2019届高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明第39讲数学归纳法课件理
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时,不等式成立.
n=k+1 的推理不正确.
则上述证法错误的原因是
.
课堂考点探究 探究点一 用数学归纳法证明等式
例 1 求证: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2(n∈N*).
[思路点拨] 等式是关于正整 数 n 的一个式子,所以可以用数 学归纳法证明.
课堂考点探究
证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立,即 13+23+…+k3=(1+2+…+k)2, 那么,当 n=k+1 时,13+23+…+k3+(k+1)3=(1+2+…+k)2+(k+1)3. 下证:(1+2+…+k)2+(k+1)3=[1+2+…+k+(k+1)]2. 事实 上,[1+2+…+k+(k+1)]2=(1+2+…+k)2+2(1+2+…+k)(k+1)+(k+1)2=(1+2+…+k)2+2× ������(������2+1)(k+1)+(k+1)2=(1+2+…+k)2+k(k+1)2+(k+1)2=(1+2+…+k)2+(k+1)3. ∴当 n=k+1 时,等式成立. 由(1)(2)可知,对任意正整数 n,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.
[答案] 从 n=k 到 n=k+1 的推理
不正确 [解析] 在(2)中假设 n=k 时有
������2 + ������<k+1 成立,但在证明“当 n=k+1 时, (������ + 1)2 + (������ + 1)<(k+1)+1 成
(������2 + 3������ + 2) + (������ + 2)= (������ + 2)2=(k+1)+1,∴当 n=k+1 立”时没有用归纳假设,故从 n=k 到
2������ 24
左边= 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 + 1 =
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1.[教材改编] 用数学归纳法证明 2n>n2(n∈N*,n≥5)
成立时,第二步归纳假设的正确写法
为
.
[答案] 假设 n=k(k≥5)时,命题成立 [解析] 因为命题中的条件是 n≥5, 所以假设 n=k(k≥5)时,命题成立.
课前双基巩固
2.[教材改编] 凸 n 边形有 f ������ 条对角线,则凸 n+1 边
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n=1;利用数学归纳法证 明时,添加的项出错.
4.用数学归纳法证明
1+12+13+…+2���1��� -1<n(n∈N*,n>1)时,第一步
应验证的不等式的左边为
.
[答案] 1+12+13 [解析] 根据命题可知,不等式左边共 2n-1 项,且 n>1, 所以第一步验证当 n=2 时,左边应取 3 项为 1+12+13.
课前双基巩固
5.用数学归纳法证明不等式
1+12 +14 +…+2���1��� -1 >16247 成立,起始值应取为
n=
.
[答案] 8
[解析]
由等比数列求和公式可得1-1-1212
������
>127
64
,整
理得 2n>128⇒n>7,所以起始值应取 n=8.
课前双基巩固
6.对于不等式 ������2 + ������<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳 法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 + 1<1+1,不等式成立; (2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 ������2 + ������<k+1,则当 n=k+1 时, (������ + 1)2 + (������ + 1)= ������2 + 3������ + 2<
教学参考
[2017·浙江卷] 已知数列{xn}满
足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).
证明:当 n∈N*时,
(1)0<xn+1<xn;
(2)2xn+1-xn≤������
������
������ ������ 2
+1;
(3)2���1���-1 ≤xn≤2���1���-2 .
2
≥2���3������+��� 1+(������
1 +1
)2,
因为2���3������+��� 1+
1 ������ +1
2
-2
3 ������
���+��� +1 1+1 =
������+1
������
2
������ +2 4������ 2+8������ +3
>0,
所以2���3������+��� 1+
1 ������ +1
2
>2
3 ������
������ +1 +1 +1
,
所以当
n=k+1
时,1+212 +312 +…+���1��� 2 +
1 ������+1
2 >2 3������ +������ +1 1+1 成立.
由①②知,不等式 1+212+312+…+������12≥2���3������+��� 1对一切 n∈N*都成立.
足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).
证明:当 n∈N*时,
(1)0<xn+1<xn;
(2)2xn+1-xn≤������
������
������ ������ 2
+1;
(3)2���1���-1 ≤xn≤2���1���-2 .
(3)因为 xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
第39讲 PART 6
数学归纳法
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学参考
考情分析
教学参考
真题再现 ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
[2017·浙江卷] 已知数列{xn}满
足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).
4
证明:①当 n=1 时,左边=1×2×3=6,右边=1×2×3×4=6,所以等式成立.
4
②假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立,即
1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)=������ ������+1
������+2 4
������+3 ,
则当 n=k+1
时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=
������ ������+1
������ +2 4
������+3 +(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)
������ +
4
1 = ������+1
������+2 ������+3 4
������+4 = ������+1
������+1 +1
������ +1 +2 4
证明:当 n∈N*时,
(1)0<xn+1<xn;
(2)2xn+1-xn≤������
������
������ ������ 2
+1;
(3)2���1���-1 ≤xn≤2���1���-2 .
证明:(1)用数学归纳法证明:xn>0. 当 n=1 时,x1=1>0. 假设当 n=k 时,xk>0, 那么当 n=k+1 时,若 xk+1≤0, 则 0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,矛盾,故 xk+1>0. 因此 xn>0(n∈N*). 所以 xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1. 因此 0<xn+1<xn(n∈N*).
������1 2
故 xn≤2���1���-2 . 综上,2���1��� -1 ≤xn≤2���1��� -2 (n∈N*).
课前双基巩固
知识聚焦
1.数学归纳法
设命题 p(n)是与正整数 n 有关的命题,如果满足:
①∃n0∈N*,命题 p(n0)成立;
②当假设命题 p(k)(k∈N*,k≥n0)成立时,可以推出命题 p(k+1)也成立.
������+1 +3 ,
所以 n=k+1 时等式成立. 根据①②知原等式对于任意 n∈N*成立.
课堂考点探究 探究点二 用数学归纳法证明不等式
例 2 用数学归纳法证明:对一切 n∈N*,1+212+312+…+������12≥2���3������+��� 1.
[思路点拨] 利用数学归纳法证明 时,先验证 n=1 时成立,再假设当 n=k(k∈N*)时不等式 1+212+312+…+���1���2≥2���3������+��� 1成立,再分 析推证 n=k+1 时也成立.
函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以 f(x)≥f(0)=0,
因此���������2��� +1 -2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
故
2xn+1-xn≤������������
������ ������ 2
+1(n∈N*).
教学参考
[2017·浙江卷] 已知数列{xn}满
形的对角线数 f(n+1)为
.
[答案] f ������ +n-1 [解析] 增加一个顶点,增加 n-2 条对角线,原来的一条边变成对角 线,因此共增加(n-1)条对角线,故 凸 n+1 边形的对角线数 f(n+1)=f ������ +n-1.
课前双基巩固
3.[教材改编] 用数学归纳法证明
#43;(n-1)2+…+22+12=������
所以 xn≥2���1���-1.
由������
������
������ ������ 2
+1≥2xn+1-xn
得������ ���1��� +1 -12 ≥2
1 ������ ������
-12
,
所以 1 -1≥2 1 -1 ≥…≥2n-1 1 -1 =2n-2,
������������ 2 ������������ -1 2
n∈N*,������
1+1+������
1+2+������
1+3+…+21������
>11.
24
证明:①当 n=1 时,左边=12=1224>1214=右边,不等式成立.
②假设当 n=k( k∈N*)时不等式成立,即
1 + 1 + 1 +…+ 1 >11, 则当 n=k+1 时,
������+1 ������ +2 ������ +3
课堂考点探究
证明:①当 n=1 时,左边=1,右边=2×3×1+11=1,不等式成立.
②假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,
即 1+212+312+…+���1���2≥2���3������+��� 1,
则当
n=k+1
时,1+212 +312 +…+���1��� 2 +
1 ������+1
那么,可以断定命题 p(n)对一切满足 n≥n0 的正整数 n 成立.
2.用数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立.
(2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当
n=k+ 1
时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.
课堂考点探究
[总结反思] 用数学归纳法证明与 n 有关的不等式,一般有两种具体形式:一是直接给出 不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二种形式往往 要先对 n 取前几个值分别验证比较,然后猜出从某个 n 值开始都成立的结论.
课堂考点探究
变式题 用数学归纳法证明:对
于任意的
(2)由 xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,
xnxn+1-4xn+1+2xn=���������2��� +1 -2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).
设函数 f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),
f'(x)=2������������
2+������ +1
+ln(1+x)>0(x>0),
(2������ 2 3
+1)时,从
n=k
到
n=k+1,等式左边应添加的式子是
.
[答案] (k+1)2+k2
[解析] 当 n=k 时,等式左端 =12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+ 22+12;当 n=k+1 时,等式左端 =12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2 +(k-1)2+…+22+12.所以左边添加 的式子是(k+1)2+k2.