高三数学二轮复习 127空间向量与立体几何课件 理 人教版

类型二 利用空间向量求空间角 【例2】 (2011·淄博模拟)如图，三棱锥P—ABC 中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB 上一点，且CD⊥平面PAB. (1)求异面直线AP与BC所成角的大小； (2)求二面角C—PA—B的平面角的余弦值．
[解] (1)∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AB，∵CD⊥ 平面PAB，∴CD⊥AB，又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面 PCB.
解：(1)证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.设 B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)， E12，b2，c
于是D→E＝12，b2，0，B→C＝(－1，b,0)．
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，D→E·B→C＝0，求得 b＝1，所以AB＝AC.
即 PA→ →CC··nn＝＝00，，
即－22xz′′－＝02，y′＝0，
解得zx′′＝＝0y，′.
令x′＝1，得n＝(1,1,0)．
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 3×
＝ 2
3 3.
∴二面角C—PA—B的平面角的余弦值为 33.
[点评] 用空间向量求两条异面直线所成的角和
线面角，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：
cos〈a，b〉＝ x12＋x1yx21＋2＋zy211y2＋x22＋z1zy222＋z22.
(4)设 M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 则|M1M2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (5)对非零向量 a 与 b，有 a∥b⇔a＝kb；a⊥b⇔a·b ＝0. (6)若表示向量 a1，a2，…，an 的有向线段终点和始 点连结起来构成一个封闭的折线图形，则 a1＋a2＋a3＋… ＋an＝0.
n·O→D＝0，
即
22y－2z＝0
，
－ 22x＋ 22y－2z＝0
取z＝ 2，解得n＝(0,4， 2)．
∵M→N·n＝(1－
2， 4
42，－1)·(0,4，
2)＝0，
∴MN∥平面OCD.
(2)设AB与MD所成的角为θ，
∵A→B＝(1,0,0)，M→D＝(－ 22， 22，－1)，
ED和BC1不共线，则ED∥BC1，且DE⊂平面CA1D，BC1⊄
平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
• [点评] 用向量证明两条直线垂直，只要证 明两条直线的方向向量互相垂直即可；而 用向量证明线面平行有多种方法，可以证 明直线的方向向量与平面内的某一向量是 共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向 量与该平面的两个不共线向量是共面向量， 还可以证明直线的方向向量与该平面的法 向量垂直，在具体问题中可以选择最简单、 最合适的方法．
• 9．探索性问题的解决办法一般是：假设存 在然后运用条件推理计算，若求出，且没 有矛盾，则存在，问题解决；若导出矛盾， 则否定假设，说明不存在，导出矛盾的过 程就是说明理由的过程．对于立体几何中 的探索性问题，特别适合建立空间直角坐 标系用空间向量的坐标运算进行求解.
高频考点
类型一 利用空间向量证明空间位置关系 【例1】 如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
∵PC＝AC＝2，AB＝BC，可求得BC＝ 2.以B为 原点，如图建立空间直角坐标系．
则A(0， 2 ，0)，B(0,0,0)，C( 2 ，0,0)，P( 2 ，
0,2)，A→P＝( 2，－ 2，2)，B→C＝( 2，0,0)，
A→P·B→C＝ 2× 2＋0＋0＝2.
cos〈A→P，B→C〉＝|A→A→PP|··|B→B→CC|＝2
用向量方法求两条异面直线所成的角是通过两条直线
的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ
的范围是(0，
π 2
]，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以要注意二者的联系与区别，应有cosθ＝|cosα|；
• 在求线面角时，先求出直线的方向向量与 平面的法向量的夹角，再通过互余关系来 得到相应的线面角(若平面的法向量与直线 的方向向量的夹角为α(α可为锐角或钝角)， 则直线与平面所成的角θ满足sinθ＝|cosα|； 求二面角最常用的办法就是分别求出二面
2．应用向量知识解决几何问题时，一方面要选 择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量的各种 运算．
3．向量法求异面直线所成的角 若异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，异面 直线所成的角为 θ，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝||aa|·|bb||.
4．向量法求线面所成的角 求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成 的角为 θ，则 sinθ＝|cos〈n，a〉|＝||nn|·|aa||. 5．向量法求二面角 求出二面角 α—l—β 的两个半平面 α 与 β 的法向量 n1， n2， 若二面角 α—l—β 所成的角 θ 为锐角，则 cosθ＝|co〈s n1， n2〉|＝||nn11·||nn22||；
• (1)设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)， E(0,0,1)，C(1,1,0)，
∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，从而
F
0，－12，12
，
→ EF
＝
0，－12，－12
，
→ BE
＝(0，－
1,1)，B→C＝(1,0,0)．
于是E→F·B→E＝0＋12－12＝0，E→F·B→C＝0，
角的两个面所在平面的法向量，然后通过
两个平面的法向量的夹角得到二面角的大 小，但要注意结合实际图形．
【探究2】 (全国Ⅱ)如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的 中点，DE⊥平面BCC1.
(1)证明：AB＝AC； (2)设二面角A—BD—C为60°，求B1C与平面BCD所 成的角的大小．
(2)设平面BCD的一个法向量A→N＝(x，y，z)，则 A→N·B→C＝0，A→N·B→D＝0.
又B→C＝(－1,1,0)，B→D＝(－1,0，c)，故 －x＋y＝0 －x＋cz＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝1c，A→N＝1，1，1c. 又平面ABD的一个法向量A→C＝(0,1,0)，
由二面角A－BD－C为60°知，〈A→N，A→C〉＝60°，
若二面角 α—l—β 所成的角 θ 为钝角，则 cosθ＝－ |cos〈n1，n2〉|＝－||nn11|·|nn22||.
6．向量法求两异面直线的距离 求出与两异面直线都垂直的法向量 n，连结两异面 直线上两定点 M、N，得向量N→M，可得异面直线间的
→ 距离公式 d＝|n·|Nn|M|.
7．用向量的数量积求点C到直线l的距离 在直线l上任取两点A、B，由A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cosθ，
∴EF⊥BE，EF⊥BC，
∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE＝B，
∴EF⊥平面BCE.
(2)M0，0，12，P1，12，0， 从而P→M＝－1，－12，12， 于是P→M·E→F＝－1，－12，12·0，－12，－12＝ 0＋14－14＝0. ∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面 BCE内，故PM∥平面BCE.
第一部分 高考专题讲解
专题二 立体几何初步
第七讲 空间向量与立体几何
考情分析
• 空间向量是求解立体几何问题的一个重 要工具，也是高考的一个重点．高考对 空间向量的考查一般不单独命题，而是 在解答题中以一些综合性问题的形式进 行考查，如空间中线面位置关系的论证， 空间各种角的求解等，此外高考特别注 重考查在给出的几何体中建立恰当的空 间直角坐标系，通过空间向量的坐标运 算解决问题的能力．
故A→N·A→C＝|A→N||A→C|·cos60°，求得c＝
1， 2
于是A→N＝(1,1， 2)，C→B1＝(1，－1， 2)，
→→
cos〈A→N，C→B1〉＝
AN·CB1 →→
＝12，所以〈A→N，
|AN||CB1|
C→B1〉＝60°，
所以B1C与平面BCD所成的角为30°.
类型三 利用空间向量求空间距离
【探究1】 如图，正方形ABCD所在的平面与平面四 边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角 形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
(1)求证：EF⊥平面BCE； (2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥ 平面BCE.
• 证明：∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝ AE，∴AE⊥AB，∵平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，即 AD、AB、AE两两垂直，如图建立空间直角 坐标系．
考情分析
• 因此应熟练掌握空间向量的概念及运算， 特别是坐标运算，掌握建立空间直角坐 标系的方法，熟悉点的坐标与向量的坐 标间的关系，掌握向量法解决垂直、平 行问题和空间角的求解问题等．
要点串讲
• 1.空间两个向量的加法、减法法则类同于平 面向量，即平行四边形法则及三角形法 则．
• (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a2＝|a|2.
• (1)求证：BC1⊥AB1； • (2)求证：BC1∥平面CA1D. • [证明] 如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，
C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直 角 坐 标 系 ． 设 AC ＝ BC ＝ BB1 ＝ 2 ， 则 A(2,0,2) ， B(0,2,2) ， C(0,0,2) ， A1(2,0,0) ， B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
→→ 作CD⊥AB于D，于是有|A→D|＝|AB→·AC|，由勾股定理可
|AB| 得，点C到直线l的距离|C→D|＝ |A→C|2－|A→D|2 .
8．点M到平面的距离d＝|N→M||cosθ|(θ为向量N→M 与法向量n的夹角)就是斜线段MN在法向量n方向上的 正投影．
由|n·N→M|＝|n|·|N→M|·|cosθ|＝|n|·d，得距离公式：d ＝|n·|Nn→|M|.
• (2)a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充 要条件是存在唯一的一对实数x、y，使p＝ xa＋yb.
• a、b、c 不共面，空间的任一向量p，存在 实数x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc.
(3)若O→P＝xi＋yj＋zk，那么(x，y，z)叫做向量O→P的 坐标，也叫点 P 的坐标．
设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 a±b＝(x1±x2， y1±y2，z1±z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，
2 2×
2＝12.
∴异面直线AP与BC所成的角为π3.
(2)设平面PAB的一个法向量为m＝(x，y，z).A→B ＝(0，－ 2，0)，A→P＝( 2，－ 2，2)，则
A→B·m＝0， A→P·m＝0，
即－ 2y＝0， 2x－ 2y＋2z＝0，
解得yx＝＝0－， 2z.
令z＝－1，得m＝( 2，0，－1)． 设平面PAC的一个法向量为n＝(x′，y′，z′). P→C ＝(0,0，－2)，A→C＝( 2，－ 2，0)，
A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，
2 2
，0)，D(－
2 2
，
2 2
，0)，
O(0,0,2)，M(0,0,1)，
N(1－ 42， 42，0)．
(1)证明： M→N ＝(1－
2 4
，
2 4
，－1)，
O→P
＝(0，
2 2
，－
2)，O→D＝(－ 22， 22，－2)．
设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·O→P ＝0，
【例3】 (安徽理)如图，在四棱锥O—ABCD中，
底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝
π 4
，OA⊥底面
ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
• (1)证明：直线MN∥平面OCD； • (2)求异面直线AB与MD所成角的大小； • (3)求点B到平面OCD的距离．
[解] 作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP， AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
(1)由于B→C1＝(0，－2，－2)，A→B1＝(－2,2，－2)，
所以
→ BC1
→ ·AB1
＝0－4＋4＝0，因此
→ BC1
⊥
→ AB1
，故BC1
⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以 E→D
＝(0,1,1)，又B→C1＝(0，－2，－2)，所以E→D＝－12B→C1，且