二重积分的计算

0
1
2
x
注意：
当D {( x , y ) | a x b, c y d }, 且 f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y )，f1 ( x )，f 2 ( y ) 均为连续函数时，总有：
f ( x, y )dxdy a f1 ( x )dx c
y x 4 2 2
1 2
y
1
y y
e dx;
y x
解： e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
y x
原式 I 1dx
2

1
x
2
x
e dy
y x
y x2

1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
交换二次积分顺序时应注意： 先化为二重积分，然后再将二重积分化为 另一次序的二次积分。
原式 = dy 2 y 0
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dy y 2 f ( x , y )dx .
2a
或
D:
y
ax x y
ax
0 x 2a
I
2a
y ax
在直角坐标系下用平行于 坐标轴的直线网来划分区 域D，
则面积元素为 d dxdy
y
D
o x
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D D
1. ［X－型］区域 如果积分区域为： a x b,
y 2 ( x )
1 ( x ) y 2 ( x ).
例8. 求由下列曲面所围成的立体体积， z x y , z xy , x y 1, x 0, y 0.
解： 曲面围成的立体如图.
所围立体在 xoy 面上的投影是
0 x y 1, x y xy,
所求体积 V ( x y xy )d
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
其中函数 1 ( x ), 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D D
0.
例3. 计算 I x ln( y 1 y 2 )dxdy , 其中 D 由
D
y 4 x 2 , y 3 x , x 1 所围成；
解: 令 f ( x , y ) x ln( y 1 y )
2
4
y 3x
y
y 4 x2
D D1 D2
D1 D2 D3
用累次积分计算二重积分时，根据被积函数和 积分区域的特点，确定计算方便的积分次序和 积分上下限。
计算步骤：
画出区域 D 的图形，确定化为哪种累次积分；
若先对 y 积分，且平行于 y 轴的直线与 D 的边界 至多交于2点，确定 y 的积分限； 若先对 x 积分，且平行于 x 轴的直线与 D 的边界 至多交于2点，确定 x 的积分限.

D

a

D

D1

a

dy y f ( x , y )dx
a
a a y
.
a
dy

a
a a y
f ( x , y )dx
x a a y
D2
x a a y
0
2a
x
注：这种方法要求 f (x, y) 在D2上有定义且连续。
y 例1. 计算积分 2 dxdy, D : 1 x 2, 0 y 1; x D
解： 积分区域如图
2 1 y y x 2 dxdy 1 dx 0 x 2 dy . D
y
1
1 1 2 dx ydy 1 x 0 2 21 1 y 1 x1 2 0 4 2
D1
f ( x , y )dxdy
D
0 2 f ( x , y )dxdy D1
f ( x , y ) 为 y 的奇函数 f ( x , y ) 为 y 的偶函数
3. 如果 D 关于原点对称, 则
1) 对 ( x , y ) D, f ( x , y ) f ( x , y ), 积分 I 0;
2) 对 ( x , y ) D, f ( x , y ) f ( x , y ), 积分 I 2 f ( x , y )dxdy 2 f ( x , y )dxdy;
D1 D2
4. 如果 D 关于 y x 对称, 则
f ( x, y )d f ( y, x )d .
D
d
f ( x , y )]dx
f ( x , y )dx
dy
c
d
2 ( y )
1 ( y )
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3
D1
D2

D
.
D
0 dx 0 ( x y xy )dy
7 1 3 0 [ x (1 x ) (1 x ) ]dx . 24 2
1
1
1 x
例9. 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A,
0
1
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
1 x 0 0 x
f ( x )dx[(
1 0 1
0
) f ( y )dy ]
1 x
f ( x )dx f ( y )dy A2 .
1 0 0
二重积分的对称性：
0 x
1
1
解：
x f ( y )dy 不能直接积出， 所以改变积分次序
1 1
1
令 I dx f ( x ) f ( y )dy ,
0 x
y
则 I dy f ( x ) f ( y )dx
0 0
1
y
f ( x )dx f ( y )dy ,
0 0
1
x
o
x
故2I
注意：不同的积分次序将会导致计算的差异，
因此应注意选择积分的次序。
例 3. 改变积分 dx
0
2a
2 ax 2 ax x
2
f ( x , y )dy( a 0) 的次序；
解：
2a
y 2ax
a
a
2a
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a a a2 y2
D D
5. 若 D1，D2 两个区域关于直线 y x 对称，则, 积分 f ( x , y )d f ( y , x )d ;
D1 D2
例1. 计算 xdxdy，D : x 2 y 2 1, y 0；
D
f ( x , y ) x 为 x 的奇函数，故 I 0.
(如图所示)
D1
o D2 1
x 1
显然, 在 D1上 , f ( x , y ) f ( x , y )
§2 二重积分的计算
• 二重积分在直角坐标系下的计算 • 二重积分在极坐标下的计算 • 二重积分的变量替换
一. 利用直角坐标系计算二重积分
重积分的计算问题化为定积分计算问题。
lim f ( i ,i ) i
0
i 1 n
存在且其值与区域 D 的分割无关，与 ( i ,i ) 的 取法无关。
例 2. 计算 [sin( x 2 y ) sin( xy 2 )]dxdy，其中
D
D : 1 x 1,1 y 1；
解： D 关于 x 轴, y 轴对称，
sin( x y ) 和 sin( xy ) 分别关于 x ，y 是奇函数，
2 2
I sin( x 2 y )d sin( xy 2 )d
f ( x , y ) 为 x 的奇函数 f ( x , y ) 为 x 的偶函数
2. 如果 D 关于 x 轴对称, 则
1) 对 ( x , y ) D, f ( x , y ) f ( x , y ),即 f ( x , y ) 关于 y 是 奇函数, 积分 I 0;
2) 对 ( x , y ) D, f ( x , y ) f ( x , y ),即 f ( x , y ) 关于 y 是 偶函数, 积分 I 2 f ( x , y )dxdy;
1 1
I dx
0
1 0
1
x
0
sin x dy x
y y x
(1,1)
sin xdx
sin x x y |0 dx 0 x 1 cos1.
1
O
x
例6. 求 x e
D
2 y2
dxdy，其中 D 是以 (0,0), (1,1), (0,1)
为顶点的三角形；
.
. .
例4. 求 ( x 2 y )dxdy，其中 D 是由抛物线
D
y x 2 和 x y 2 所围平面闭区域；
解： 两曲线的交点
y x (0,0) , (1,1), 2 x y
2
x y2
y x2
( x y )dxdy dx 2 ( x 2 y )dy 0 x
设 D 关于 y (或 x )轴对称，且 y(或 x ) 轴将 D 分为 D1 与 D2 两个子区域，设 f ( x , y ) 在 D 上连续，则
1. 如果 D 关于 y 轴对称, 则
1) 对 ( x , y ) D, f ( x , y ) f ( x , y ),即 f ( x , y ) 关于 x 是 奇函数, 积分 I 0;
2) 对 ( x , y ) D, f ( x , y ) f ( x , y ),即 f ( x , y ) 关于 x 是 偶函数, 积分 I 2 f ( x , y )dxdy;
D1
f ( x , y )dxdy
D
0 2 f ( x , y )dxdy D1
1
2 ( x )
y 1 ( x)
2
1
累次积分
2. ［Y－型］区域
积分区域为：
d
c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ).
d
x 1 ( y )
D
x 2 ( y)x Βιβλιοθήκη 1 ( y )Dc
c
2 ( y )
1
x 2 ( y)
f ( x , y )d c [ ( y )
解： e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x e
D
2 y2
dxdy dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e
1 0
y
2
1 2 y3 y2 2 1 y dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
例7. 计算积分 I 1 dy 1 e dx 1 dy
D
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x0 )
a
0
y 2 ( x)
得
b
x
b
x
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x , y )dy]dx D b ( x) dx f ( x , y )dy a ( x)
2
1 x
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
sin x 例5. 计算 dy dx; 0 y x sin x 的原函数不能用初等函数表示， 解：由于不定积分 x 因此不能由所给的积分次序计算二重积分，考虑 变换积分次序.
D
b
d
f 2 ( y )dy
例 2. 改变积分
0 dx 0
1
1
2 x x2
f ( x , y )dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy 的次序；
y 2 x
解：积分区域如图
原式 0 dy 1
2 y 1 y 2
f ( x , y )dx .
y 2x x2