2022年最新华东师大版九年级数学下册第27章 圆专题测评试题(含解析)

华东师大版九年级数学下册第27章 圆专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，O 是ABC ∆的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）
A ．40︒
B ．80︒
C ．50︒
D ．45︒
2、如图，圆内接四边形ABCD 的外角ABE ∠为80°，则ADC ∠度数为（ ）
A ．80°
B ．40°
C ．100°
D ．160°
3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC =130°，则∠AOC 的度数为（ ）
A ．25°
B ．80°
C ．130°
D ．100°
4、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A =20°，则∠D 等于（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．50°
D ．40°
5、如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠CBD 的度数是（ ）
A ．30°
B ．36°
C ．60°
D ．72°
6、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（ ）
A ．
B ．
C
D ．8
7、如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
8、如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4AC =，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A 2π
B ．32
C ．2π
D 9、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD ＝∠DEF ＝90°，AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A ，G ， H 三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A B C ．D 10、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）
A ．55°
B ．60°
C ．65°
D ．75°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，⊙O 的半径为2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若弦BC 的长度为∠BAC ＝________度．
2、已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ⊥于点E ，对于下列说法：①圆上AbB 是优弧；②圆上AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD ∠和ADF ∠都是圆周角；⑤COA ∠是圆心角，其中正确的说法是________．
3、如图，半径为2的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 是弧AB 的中点，点D 、E 是半径OA 、OB 上的动点，且满足∠DCE ＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．
4、若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留π）
5、如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为________cm．
6、半径为6cm的扇形的圆心角所对的弧长为2 cm，这个圆心角______度．
7、在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要添加的一个条件是
________．（写一个条件即可）
8、如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为
______cm2．
9、如图，扇形AOB 的圆心角为120°，弦AB ＝ _____．
10、如图，舞台地面上有一段以点O 为圆心的AB ，某同学要站在AB 的中点C 的位置上．于是他想：只要从点O 出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到AB 上，就能找到AB 的中点C ，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C 所用方法的依据是_____．
三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）
1、如图，O 的直径12AB =cm ，AM 和BN 是它的切线，DE 与O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点．设AD x =，CD y =，求y 关于x 的函数解析式．
2、定义：若图形M 与图形N 有且只有两个公共点，则称图形M 与图形N 互为“双联图形”，即图形M 是图形N 的“双联图形”，图形N 是图形M 的“双联图形”．
(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，下列函数图象中与O 互为“双联图形”的是________（只需填写序号）；
①直线1y x =+；②双曲线1y x =；③抛物线223y x x =++．
(2)若直线y x b =-+与抛物线21y x =+互为“双联图形”，且直线y x b =-+不是双曲线1
y x =的“双联
图形”，求实数b 的取值范围；
(3)如图2，已知()2,0A -，()4,0B ，()1,3C 三点．若二次函数()2
13y a x =++的图象与ABC 互为“双联图形”，直接写出a 的取值范围．
3、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝12，tan∠A ＝1
3
．
(1)尺规作图：以AC 为直径作⊙O ，与AB 交于点D （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求⊙O 的半径长度．
4、在⊙O 中，AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形．
（1）求证：BA 是⊙O 的切线；
（2）若AB ＝6，①求⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．
5、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．
（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；
（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠OCB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
【详解】
解：在OCB
∆中，OB OC
=，
OBC OCB
∴∠=∠；
40
OCB
∠=︒，180
COB OBC OCB
∠=︒-∠-∠，
100
COB
∴∠=︒；
又
1
2
A CO
B ∠=∠，50
A
∴∠=︒，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，然后根据同角的补角相等得出∠ABE＝∠D＝80°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D．
∵∠ABE＝80°，
∴∠ADC＝80°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC=130°，
∴∠B=50°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4、C
【解析】
【分析】
连接CO利用切线的性质定理得出∠OCD=90°，进而求出∠DOC=40°即可得出答案．
【详解】
解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=20°，
∴∠OCA=20°，
∴∠DOC=40°，
∴∠D=90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质以及三角形外角性质等知识，根据已知得出∠OCD=90°是解题关键．5、B
【解析】
【分析】
求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．【详解】
解：∵正五边形ABCDE中，
∴∠BCD=()
52180
5
-⨯︒
=108°，CB=CD，
∴∠CBD =∠CDB =12
（180°-108°）=36°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．
6、A
【解析】
【分析】
过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．
【详解】
解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，
AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，
115,53222
OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒
112
OE OP ∴==
在Rt ODE △中，
DE =OE CD ⊥
2
CD DE
∴==
故选A
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．7、A
【解析】
【分析】
作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】
解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数为360
36
=10．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．8、A
【解析】
【分析】
连接OD ，BD ，作OH ⊥CD 交CD 于点H ，首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后利用等面积法求出BD 的长度，进而得到OBD ∆是等边三角形，60BOD ∠=︒，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH 的长度，最后根据ACB COD ODB S S S S ∆∆=--形阴影扇进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，连接OD ，BD ，作OH ⊥CD 交CD 于点H
∵2AB =，4AC =，90ABC ∠=︒
∴在Rt ABC ∆中，
BC
∵点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆
∴BC 是圆的直径，
∴90CDB ∠=︒
∴1122ABC S AB BC AC BD ∆==，即112422BD ⨯⨯=⨯⨯
解得：BD =
又∵1
2OB OC OD BC ====∴OB OD BD == ∴OBD ∆是等边三角形
∴60BOD ∠=︒
∴1302
C CDO BO
D ∠=∠=∠=︒
∵OH ⊥CD
∴1
2OH OC ==，3CD =
∴26011
23223602
ACB COD ODB S S S S ππ∆∆⨯=--=⨯⨯-=形阴扇影． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了30°角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9、A
【解析】
【分析】
如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.
【详解】 解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM
四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥
,,QM HG QM EF
设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：
5,NQ x
而22
2,HM MQ HQ 115,5,5510,2
22HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4
HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215
,2AQ x
2225
22510,44x x 解得：5,2
x 25225
250510.4442
AQ 故选A
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A ，G ， H 三点的圆的圆心是解本题的关键.
10、C
【解析】
【分析】
由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．
【详解】
解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒，
∴∠BAO =25ABO ∠=︒．
∴∠AOB =130°．
∴ACB ∠=1
2∠AOB =65°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
二、填空题
1、60
【解析】
【分析】
在Rt △BOE 中，利用勾股定理求得OE =1，知OB =2OE ，得到∠BOE =60°，∠BOC =120°，再利用圆周角定理即可解决问题．
【详解】
解：如图作OE ⊥BC 于E ．
∵OE⊥BC，
∴BE=EC BOE=∠COE，
∴OE=1，
∴OB=2OE，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
2、①②③⑤
【解析】
【分析】
根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】
解：AbB ，AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，
,A C 在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；
,,C A D 都在圆上，
∴CAD ∠是圆周角
而F 点不在圆上，则ADF ∠不是圆周角
故④不正确；
O 是圆心，,C A 在圆上
∴COA ∠是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点睛】
本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
3、43π【解析】
【分析】
如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F AOC △是等边三角形，求解3,CF
证明,60,AC OC DAC ACO 再证明,ACD OCE ASA ≌ 可得AOC AOB S S S 阴影扇形，再计算即可得到答案.
【详解】
解：如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F
C 是AB 的中点，120,AOB ∠=︒ 160,2
AOC BOC AOB ,AO CO
AOC ∴是等边三角形， ,60,AC OC OAC ACO 60,DAC
EOC ,2,CF
AO AO CO 11,2
AF OF AO 2222213,CF OC OF
60,DCE
,DCE OCD ACO OCD
,ACD OCE ∴∠=∠ 而60,,DAC EOC AC OC ,ACD OCE ASA ≌ ,DOC OEC AOC DCEO S S S S 四边形 AOC AOB S S S 阴影扇形
212021423336023
故答案为：
43
π【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键.
4、23
π 【解析】
【分析】
已知扇形的圆心角为60︒，半径为2，代入弧长公式计算．
【详解】
解：依题意，n =60︒，r =2，
∴扇形的弧长=6022==1801803
n r πππ⨯︒︒． 故答案为：23
π． 【点睛】
本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=
180n r π．
5、【解析】
【分析】
连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．根据轴对称的性质确定OC AB ⊥，OD =CD ；再根据垂径定理确定AD =BD ；再根据勾股定理求出AD 的长度，进而即可求出AB 的长度．
【详解】
解：如下图所示，连接OC交AB于点D，再连接OA．
∵折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，
⊥，OD=CD．
∴OC AB
∴AD=BD．
∵圆形纸片的半径为10cm，
∴OA=OC=10cm．
∴OD=5cm．
∴
AD=．
∴BD=．
∴AB AD BD
=+=．
故答案为：
【点睛】
本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．6、60
【解析】
【分析】
根据弧长公式求解即可．
解：180n r l π=， 解得，1802606n ππ⨯=
=⨯， 故答案为：60．
【点睛】
本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.
7、∠ABT =∠ATB =45°（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT =∠ATB =45°即可．
【详解】
解：添加条件：∠ABT =∠ATB =45°，
∵∠ABT =∠ATB =45°，
∴∠BAT =90°，
又∵AB 是圆O 的直径，
∴AT 是圆O 的切线，
故答案为：∠ABT =∠ATB =45°（答案不唯一）．
本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 8、2
π 【解析】
【分析】
连接AC ，根据圆周角定理得出AC 为圆的直径，解直角三角形求出AB ，根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】
解：如图，连接AC ，
∵从一块直径为2cm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC =90°，
∴AC 为直径，即AC =2cm ，AB =BC （扇形的半径相等），
∵在Rt ABC 中，22222AB BC AC +==，
∴AB =BC ∴阴影部分的面积是()2
9023602
ππ= （cm 2）．
故答案为：
2
π． 【点睛】 本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
9
、4π3
【解析】
【分析】
阴影部分面积为扇形与三角形的面积差，分别求解两部分的面积然后即可．
【详解】
解：由题意知：
∵OA OB =
∴△OAB 为等腰三角形 ∴()1180120302OAB ∠=︒-︒=︒
∵12cos30OA
⨯︒=
∴2OA = ∵π120π24π1801803
n r S ⨯⨯===扇
1sin 302
OAB S OA =⨯⨯︒⨯
∴4π3AOB S S S
=-=阴扇
故答案为：4
π3
【点睛】
本题考查了扇形的面积，锐角三角函数等知识．解题的关键在于求解扇形与三角形的面积．
10、垂径定理
【解析】
【分析】
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，据此解题．
【详解】
解：如图，
这位同学确定点C 所用的方法依据是：垂径定理，
即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，
故答案为：垂径定理．
【点睛】
本题考查垂径定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
1、()360y x x x
=+
> 【解析】
【分析】
连接OC ，OD ，OE ，根据切线的性质得到6OE =cm ，90COD ∠=︒，OE CD ⊥，推出AD DE x ==，CB CE y x ==-，根据222OD OC CD +=，列得()2222266x y x y ++-+=，从而求出函数解析式． 【详解】
解：连接OC ，OD ，OE ，
∵AD 切O 于点A ，CB 切O 于点B ，CD 切O 于点E ，直径12AB =cm
∴6OE =cm ，90COD ∠=︒，OE CD ⊥，
∴AD DE x ==，CB CE y x ==-，
∵222OD OC CD +=，
∴()2222266x y x y ++-+= ∴()360y x x x =+
>． ．
【点睛】
此题考查了圆的切线的性质定理，全等三角形的判定及性质定理，求函数解析式，正确连线利用切线的性质是解题的关键．
2、 (1)①
(2)b 的取值范围是324b <≤ (3)1
38a -<<-或3025a -
<< 【解析】
【分析】
（1）根据图形M 与图形N 是双联图形的定义可直接判断即可；
（2）根据函数解析式联立方程，再根据“双联图形”的定义，由一元二次方程的判别式可得结论；
（3）根据双联图形的宝座进行判断即可．
(1)
选项①的直线1y x =+经过第一、二、三象限，且经过点（0，1）和（-1，0）
又O 的半径为2，
∴这两个图形有且只有两个公共点，
∴这两个图形是“双联图形”； 选项②的双曲线1y x
=在第一、三象限与图1中的图象分别有两个公共点，一共有四个公共点，不符合“双联图形”的定义，
故这两个图形不是“双联图形”；
选项③的抛物线2223=(+1)+2y x x x =++的顶点坐标渐（-1，2），并且开口方向向上，与图1中的图象没有公共点，
故这两个图形不是“双联图形”；
∴选①
故答案为①；
(2)
已知直线y x b =-+与抛物线21y x =+有且只有两个公共点， ∴将y x b =-+代入抛物线21y x =+中，得，
210x x b ++-= 配方得，21
3()24
x b +=- ∵方程有实数解， ∴304b ->即34
b > 又直线y x b =-+不是双曲线1
y x =的“双联图形”，
∴直线y x b =-+与双曲线1
y x =最多有一个公共点，
即当1x =时，1y x b =-+≤代入得，11b -+≤，即2b ≤，
∴实数b 的取值范围是3
24
b <≤；
(3)
∵()2
13y a x =++是二次函数，
∴0a ≠
∵二次函数()213y a x =++的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x =-1， ∴当0a >时，二次函数()2
13y a x =++的图象与ABC ∆的图象没有交点，
∴0a >不成立；
当0a <时，二次函数()213y a x =++的图象开口向下，为使它与ABC ∆互为双联图形，即有且只有两个公共点，
∴①当抛物线与AC 和AB 相交时，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，
把C (1，4)，B (4，0)代入，得
43b k b =⎧⎨+=⎩， ∴41b k =⎧⎨=-⎩
， ∴y =-x +4，
∵抛物线与BC 不想交，
∴()2
134a x x ++=-+，即ax 2+(2a +1)x +a -1=0无实数根，
∴(2a +1)2-4a (a -1)<0，
解得a <18-， 又当2x =-时，要满足0y >，相当于30a +>，所以3a >-；
∴138a -<<-；
②当抛物线与AC 和BC 相交时，
当x =4时，要满足0y >，相当于2530a +>，所以，325a >-
， ∴3025
a -<<； 综上，a 的取值范围为：1
38a -<<-或3025a -
<< 【点睛】
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，切线的判定和性质，图形M 与图形N 是和谐图形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题．
3、 (1)见解析
【解析】
【分析】
（1）分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧交于两点，连接这两点交AC 于点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆交AB 于点D ；
（2）连接CD ，根据AC 是⊙O 的直径，可得∠ADC =90°，由tan∠A =13，可得CD =2，再运用勾股定理
可得AC =
(1)
如图所示，⊙O 即为所作的圆：
(2)
连接CD ，如图，
∵AC 是圆O 的直径
∴90ADC ∠=︒，即CD AB ⊥
∵BC =AC ∴1112622
AD AB ==⨯= ∵tan∠A ＝1
3 ∴13
CD AD = ∴1
23CD AD ==
在Rt △ACD 中，222AD CD AC +=
∴AC
∴⊙O 的半径=1
2⨯【点睛】
本题考查了线段中点和圆的作图，圆的性质，，等腰三角形性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题关键．
4、（1）证明见解析；（2）①4π-【解析】
【分析】
（1）连接AO ，由AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形，即得推得ACO △为等边三角形，即可得∠BAO =∠BAC +∠CAO =90°，即BA 是⊙O 的切线．
（2）①由（1）有A 0=tan 60AB =︒
②将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO 面积减去三角形ACO 面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可．
【详解】
（1）证明：连接OA
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD //BE
∴∠ADC =∠DCO
又∵AC AD =
∴∠ACD =∠ADC
∴∠ACO =∠ACD +∠DCO =2∠ADC
又∵2∠ADC=AOC
∠
∴AOC ACO
∠=∠
∴AO=AC
又∵OC=AO
∴ACO
△为等边三角形
∴∠ACO=∠CAO=60°，∠ACD=∠DCO=30°
又∵AB//CD
∴∠BAC=∠ACD=30°
∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=30°+60°=90°
∴BA是⊙O的切线．
（2）①由（1）可知∠BAO=90°，∠BOA=60°
∴tan
BA BOA
AO ∠=
∴AO=
6
tan tan
BA
BOA BOA
===∠∠
②连接AO，与CD交于点M
∵AC=OAC=60°
∴CM=sin603 AC⋅︒==
∴11322
AOC S AO CM =⋅⋅=⨯=△
∵AO =AOC =60°
∴22360AOC
n r S ===︒扇形ππ ∴2AOC AOC S S S =-△阴影扇形（）
∴224S =-=-阴影（
ππ
【点睛】
本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键．
5、（1）作图见解析，1(2,3)B -、1(1,1)C --；（2）
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π 【解析】
【分析】
（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △，根据点A 、B 、C 坐标，即可确定出点1B 、1C 的坐标；
（2）根据勾股定理求出AB 的长，由扇形面积公式即可得出答案．
【详解】
（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △如图所示：
∴1(2,3)B -、1(1,1)C --；
（2）由图可知：5AB =，
∴线段AB 在旋转过程中扫过的面积为1
2905253604ABB
S ππ⋅==扇形． 【点睛】 本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．。