江苏省苏州市高新区2019年中考数学二模试卷(含解析)

2019 年江苏省苏州市高新区中考数学二模试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．计算（﹣ 1） ﹣
2018+（﹣ 1） 2017 所得的结果是（ ）
A ．﹣ 1
B ． 0
C ．1
D ．﹣ 2
2．下列各式中正确的是（ ）
A ． |5| ＝5
B ．﹣ |5| ＝| ﹣5|
C ．|﹣5| ＝﹣5
D ．| ﹣1.3| ＜0
3．下列说法错误的是（
）
A ．必然发生的事件发生的概率为
1
B ．不可能发生的事件发生的概率为
C ．随机事件发生的概率大于
0 且小于 1
D ．概率很小的事件不可能发生
4．在平面直角坐标系中，点（ 1，﹣ 2）关于原点对称的点的坐标是（
） A ．（ 1，2） B ．（﹣ 1， 2）
C ．（ 2，﹣ 1）
D ．（ 2， 1）
5．关于
x 的一元二次方程
ax 2
+3 ﹣2＝ 0 有两个不相等的实数根，则
a 的值可以是（
）
x
A ． 0
B ．﹣ 1
C ．﹣ 2
D ．﹣ 3
6．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为
60°， 90°， 210°．让转盘
自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知反比例函数 的图象过点 P （ 1， 3），则该反比例函数图象位于（
）
A ．第一、二象
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
8．关于 x 的方程 ＝
+1 无解，则 m 的值是（ ）
A ． 0
B ．0或1
C ．1
D ． 2
9．在平面直角坐标系中，抛物线
y 2 与直线 y 1 均过原点，直线经过抛物线的顶点（
2， 4），则下列
说法：
①当 0＜x＜ 2 时，y2＞y1；
② y2随 x 的增大而增大的取值范围是x＜2；
③使得 y2大于4的 x 值不存在；
④若 y2＝2，则 x＝2﹣或x＝1．
其中正确的有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
10．一个安装有进出水管的30 升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的8 分钟内既进水又出水，得到水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系如图所示．根据图象信思给出下列说法，其中错误的是（）
A．每分钟进水 5 升
B．每分钟放水 1.25 升
C．若 12 分钟后只放水，不进水，还要8 分钟可以把水放完
D．若从一开始进出水管同时打开需要24 分钟可以将容器灌满
二．填空题（共8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
11．近似数 3.60 × 105精确到位．
12．分解因式：
2 2
．4m﹣16n＝
13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1 2+x22 +3x1x2＝．14．在函数y＝中，自变量x 的取值范围是．
15．已知一组数据﹣3，x，﹣ 2，3， 1， 6 的众数为3，则这组数据的中位数为．
16． ＝ kx ﹣6 的图象与
x ， y 轴交于 、 A 两点，与 的图象交于
C
点， ⊥ x 轴于 D 点，如果△
y
B
CD
CDB 的面积：△ AOB 的面积＝ 1： 9，则 k ＝
．
17．若不等式组
无解，则 m 的取值范围是
． 18．抛物线 y ＝ 2 x 2+8 + 与 x 轴只有一个交点，则
＝
．
x m
m
三．解答题（共 10 小题，满分 76 分）
19．（ 6 分）计算：（﹣ 1） 2 +（π ﹣ 3.14 ） 0﹣ | ﹣ 2|
20．（ 6 分）解不等式组：
21．（ 6 分）先化简，再求值：（ x ﹣ 2+ ）÷ ，其中 x ＝﹣ ．
22．（ 6 分）已知多项式 A ＝ 2x 2﹣ xy +my ﹣ 8，B ＝﹣ nx 2+xy +y +7，A ﹣ 2B 中不含有 x 2 项和 y 项，求
n m +mn 的值．
23．（ 7 分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（ 1）在这次评价中，一共抽查了
名学生；
（ 2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为
度；
（ 3）请将频数分布直方图补充完整；
（ 4）如果全市有 6000 名初三学生， 那么在试卷评讲课中， “独立思考” 的初三学生约有多少人？
24．（ 8 分）如图，已知反比例函数
y ＝ 的图象与一次函数 y ＝ + 的图象交于点 （ 1，4），点
B
x b A （﹣ 4， n ）．
（ 1）求 n 和 b 的值；
（ 2）求△ OAB 的面积；
（ 3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量
x 的取值范围．
25．（ 8 分）一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数
相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为
1，2， 3，4 的小球，它们的形状、大小完全
x ，小颖在剩下的 3 个球中随机摸出一个小球
记下数为
y ，这样确定了点
P 的坐标（
x ， y ）．
（ 1）小红摸出标有数
3 的小球的概率是
．
（ 2）请你用列表法或画树状图法表示出由x ，y 确定的点 P （ x ， y ）所有可能的结果．
（ 3）求点 P （ x ， y ）在函数 y ＝﹣ x +5 图象上的概率．
26．（9 分）某企业设计了一款工艺品，
每件的成本是
50 元，为了合理定价， 投放市场进行试销．
据
市场调查，销售单价是
100 元时，每天的销售量是
50 件，而销售单价每降低
1 元，每天就可多
售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．
（ 1）求出每天的销售利润 y （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；
（ 2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（ 3）如果该企业要使每天的销售利润不低于
4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？
27．（ 10 分）已知一次函数
y ＝ kx +b 的图象与
x 轴、 y 轴分别交于点
A （﹣ 2， 0）、
B （ 0， 4），直
线 l 经过点 B ，并且与直线 AB 垂直．点 P 在直线 l 上，且△ ABP 是等腰直角三角形．（ 1）求直线 AB 的解析式；
（ 2）求点 P 的坐标；
（ 3）点 Q （ a ， b ）在第二象限，且 S △ QAB ＝ S △
PAB
．①用含 a 的代数式表示 b ；
②若 QA ＝ QB ，求点 Q 的坐标．
28．（ 10 分）如图，抛物线
2
C（0，3）．y＝x +bx+c 与 x 轴交于点 A 和 B（3，0），与 y 轴交于点
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（ 3）E是抛物线对称轴上一点， F 是抛物线上一点，是否存在以A， B， E， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
2019 年江苏省苏州市高新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题 3 分）
1．【分析】直接利用负指数幂的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝ 1﹣ 1
＝0．
故选： B．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
2．【分析】根据绝对值的意义对各选项进行判断．
【解答】解： A、|5|＝5，所以 A 选项的计算正确；
B、﹣|5|＝﹣5，|﹣5|＝5，所以 B 选项的计算错误；
C、|﹣5|＝5，所以 C选项的计算错误；
D、|﹣1.3|＝1.3＞0，所以 D选项的判断错误．
故选： A．
【点评】本题考查了有理数大小比较：两个负数，绝对值大的其值反而小．也考查了绝对值的意
义．
3．【分析】利用概率的意义分别回答即可得到答案．
【解答】解： A、必然发生的事件发生的概率为1，正确；
B、不可能发生的事件发生的概率为0，正确；
C、随机事件发生的概率大于0 且小于1，正确；
D、概率很小的事件也有可能发生，故错误，
故选： D．
【点评】本题考查了概率的意义及随机事件的知识，解题的关键是了解概率的意义，概率大的事
件不一定发生，概率小的事件不一定发生．
4．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（ x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣ y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：点（ 1，﹣ 2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1， 2），
故选： B．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
5．【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 a 的不等式，可求得 a 的取值范围，则可求得答案．
【解答】解：
2
∵关于 x 的一元二次方程ax +3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞ 0 且a≠ 0，即 32﹣ 4a×（﹣ 2）＞ 0 且a≠ 0，
解得 a＞﹣1且a≠0，
故选： B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
6．【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为＝，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，
故选： B．
【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避
免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了
数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
7．【分析】先根据反比例函数的图象过点P（1，3）求出k 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵反比例函数的图象过点P（1，3），
∴k＝1×3＝3＞0，
∴此函数的图象在一、三象
限．故选： B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数中k＝ xy 的特点求出k 的值是解答此题的关键．
8．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出 m的值．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+1＝ mx﹣2m+x2﹣3x+2，
整理得：（ m﹣1）x＝2m﹣1，
由分式方程无解，得到m﹣1＝0且2m﹣1≠0，即 m＝1；
当 ≠1 时，
＝ 1 或
＝ 2，
m
解得： m ＝0． 故选： ．
B
【点评】 此题考查了分式方程的解，分式方程无解即为最简公分母为 0．
9．【分析】 根据图象得出函数解析式为
y ＝ （ ﹣ 2）
2
+4，再把 c ＝ 0 代入即可得出解析式，根据二
a x
次函数的性质得出答案．
【解答】 解：设抛物线解析式为
y ＝ a （ x ﹣ 2）2+4，
∵抛物线与直线均过原点，
∴ a （ 0﹣2） 2+4＝ 0， ∴ a ＝﹣ 1，
∴ y ＝﹣（ x ﹣ 2） 2+4，
∴由图象得当 0＜ x ＜ 2 时， y 2＞y 1，故①正确；
y 2 随 x 的增大而增大的取值范围是
x ＜ 2，故②正确；
∵抛物线的顶点（ 2， 4），
使得 y 2 大于 4 的 x 值不存在，故③正确；
把 y ＝ 2 代入 y ＝﹣（ x ﹣ 2） 2+4，得
若 y 2＝ 2，则
x ＝ 2﹣
或 x ＝ 2+
，故④不正确．
其中正确的有 3 个，
故选： C ．
【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．【分析】 根据前 4 分钟计算每分钟进水量，结合
4 到 12 分钟计算每分钟出水量，可逐一判断．
【解答】 解：每分钟进水： 20÷ 4＝ 5 升， A 正确；
每分钟出水：（ 5×12﹣ 30）÷ 8＝ 3.75 升；故 B 错误；
12 分钟后只放水，不进水，放完水时间：
30÷3.75 ＝ 8 分钟，故
C 正确；
30÷（ 5﹣3.75 ）＝ 24
分钟，故
D 正确，
故选： B ．
【点评】 本题考查函数图象的相关知识．从图象中获取并处理信息是解答关键．
二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）
11．【分析】 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】 解：因为 0 所在的数位是千位，所以
3.60 × 105 精确到 千位．
故答案是：千．
【点评】 本题主要考查科学记数法和有效数字，对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，
与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
12．【分析】 原式提取 4 后，利用平方差公式分解即可．
【解答】 解：原式＝ 4（ m +2n ）（ m ﹣2n ）．
故答案为： 4（ m +2n ）（ m ﹣2n ）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，
熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．【分析】 根据根与系数的关系得到
2
2
2
， x 1+x 2＝﹣ ，x 1x 2＝﹣ 2，把 x 1 +x 2 +3x 1x 2 变形为（ x 1+x 2） +x 1x 2 然后利用整体代入的方法计算；
【解答】 解：根据题意得 x 1+x 2＝ 2， x 1x 2＝﹣ 5，
2
2
2
+x 1x 2＝ 2
x 1 +x 2 +3x 1x 2＝（ x 1+x 2） 2 +（﹣ 5）＝﹣ 1．
故答案为﹣ 1．
【点评】 本题考查了根与系数的关系：若
x
1
， 2 是一元二次方程 ax 2
+ + ＝ 0（ ≠ 0）的两根时，
x
bx c
a
x 1
+
2
＝﹣
，12＝．
x x x
14．【分析】 根据被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．
【解答】 解：在函数 y ＝
中， 1﹣ x ＞0，即 x ＜ 1，
故答案为： x ＜ 1．
【点评】 本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．
15．【分析】 先根据众数定义求出 x ，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．
【解答】 解：∵数据﹣ 3，x ，﹣ 2， 3， 1， 6 的众数为 3，
∴ 3 出现的次数是 2 次，
∴ x ＝ 3，
数据重新排列是：﹣ 3，﹣ 2、 1、 3、3、 6，
所以中位数是（ 1+3）÷ 2＝2．
故答案为： 2．
【点评】 本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数
据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位
数．
16．【分析】 由于△ CDB 的面积：△ AOB 的面积＝ 1： 9，且两三角形相似，则
＝ ， C （ ， 2）
代入直线 y ＝ kx ﹣ 6 求得 k 值．
【解答】 解：由题意得：△
的面积：△ 的面积＝ 1： 9，且两三角形相似，则
＝ ，
CDB
AOB
又 （ 0，﹣ 6），则 （ ， 2），代入直线 y ＝ kx ﹣ 6，
A
C
可得： k ＝4． 故答案为： 4．
【点评】 本题考查了反比例函数系数
k 的几何意义，这里相似三角形的相似比是解决问题的突破
口．
17．【分析】 先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．
【解答】 解：解不等式组可得
，因为不等式组无解，所以
m ＜
．
【点评】 本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．
注意：当符号方向不同，数字相同时（如：
x ＞a ， x ＜ a ），没有交集也是无解．
求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
2
【解答】 解：∵抛物线 y ＝ 2x 2+8x +m 与 x 轴只有一个交点， ∴△＝ 82﹣4× 2× m ＝ 0，
∴ m ＝ 8．
故答案为 8．
【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ＝ ax 2+bx +c （ a ， b ， c 是常数， a ≠ 0）
与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于
x 的一元二次方程．△＝ b 2﹣ 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点
个数（△＝ b 2﹣4ac ＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△＝ b 2﹣4ac ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有 1 个 交点；△＝
b 2
﹣4 ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点）．
ac
三．解答题（共 10 小题，满分 76 分）
19．【分析】 原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】 解：原式＝ 1+1﹣2+
＝ ．
【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】 解：
∵解不等式①得： x ≤﹣ 1，
解不等式②得： x ≤3，
∴不等式组的解集为
x ≤﹣ 1．
【点评】 本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的
关键．
21．【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将
x 的值代入计算可得．
【解答】 解：原式＝（
+
）?
＝
?
＝ 2（ x +2）
＝ 2x +4，
当 x ＝﹣
时，
原式＝ 2×（﹣
） +4
＝﹣ 1+4
＝ 3．
【点评】 本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22．【分析】 把
A 与
B 代入 ﹣ 2 中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有
x 2
项和 y 项求出
m
A B 与 n 的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】 解：∵ A ＝2x 2﹣ xy +my ﹣ 8， B ＝﹣ nx 2+xy +y +7，
∴ A ﹣ 2B ＝2x 2﹣ xy +my ﹣ 8+2nx 2﹣ 2xy ﹣ 2y ﹣ 14＝（ 2+2n ） x 2﹣ 3xy +（m ﹣ 2） y ﹣22，
由结果不含有 x 2 项和 y 项，得到 2+2n ＝0， m ﹣ 2＝0，解得： m ＝2， n ＝﹣ 1，
则原式＝ 1﹣ 2＝﹣ 1．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
23．【分析】（ 1）根据专注听讲的人数是224 人，所占的比例是40%，即可求得抽查的总人数；
（2）利用 360 乘以对应的百分比即可求解；
（3）利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图；
（4）利用 6000 乘以对应的比例即可．
【解答】解：（ 1）调查的总人数是： 224÷ 40%＝ 560（人），故答案是： 560；
（ 2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×＝ 54°，故答案是：54；
（ 3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣ 168﹣224＝84（人）．
；
（ 4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×＝1800（人）．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部
分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．
24．【分析】（ 1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝ x+b，求出 k、 b 的值，再把点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出n 的值，即可得出答案；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（ 1）把A点（ 1， 4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝ x+b，
得 k＝1×4，1+b＝4，
解得 k＝4， b＝3，
∵点 B（﹣4， n）也在反比例函数 y＝的图象上，
∴ n＝＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3 与y轴的交点为C，∵
当 x＝0时， y＝3，
∴ C（0，3），
∴ S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；
（3）∵B（﹣ 4，﹣ 1），A（ 1， 4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜ x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角
形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形
结合思想．
25．【分析】（ 1）根据概率公式求解；
（ 2）利用树状图展示所有12 种等可能的结果数；
（ 3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数y＝﹣ x+5的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（ 1）小红摸出标有数 3 的小球的概率是；
故答案为；
（ 2）画树状图为：
由列表或画树状图可知， P 点的坐标可能是（1，2）（1，3）（1，4）（ 2， 1）（ 2，3），（ 2， 4）（ 3， 1）（ 3， 2）（ 3， 4）（ 4， 1）（ 4， 2）（ 4， 3）共12 种情况，
（ 3）共有 12 种可能的结果，其中在函数y＝﹣ x+5的图象上的有 4 种，即（ 1，4）（2，3）（ 3，2）（ 4，1）
所以点 P（ x， y）在函数 y＝﹣ x+5图象上的概率＝＝．
【点评】 本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n ，
再从中选出符合事件
A 或
B 的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率．也考查了
m
一次函数图象上点的坐标特征．
26．【分析】 （ 1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（ 2）把（ 1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（ 3）把 y ＝ 4000 代入函数解析式，求得相应的
x 值，即可确定销售单价应控制在什么范围内．
【解答】 解：（ 1）y ＝（ x ﹣ 50） [50+5 （ 100﹣x ） ]
＝（ x ﹣ 50）（﹣ 5x +550）
＝﹣ 5x 2+800x ﹣ 27500，
∴ y ＝﹣ 5x 2+800x ﹣ 27500（ 50≤x ≤ 100）；
（ 2） y ＝﹣ 5x 2+800x ﹣ 27500＝﹣ 5（ x ﹣ 80） 2+4500，
∵ a ＝﹣ 5＜ 0，
∴抛物线开口向下．
∵ 50≤ x ≤100，对称轴是直线 x ＝ 80，∴当 x ＝80 时， y 最大值 ＝ 4500；
（ 3）当 y ＝ 4000 时，﹣ 5（x ﹣ 80） 2+4500＝ 4000，
解得 x 1＝ 70， x 2＝ 90．
∴当 70≤ x ≤ 90 时，每天的销售利润不低于
4000 元．
【点评】 本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关
键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，
再求解．
27．【分析】 （ 1）把 A （﹣ 2，0）， B （ 0， 4）代入 y ＝ kx +b ，根据待定系数法即可求得；
（ 2）作 PC ⊥y 轴于 C ，证得△ ABO ≌△ BPC ，从而得出 AO ＝ BC ＝ 2， BO ＝ PC ＝ 4，根据图象即可求得点 P 的坐标；
（ 3）①由题意可知 Q 点在经过 P 1 点且垂直于直线 l 的直线上，得到点 Q 所在的直线平行于直线
AB ，设点
Q 所在的直线
为
y ＝ 2x +n ，代入
P 1（﹣ 4， 6），求得
n 的值，即可求得点
Q 所在的直线
为 y ＝ 2x +14，代入
Q （ a ，b ）即可得到
b ＝ 2a +14；
②由 QA ＝ QB ，根据勾股定理得出（ a +2） 2+b 2＝ a 2+（ b ﹣ 4） 2，进一步得到（
a +2） 2+（2a +14） 2＝
a 2+（ 2a +14﹣ 4） 2，解方程即可求得 a 的值，从而求得 Q 点的坐标．
【解答】 解：（ 1）把 （﹣ 2， 0）， （ 0， 4）代入 y ＝ + b 中得：
，
A
B kx
解得：
，
则直线 AB 解析式为 y ＝ 2x +4；
（ 2）如图 1 所示：作 PC ⊥ y 轴于 C ，
∵直线 l 经过点 B ，并且与直线
AB 垂直．
∴∠ ABO +∠ PBC ＝ 90°，
∵∠ ABO +∠ BAO ＝ 90°，
∴∠ BAO ＝∠ PBC ，
∵△ ABP 是等腰直角三角形，
∴ AB ＝ PB ，
在△ ABO 和△ BPC 中，
∴△ ABO ≌△ BPC （AAS ），
∴ AO ＝ BC ＝ 2， BO ＝PC ＝ 4，
∴点 P 的坐标（﹣ 4， 6）或（ 4， 2）；
（ 3）①∵点 Q （ a ， b ）在第二象限，且 S △ QAB ＝
S △PAB ． ∴ Q 点在经过 P 1 点且垂直于直线 l 的直线上，
∴点 Q 所在的直线平行于直线 AB ，∵直线 AB 解析式为 y ＝ 2x +4，∴设点 Q 所在的直线为 y ＝ 2x +n ，
∵ P 1（﹣ 4， 6），
∴ 6＝ 2×（﹣ 4） +n ，
解得 n ＝14，
∴点 Q 所在的直线为 y ＝ 2x +14，
∵点 Q （a ， b ），
∴ b ＝ 2a +14； A （﹣ 2， 0）， B （ 0， 4）
②∵ QA ＝QB ，
∴（ a +2）2+b 2＝ a 2+（ b ﹣4） 2，
∵ b ＝ 2a +14，
∴（ a +2）2+（ 2a +14） 2＝ a 2+（ 2a +14﹣ 4）2，
整理得， 10a ＝﹣ 50，
解得 a ＝﹣ 5， b ＝ 4，
∴ Q 的坐标（﹣ 5，4）．
【点评】 本题是一次函数的综合题， 考查了待定系数法求一次函数的解析式，
等腰三角形的性质，
三角形全等的判定和性质，两直线平行的性质等．
28．【分析】 （ 1）由点 B 、 C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（ 2）设出点 M 的坐标以及直线 BC 的解析式，由点 B 、 C 的坐标利用待定系数法即可求出直线
BC
的解析式，结合点
M 的坐标即可得出点 N 的坐标，由此即可得出线段 MN 的长度关于 m 的函数关
系式，再结合点 M 在 x 轴下方可找出 m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（ 3）讨论：当以 AB 为对角线，利用 EA ＝ EB 和四边形 AFBE 为平行四边形得到四边形 AFBE 为
菱 形，则点 F 也在对称轴上，即
F 点为抛物线的顶点，所以
F 点坐标为（﹣ 1，﹣ 4）；当以 AB 为
边时，根据平行四边形的性质得到
＝ ＝4，则可确定
F 的横坐标，然后代入抛物线解析式得
EF AB
到 F 点的纵坐标．
2
【解答】 解：（ 1）将点 B （ 3， 0）、 C （ 0， 3）代入抛物线 y ＝x +bx +c 中，
得：
，
解得：
．
故抛物线的解析式为
y ＝ x 2﹣4x +3．
2
（ 2）设点 M 的坐标为（ m ，m ﹣4m +3），设直线 BC 的解析式为 y ＝kx +3，
把点 B （3， 0）代入 y ＝ kx +3 中，
得： 0＝ 3k +3，解得： k ＝﹣ 1，
∴直线 BC 的解析式为 y ＝﹣ x +3．
∵MN∥ y 轴，
∴点 N的坐标为（ m，﹣ m+3）．
∵抛物线的解析式为y＝ x2﹣4x+3＝（ x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴点（ 1，0）在抛物线的图象上，
∴ 1＜m＜3．
2 2 2
∵线段 MN＝﹣ m+3﹣（ m﹣4m+3）＝﹣ m+3m＝﹣（ m﹣）
+ ，∴当 m＝时，线段 MN取最大值，最大值为．
（3）存在．点F的坐标为（ 2，﹣ 1）或（ 0，3）或（ 4，3）．当以 AB为对角线，如图1，
∵四边形 AFBE为平行四边形， EA＝
EB，∴四边形 AFBE为菱形，
∴点 F 也在对称轴上，即 F 点为抛物线的顶点，
∴ F 点坐标为（2，﹣1）；
当以 AB为边时，如图2，∵四
边形 AFBE为平行四边形，
∴ EF＝ AB＝2，即 F2 E＝2， F1 E＝2，
∴F1的横坐标为0， F2的横坐标为4，
对于 y＝x2﹣4x+3，
当 x＝0时， y＝3；
当 x＝4时， y＝16﹣16+3＝3，
∴F 点坐标为（0，3）或（4，3）．
综上所述， F 点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（ 2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用．。