完整版高中物理曲线运动教案讲义3044

曲线运动
一、基础知识
1. 曲线运动
（1）定义：轨迹是一条曲线的运动叫做曲线运动。

曲线运动一般可以看作几个直线运动的合成。

（2）条件：质点所受合外力的方向跟它的速度方向 不在同一直线上 。

也可以理解为加速度方向与速 度方向 不在同一直线上 。

（3）特点：轨迹是一条曲线；某点瞬时速度方向就是通过这一点的 切线 的方向；运动方向时刻在改 变，所以是变速运动，必具有加速度；合外力始终指向运动轨迹的内侧。

2. 运动的合成与分解
（1）合运动与分运动的关系：各分运动经历的时间与合运动经历的时间 相同 ；一个物体同时参与几 个分运动，各分运动 同时 进行，不受其他分运动的影响；各分运动叠加起来与合运动有 相同 的效 果。

（2）运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量如位移、速度、加速度的合成与分解。

由于 它们都是矢量，所以合成与分解都遵循 平行四边形法则 。

（3）已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

分运动与合运动 是一种 等效代替 的关系。

3. 平抛运动
（1）定义：水平抛出的物体只在 重力 作用下的运动。

（2）性质：加速度为 重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

（3）研究方法：平抛运动可以分解为水平方向上的 匀速直线 运动和竖直方向上的 自由落体 运动。

（4）运动时间和射程：时间 t=
2h
g
仅取决于竖直下落的高度；射程 x=v 0
2h
g
取决于初速度和高度。

（5）规律；水平分速度 v x
=v 0
；竖直分速度 v y
=gt ；合速度大小 v= v 2+g 2
t
2
+g 2
t
2 ；速度与水平方向夹角θ，
v y 则 tan θ= v x 1 ；水平分位移 x ′=v 0
t ；竖直分位移 y ′= gt 2
2 2
2
；合位移 x 合
= x ′ +y ′。

4. 斜抛运动
（1）定义：将物体以速度 v0 斜向上或斜向下方抛出，物体只在 重力 作用下的运动。

（2）性质：加速度为 重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

（3）规律：速度与水平方向夹角θ，水平分初速度 v 0x =v 0cos θ；竖直分初速度 v 0y = v 0sin θ。

5. 圆周运动
（1）描述圆周运动的几个物理量：线速度 v、角速度ω、周期 T、频率 f 、转速 n、向心加速度 a、向心力 F。

Δl
Δt （2）公式及相互关系： v= 2πr
=
T =2πrf ，
ω=
Δθ
Δt
2π
=
T
2πr
，T=
v
1
f
=
2
v
，a=
=ω
r
4π
2r
2r
2r= ωv=
2 =4π
T
2f
2
mv
2r ，F=ma=
r
=mω2r=mωv，
θ
2π
t
=
T。

（3）竖直平面内的圆周运动：
轻绳模型轻杆模型
常见类型轻绳、圆轨道轻杆、光滑管道
2
v
过最高点的临界条件有 mg=m
临
r
得， v 临= gr 由小球恰能运动即可得 v 临=0
讨论分析（1）过最高点时， v≥ gr ，
（1）当 v=0 时，F N=mg，F N为支持
2
v F N+mg=m
r ，绳、轨道对球产生弹
力，沿杆半径背离
圆心
力 F
N
（2）不能过最高点， v＜ gr ，（2）当 0＜v＜ gr 时， mg-F N=
2
v
m F v
，背离圆心，随的增大而
N
r
在达到最高点前小球已经脱离了减小
圆轨道（3）当 v= gr 时，F N=0
2
v
（4）当 v＞ gr 时，F N+mg=m
r
，
F N指向圆心并随 v 的增大而增大
二、常规题型
例 1. 下列关于曲线运动的说法中正确的是（B ）
A. 速度大小不变的曲线运动是匀速运动
B. 曲线运动一定是变速运动
C. 变速运动一定是曲线运动
D. 曲线运动不可能是匀变速运动
练习 1. 如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经 P 点到达 N点，已
知弧长 MP大于弧长 PN，质点由 M点运动到 P点与从 P点运动到 N点的时间相等．下列说法中正确的是（ B ）
A. 质点从 M到 N过程中速度大小保持不变
B. 质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同
C. 质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同
D. 质点在 MN间的运动不是匀变速运动
练习 2. 关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是（AD ）
A. 物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同
B. 物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变
C. 物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心
D. 物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直
练习 3. 某物体在三个力作用下做匀速直线运动，若其中某个力突然消失，而其余两个力不变，则该物体
的运动可能变为（ B ）
A. 匀速直线运动
B. 匀变速曲线运动
C. 匀速圆周运动
D. 机械振动
小结：物体受力不变→加速度不变→匀变速运动
例 2. 船在静水中的航速为v
v2．为使船行驶到河正对岸的码头，则 v1、v2 的方向应为
1，水流的速度为
（ C ）
A. B. C. D.
练习 1. 水平面上有一个直尺，某时刻起从静止开始向右做匀加速直线运动，同时用
笔尖靠在直尺上端匀速向下滑动，则笔尖画出的图形是（ D ）
A. B. C. D.
练习 2. 甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高出h，如图所示，将甲、乙两球分别以 v
1、v2 的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ）
A. 同时抛出，且 v1＜v2
B. 甲迟抛出，且 v1＞v2
C. 甲早抛出，且 v1＞v2
D. 甲早抛出，且 v1＜v2
练习 3. 如图所示． AB 杆和墙的夹角为α时，杆的 A 端沿墙下滑的速度大小为 v
1
，B 端沿地面的速度大小
为 v 2
，则下列关系正确的是（ C ） A. v=v 2
B. v 1
=v 2
cos α
C. v=v 2
tan α
D. v 1=v 2sin α
将 A 点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向， 在沿杆子方向上的分速度为 v1∥=v1cos α，将 B 点的 速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度 v2∥=v2sin α．由于 v1∥=v2∥，所 以 v1=v2tan α
例 3. 物体做平抛运动，下列说法正确的是（ C ）
A. 加速度的方向时刻改变
B. 速度的变化率不断增大
C. 任意一段时间内速度变化量的方向均竖直向下
D. 第 1 秒内、第 2 秒内、第 3 秒内的位移之比为 1：3：5
练习 1. 如图， x 轴在水平地面内， y 轴沿竖直方向．图中画出了从 y 轴上沿 x 轴正向抛出的三个小球 a 、
b 和
c 的运动轨迹，其中 b 和 c 是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ BD ） A. a 的飞行时间比 b 的长 B. b 和 c 的飞行时间相同 C. a 的水平速度比 b 的小 D. b 的初速度比 c 的大
练习 2. 如图所示，斜面上 A 、B 、C 三点等距，
小球从 A 点正上方 D 点以初速度 v 0 水平抛出，忽略空气阻力， 恰好落在 C 点．若小球落点位于 B ，则其初速度应满足（ B ） A. v= 1 1 1
v 0 B. v ＜ v 0 C. v0 ＞v ＞ v 0 D. v ＞v0
2 2 2 过 C 作水平辅助线，练习
3 同
练习 3. 斜面上有 P 、R 、S 、T 四个点，如图所示， PR=RS=S ，T 从 P 点正上方
的点以速度 v 水平抛出一个物体，物体落于 R 点，若从 Q 点以速度 2v 水平
抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的（ B ）A. S 点 B. R 与 S 间的某一点 C. S 与 T 间某一点 D. T 点
例 4. 如图所示，某同学斜向上抛出一小石块，忽略空气阻力．下列关于小石块在空中运动的过程中，加
速度 a 随时间 t 变化的图象中，正确的是（ B ）
A. B. C. D.
练习 1. 关于斜抛运动，下列说法中正确的是（AD ）
A. 斜抛运动是曲线运动
B. 斜抛运动是直线运动
C. 斜抛运动的初速度是水平的
D. 斜抛运动的加速度是恒定的
练习 2. 如图甲喷出的水做斜抛运动，图乙为斜抛物体的轨迹，对轨迹上的两点 A、B 下列说法正确的是（不计空气阻力）（ BC ）
A. A 点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向下
B. A 点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下
C. B 点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向下
D. B 点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上
例 5. 某物体做匀速圆周运动，以下说法正确的是（D ）
A. 该物体必须受到恒力的作用
B. 该物体所受合力必须等于零
C. 匀速圆周运动是一种匀变速运动
D. 匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断变化的运动
练习 1. 关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ B ）
A. 匀速圆周运动是匀速运动
B. 匀速圆周运动是变速运动
C. 匀速圆周运动是角速度变化的运动
D. 匀速圆周运动是周期变大的运动
练习 2. 如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和 B，在各自不
同的水平面内做匀速圆周运动．以下关于 A、B 两球作圆周运动时的速度（ V A、V B）、角速度（ωA、ωB）、
加速度（ a A、a B）和对锥壁的压力（ N A、N B）的说法正确的是（ A ）
A. V A＞V B
B. ωA＞ωB
C. a A＞a B
D. N A＞N B
两个小球的质量相同 , 所以两个小球的受力相同，
它们的向心力的大小和受到的支持力的大小都相同，
所以有 NA=NB，aA=aB，故 C、D错误，由于它们的受力相同，
2
v
向心力的大小也相同，由向心力的公式 Fn=m
r
可知，
半径大的，线速度大，所以 V A＞V B，故 A 正确，由向心力的公式 Fn ═mω2r 可知，半径大的，角速度小，所以ω A＜ωB，故 B错误．
练习 3. 绳子的一端拴一个重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列判断
正确的是（ B ）
A. 半径相同时，角速度越小绳越易断 Fn=mω2r
B. 周期相同时，半径越大绳越易断 Fn=m
2
4π
2 r
T
2π
C. 线速度相等时，周期越大绳越易断 Fn=mvω=mv
T
D. 角速度相等时，线速度越小绳越易断 Fn=mvω
三、重点难点
例 1.（2010?江苏）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于 O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ A ）
A. 大小和方向均不变
B. 大小不变，方向改变
C. 大小改变，方向不变
D. 大小和方向均改变
橡皮参加了两个分运动，水平向右匀速移动，竖直向上匀速运动，根据平行四边形法则，两个速度的合速
度也是匀速直线运动
练习 1.（2011?上海）如图，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α，船的速率为（ C ）
A. vsin α
B.
v
sin α
C. vcos α
D.
v cosα
练习 2. （2013, 上海）图为在平静海面上，两艘拖船 A、B拖着驳船 C运动的示意图． A、B的速度分别沿着缆绳 CA、CB方向， A、B、C不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此 C的速度在 C A、CB方向的投影
分别与 A、B 的速度相等，由此可知 C的（ BC ）
A. 速度大小可以介于 A、B的速度大小之间
B. 速度大小一定不小于 A、B 的速度大小
C. 速度方向可能在 CA和 CB的夹角范围外
D. 速度方向一定在 CA和 CB的夹角范围内
船 C沿着绳子靠向 A船的同时还要绕 A 船转动；船 C沿着绳子靠向 B 船的同时还要绕 B船转动，先将船 C 的速度先沿着平行 AC绳子和垂直 AC绳子方向正交分解；再将船 C的速度先沿着平行 BC绳子和垂直 BC绳
子方向正交分解；由于绳子不可伸长，故每条船沿着绳子方向的分速度是相等的；由于船 C的速度方向未
知，可能在 AC与 BC绳子之间，也可能不在在 AC与 BC绳子之间，故两船速度大小无法比较，但两拖船速
度一定小于 C船速度；故 A错误， B 正确；C、D、由于船 C的合速度方向未知，可以在 AC与 BC绳子之间，也可能不在在 AC与 BC绳子之间，故 C正确， D错误；
练习 3.（2011?江苏）如图所示，甲、乙两同学从河中 O点出发，分别沿直线游到 A 点和 B点后，立即沿原路线返回到 O点，O A、OB分别与水流方向平行和垂直，且 OA=OB．若水流速度不变，两人在靜水中游速
相等，则他们所用时间 t 甲、 t 乙的大小关系为（ C ）
A. t 甲＜t
乙
B. t 甲=t
乙
C. t 甲＞t
乙
D. 无法确定
设游速为 v，水速为 v0，OA=OB=，x 则甲整个过程所用时间： t 甲 =
x x v
+ =2x
v+v0 v-v 0 v 2-v
2 ，乙为了沿
OB运动，
2
-v
速度合成如图：则乙整个过程所用时间： t 乙=x
2 v 2-v
2
-v
2
=2x 0
2 v 2
-v 0
2 ，∵ v ＞ v 2
-v
v
2
，∴t 0
甲
＞t 乙
例 2. （2012·上海）如图，斜面上a、b、c 三点等距，小球从a 点正上方O点抛出，做初速为v
0 的平抛运动，恰落在b 点。

若小球初速变为v，其落点位于c，则（ A ）
（A）v0< v <2 v0 （B）v=2v0
（C）2v0< v <3 v0 （D）v>3v0
过 B 点作水平辅助线
3/min ，水离开喷口时的速度大小练习 1.（2013·安徽卷） 18. 由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是
为16 3m / s，方向与水平面夹角为 60 度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高
2
度和水量分别是（重力加速度 g 取 10m/s ）（ A ）
× 10 -2 m3
-2 m3
3
× 10 -2 m3
-2 m3
3
物体做斜抛运动， v y=v0sin60 ° =24m/s ，h=
2
v y
2g
，t=
v y
g
-2
所以水量×÷× 10
练习 2.（2013·上海卷） 19．如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标 A。

已知 A 点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（ ABC ）
(A) 轰炸机的飞行高度
(B) 轰炸机的飞行速度
(C) 炸弹的飞行时间
(D) 炸弹投出时的动能
h
如图的几何关系可得 x= ,x 已经求出。

水平竖直速度关系， tan θ= tan θv 0
gt
=
v0t
2 =
gt
x
2y
，可求出 y，
y= 1
2
gt
2
，可求出 t ，答案 C对。

飞行高度为 y+h, 答案 A 对。

飞行速度 v0=
x
t
，答案 B对。

练习 3.（2011, 广东）如图 6 所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面 H处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。

已知底线到网的距离为 L，重力加速度取 g，将球
的运动视作平抛运动，下列表述正确的是 ( AB )
g
A、球的速度v 等于L
2H
2H
B、球从击出到落地的时间为
g
C、球从击出点到落地点的位移等于 L
D、球从击出点到落地点的位移与球的质量有关
练习 4. 在倾角为37°的斜面上，从 A 点以 6m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在 B 点。

如图所示，求小球刚碰到斜面时的速度方向（可用速度与水平方向夹角的正切表示）、AB两点间的距离和小球在空中
2
飞行的时间。

（ tan37 °，cos37° =0.8 ，g=10m/s
）
小球落到 B 点时速度偏角为α，运动时间为 t ，则：
tan37 ° = 又因为 tan37 ° =
解得 B 两点间水平距离 S=v0t=6 ×
A．B 两点间距离
在 B 点时，
所以，小球捧到斜面时速度方向与水平方向间的夹角为 arctan
例 3 .（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图所示，两个质量均为m的小木块a 和b( 可视为质点 ) 放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为 2l . 木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力
加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确
的是( AC )
A．b 一定比a 先开始滑动
B．a、b 所受的摩擦力始终相等
C．ω＝k g
2l
是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝2kg
3l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg
练习 1. （2014·新课标Ⅱ卷）如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环 ( 可视为质点 )，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g. 当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为 ( C )
A．Mg－5mg B ．Mg＋mg C ．Mg＋5mg D ．Mg＋10mg
小环在最低点时，对整体有T－( M＋m) g＝
2
mv
，其中T 为轻杆对大环的拉力；小环由最高处运动到最低处R
由动能定理得mg· 2R＝1
2
2
mv－0，联立以上二式解得T＝Mg＋5mg，由牛顿第三定律知，大环对轻杆拉力的
大小为T′＝T＝Mg＋5mg
练习 2.（2014·安徽卷）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，
盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为 3
( 设
最
2
大静摩擦力等于滑动摩擦力 ) ，盘面与水平面的夹角为 30°，g 取 10 m/s 2. 则ω的最大值是 ( C )
A. 5 rad/s
B. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s
物体在最低点最可能出现相对滑动，对物体进行受力分析，
应用牛顿第二定律，有μmg cos θ－mg sin θ＝mω 2r ，解得ω＝1.0 rad/s
练习 3.（2013·新课标 II 卷）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。

如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处， ( AC )
A. 路面外侧高内侧低
B. 车速只要低于 v c，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于 v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比， v c 的值变小
练习 4. 一人用一根长L=1m，最大只能承受 T=46N拉力的轻绳子，拴着一个质量 m=1kg的小球（不考虑
其大小），在竖直平面内作圆周运动，已知圆心 O离地高 H=21m，如图所示，若小球运动到达最低点时绳
2
刚好被球拉断，（ g=10m/s
）求：
（1）小球到达最低点的速度大小是多少 ?
（2）小球落地点到 O点的水平距离是多少 ?
（1）在最低点，小球做圆周运动的向心力是拉力和重力的合力，
2
v
故 T-mg=m
r
，绳子要断开，拉力达到最大值 46N，带入数据得 v=6m/s
（2）因为在最低点的速度是水平的，所以断开后，小球做平抛运动，抛出点离地面的高度为 h=H-r=20m
1 由平抛运动规律得，竖直方向上 h= gt
2 2
，水平方向 x=vt ，带入数据得 x=12m。

练习 5. 足够高的竖直墙壁M、N之间有一根水平光滑细杆，在杆上 A 点的左侧某位置处套有一细环，一质量为 m的小球用长为 L 的轻质细绳系在环上． N墙壁上的 B点与小球等高，现让环与小球一起以 v= 2gL
的速度向右运动．环运动到 A 点被挡住而立即停止．已知杆上 A 点离 N墙壁的水平距离为 3
L，细绳能承2
受的最大拉力为．不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ D ）
A. 细绳不会断裂，与 N墙壁碰前小球做圆周运动
B. 小球与 N墙壁碰撞时的速度为 2gL
C. 小球与 N墙壁的碰撞点到 B 点的距离为L 2
D. 小球与 N墙壁的碰撞点到 B 点的距离为3L 16
2 2
v v
环碰到 A 点时绳的拉力 F-mg=m ，F=mg+m
L L
=3mg＞，绳子断裂，之后小球做平抛运动， A 错。

小球
在水平方向运动的时间 t= x
t
=
3
L
2
2gL
=
3L
8g
，则竖直方向的位移为
1
2
gt
3L
2=
，C错 D对。

竖直方向的分速度
16
为 gt= 3gL
8
，所以合速度为
3gL
8
+2gL=
19gL
8
，B错。

例 4. 一条宽度为L 的河，水流速度为 V
水，已知船在静水中速度为
V
船，那么：（1）怎样渡河时间最短？
（2）若 V 船＞ V
水，怎样渡河位移最小？
（3）若 V 船＜ V
水，怎样渡河船漂下的距离最短？
（1）设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向
的速度分量为 v1=v 船sin θ，渡河所需时间 t= L
v 1
=
L
，
v船sin θ
可以看出，当 v 船、L 一定，θ =90°时， t 最小， t
min=
L v
船
（2）渡河的最小位移即为河的宽度 L，为使位移等于 L，必须让船的合速度方向与河岸垂直，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定
角度θ，根据三角函数关系有： v 船cos θ-v 水=0，得 cosθ= v
v
水
，θ=arccos
v
水
v
船。

船
（3）如果水流速度大于船在静水中速度，则不论船头方向如何船都会被冲向下游，为使漂下的距离最短，
设 v 船与河岸成θ角，合速度与河岸成α角，可以看出，α角越大，船漂下的距离越小。

以 v
水的末端为圆
心，当 v 合与圆相切时，α角最大，根据 cosθ= v
v
船
可得，船头与河岸的夹角应为θ =arccos
水
v
v
船。

船漂下
水
的最短距离为 x min=（v 水-v 船cosθ）
L
v船sin θ
，此时渡河的最短位移大小为 s=
L
cosθ
=
L v
v
水。

船
练习 1. （2014·四川卷） 有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为 v 的大河．小明驾着小船渡河，去
程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为 k ，船在静水 中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为 ( B ) A. kv k 2－1
2
－1
B.
v
2
C.
1－k kv
2
D.
1－k
v
k 2
－1
2
－1
设河岸宽为 d ，船速为 u ，则根据渡河时间关系得
d ∶ u d 2
＝k ，解得 u ＝
u 2－ v
2
－ v
v
2 1－k。