR
U IR
U jX L I
I
U
U
di jX L jω L u L dt
1 jX C j ωC
I I
U
C
du i C U jX C I dt
从而：
U m RI m
u Um U R i Im I
相量形式的欧姆定 律
U RI
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t u 2 U sin ω t
小写
u i
i u
O p
ωt p
p ui 2 Um I m sin ω t
+ u _
i
R
u U msinω t i R R
2U sinω t R
相量图 相量式：
Imsin ω t 2 I sin ω t
① 频率相同 U ②大小关系：I R ③相位关系 ： u、i 相位相同 相位差 ： u i 0
I
U
I 0 I U 0 IR U
T
0 T
p dt UI si n (2 ω t ) dt 0
C是非耗 能元件
0
p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u,i o i u
i
u p +
i
+
u -
u
+
i
u
+
i
结论： 纯电容不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
P
ωt
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
例3.3 已知在电阻电路中
R 100, u 220 2 sin314tV , 求i , I , I m和I
解：
u 220 2 i sin 314t 2.2 2 sin 314tA R 100 U 220 I 2.2 A R 100 I m 2 I 2.2 2 3.1A U 2200 I 2.20 2.2 A R 100
U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 531 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
j +4 +1
-3
-4
+3
3.3 单一参数的交流电路
3.3.1 纯电阻电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: u iR 设 u U msinω t
UI si n2 ω t (2) 平均功率
p i u Um I m sinω t sin( ω t 90) Um Im U m I m sin ω t cos ω t sin 2 ω t 2
1 T P p dt T o 1 T UI si n (2ω t ) dt 0 T o
所以电感元件具有通低频阻高频的特性 练习题： 1.一只L=20mH的电感线圈，通以 的电流 i 5 2sin(314 30)A t 求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
3.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i
du + 基本关系式： i C u C dt _ 设： 2 U sin ω t u 则： C du 2 UC ω cos ω t i 电流与电压 dt 的变化率成
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
t
瞬时值
相量图
u U m sin t U I
复数
符号法
a jb U e j U U
提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
u 5 2 sin( t 531 )
U 3 j4
所以电容C是储 能元件。
+ p <0
o
+ p <0
p >0
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
i 2I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 )
所 以p UI si n2 t ω
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
i
90
O
ωt
① 频率相同 ② U =I L ③ 电压超前电流90 相位差 ψu ψi 90
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
有效值: U I ω L
U 或 I L
感抗(Ω )
定义： X L L 2 f L 则:
U I XL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路 XL 交流：f
X L 2 π fL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L
感抗XL是频率的函数 根据：
I , XL
I U 2fL X
L
I I 0 可得相量式： U U 90 Iω L 90 U U 则： 90 jL I I U jI ω L I (jX L )
所以
U 20 I 0.15A X C 135.5 Q UI 20 0.15 3Var
（3）这样两只电容并联接在1000Hz、10V交流 电源上工作时：
C C1 C 2 47 47 94F 1 1 XC 1.69 6 2fC 2 3.14 1000 94 10 U 10 I 5.92 A X C 1.69 Q UI 10 5.92 59.2Var
电感电路复数形式的欧姆定律
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
O
f
U 超前 I 90
U
相量图
I
注意！
u XL i
U m LI m
Um U L Im I
2. 功率关系 (1) 瞬时功率
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
1 U m I m (1 cos 2 ω t ) 2
结论:
O
ωt
p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P
瞬时功率在一个周期内的平均值
T T
i
+ u _
R
1 1 P p dt u i dt T 0 T 0 p p 大写 T 1 1 U m I m (1 cos 2 ω t ) dt T 0 2 1 T UI (1 cos2 ω t )d t UI O T 0 2 U 2 单位:瓦（W） P UI I R R
U jX L I
di U XL u L dt I u i ωL
I U jω C
U 1 I jω C
例3.5
现有一只47μF、额定电压为20V的无极性电容器， 试问： （1）能否接到20V的交流电源上工作？ （2）将两只这样的电容器串联后接于工频20Hz的 交流电源上，电路的电流，有功和无功功率是多少？ （3）将两只这样的电容并联后接于1000Hz，10V的 交流电源上，电路的电流和无功功率又是多少？
Q UI I 2 X C
单位：var
U2 XC
【练习】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：
U I R U i R
u i XL
U I ωL
U j ωL I
U I ωC
u i XC
u i R
U I R
解： （1）由于交流电源电压20V指的是有效值， 其 大 ： Um 2U 1.414 20 28.28 最 值 V 超过电容额定电压20V，不能接到该电源上
（2）两只这样的电容器串联到工频20V的交流 电源上工作时，串联等效电容及其电抗分别为：
C1C 2 47 106 47 106 C 23.5 10 6 23.5F C1 C 2 (47 47) 10 6 1 1 XC 135.5 6 2fC 2 3.14 50 23.5 10
3.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 di 基本关系式： e L L u
i
+
eL L +
设： 2 I sin ω t i
dt
u
d( I msinω t ) uL dt 2 Iω L sin(ω t 90)
-
2 U sin( ω t 90)
u i u
则：
jI 1 jI X U C ωC
相量图
U
电容电路中复数形式的欧姆定律
2.功率关系 由 u 2Usinω t
i
+
u _ C
i
2Uω C sin( ω t 90)
(1) 瞬时功率
p i u Um I m sinω t sin( ω t 90) Um Im sin 2 ω t UI si n2 ω t 2 (2) 平均功率 Ｐ
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 阻抗 参数 (参考方向) 关系
i 设 + u i
电压、电流关系 瞬时值 有效值
功 相量图 相量式 率
有功功率 无功功率
i 2 Isin t ω
2 U ωC sin( t 90) ω
u i
正比。
u i
90
① 频率相同 ② I =UC ωt ③电流超前电压90 相位差 ψ u ψ i 90
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值
I U ω C 或 1 1 定义： XC 容抗（Ω ） ωC 2 π f C
简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、霍氏定律。
i
R
u
L
uR uL
u uR uL di iR L dt
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、霍氏定律
I R
U
L
UR UL
UL
U
I
UR
U R IR、 U L I jX L U U R U L I（R jX L )
则:
1 U I ωC
U I XC
直流： C X 交流：f
1 XC 2π f C
，电容C视为开路
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
1 XC 2π fC
容抗XC是频率的函数 由： u
I , XC
XC
1 ωC
I U (2 π f C )
O f 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90) 可得相量式 U U 0 I 超前 U 90 I 90 jUω C I I
L是非耗 能元件
p 分析：瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u i
o
i u 可逆的能量 转换过程 p + Nhomakorabeau
+
i
u
+
i u +
i
结论： 纯电感不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
电感L是储 ωt 能元件。
X L 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4Ω
U 10 I 318m A XL 31.4
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
U 10 I 3.18m A XL 3140
储能 放能 储能 放能
(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率 达到的最大值表征，即 p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
U2 Q U I I XL
2
XL
单位：var
例1: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦 电源上，求I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时I为多少？ 解： (1) 当 f = 50Hz 时
单一参数电路中的基本关系
参数
阻抗 基本关系 相量式 相量图
R L
R
u iR
U IR
U jX L I
I
U
U
di jX L jω L u L dt
1 jX C j ωC
I I
U
C
du i C U jX C I dt
从而：
U m RI m
u Um U R i Im I
相量形式的欧姆定 律
U RI
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t u 2 U sin ω t
小写
u i
i u
O p
ωt p
p ui 2 Um I m sin ω t
+ u _
i
R
u U msinω t i R R
2U sinω t R
相量图 相量式：
Imsin ω t 2 I sin ω t
① 频率相同 U ②大小关系：I R ③相位关系 ： u、i 相位相同 相位差 ： u i 0
I
U
I 0 I U 0 IR U