泉州市南安一中2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(文科) 含解析

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二(下）期末数学试卷（文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．cos75°cos15°+sin75°sin15°的值为()
A．0 B．C．D．1
2．不等式｜4﹣3x|﹣5≤0的解集是()
A．｛x|﹣＜x＜3}B．{x｜x≤﹣或x≥3｝C．{x｜≤x≤﹣3｝
D．{x｜﹣≤x≤3}
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y=3sin2x按伸缩变换后，所得曲线为（）
A．y=sinx B．y=9sin4x C．y=sin4x D．y=9sinx
4．在△ABC中，已知AB=4，AC=2，∠B=60°，则BC的长为（）
A．2 B．C．D．
5．三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为(）
A．，B．，πC．,D．，π
6．在周长为16的扇形中，当扇形的面积取最大值时，扇形的半径为（)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在极坐标系中，圆ρ=cosθ﹣sinθ（0≤θ＜2π）的圆心的极坐标是（）
A．B．C．D．
8．函数y=2sin（2x﹣)的一个单调递减区间是（）
A．B．C．D．
9．已知ω＞0，|φ|＜，函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示．为了得到函数g(x）=sinωx的图象，只要将f（x)的图象()
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
10．直线l的倾斜角为，且过点P（1，2）,若直线l与圆C:x2+y2=10交于A，B两点，则｜PA||PB|的值为(）
A．B．5 C．D．
11．已知a＞1，b＞2，且=3，则a+4b的最小值为（）
A．8 B．9 C．10 D．12
12．已知f（x）=sinx+cosx+sin2x，若∀t∈R，x∈R，asint+3a+1≥f（x)恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．［0，+∞）B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设α∈（0,），sinα=,则tanα=．
14．在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=3的距离等于．
15．已知x，y∈R，若|x|+｜y+1|+｜x﹣1|+|y﹣2｜≤4，则x+y的取值范围为．
16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD．为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进25m到达B 处，又测得∠DBC=45°．根据以上数据计算可得cosθ=．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）=(sinx+cosx）2+cos2x﹣1
（Ⅰ）求f（x）最小正周期;
（Ⅱ)求f（x）在区间［0，]上的最大值和最小值．
18．在△ABC中，已知sin2B=1﹣cos2B．
（Ⅰ)求角B的值；
（Ⅱ)若BC=2，A=，求△ABC的面积．
19．设函数f(x)=｜x﹣a｜．
（Ⅰ)当a=2时,解不等式f（x）≥|x｜+1；
（Ⅱ）若f（x）≤1在［0，1］上恒成立，求a的取值范围．
20．在直角坐标系中，曲线C1：（θ为参数，a＞0）过点P（），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．
（Ⅰ）求曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）在C1上求一点M，使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．21．已知a，b,c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）=．
（Ⅰ)证明：A=2C；
（Ⅱ)若b=2，且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程为θ=．
（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）曲线C3与曲线C1交于O、A，曲线C3与曲线C2交于O、B，求|AB｜
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二(下）期末数学试卷（文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．cos75°cos15°+sin75°sin15°的值为（）
A．0 B．C．D．1
【分析】由条件利用两角和的正弦公式,计算求得结果．
【解答】解：∵cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos（75°﹣15°）=cos60°=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两角差的余弦公式的应用,属于基础题．
2．不等式|4﹣3x｜﹣5≤0的解集是(）
A．｛x｜﹣＜x＜3｝B．｛x|x≤﹣或x≥3}C．｛x｜≤x≤﹣3｝D．｛x｜﹣≤x≤3}
【分析】利用绝对值不等式去掉绝对值符号，直接求出不等式的解集即可．
【解答】解:因为不等式|4﹣3x|﹣5≤0，可得﹣5≤3x﹣4≤5，解得:﹣≤x≤3,
故选：D．
【点评】本题是基础题,考查绝对值不等式的解法，考查计算能力,注意基本知识的灵活运用．3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y=3sin2x按伸缩变换后,所得曲线为(）
A．y=sinx B．y=9sin4x C．y=sin4x D．y=9sinx
【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x,y，再代入原方程即可求出．
【解答】解：∵伸缩变换，
∴x=x′,y=y′，
代入y=3sin2x，可得y′=3sinx′,即y′=9sinx′．
故选:D．
【点评】本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键．
4．在△ABC中,已知AB=4，AC=2，∠B=60°，则BC的长为（）
A．2 B．C．D．
【分析】利用余弦定理即可得出．
【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴=a2+42﹣2×4×a×cos60°，
化为：a2﹣4a+4=0，
解得a=2．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．
5．三角函数y=sin(﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（)
A．，B．，πC．，D．，π
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式、余弦函数公式化简函数解析式为y=cos（2x+）,然后求解最小正周期和振幅．
【解答】解：∵y=sin（﹣2x）+cos2x
=cos2x﹣sin2x+cos2x
=cos2x﹣sin2x
=cos（2x+)，
∴三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为：，π．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的化简，两角和与差的三角函数，三角函数周期的求法，属于基本知识的考查．
6．在周长为16的扇形中，当扇形的面积取最大值时，扇形的半径为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设半径为r，弧长为l，则l=16﹣2r，利用扇形的面积公式可得S=lr=16﹣（r﹣4）2，利用二次函数的性质即可得解．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=16，
可得:l=16﹣2r,
可得：S=lr=(8﹣r)r=16﹣(r﹣4）2，
可得：当且仅当r=4时，扇形的面积取最大．
故选：C．
【点评】本题以扇形为载体，考查扇形的面积公式，考查二次函数的图象和性质的运用，属于基础题．
7．在极坐标系中，圆ρ=cosθ﹣sinθ（0≤θ＜2π)的圆心的极坐标是(）A．B．C．D．
【分析】圆ρ=cosθ﹣sinθ(0≤θ＜2π）即ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，把,ρ2=x2+y2,代入配方化简即可得出直角坐标．利用，tanθ=，由0≤θ＜2π且点C在第四象限即可得出．
【解答】解：圆ρ=cosθ﹣sinθ（0≤θ＜2π）即ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，
可得直角坐标方程:x2+y2=x﹣y，配方为：=1,
∴圆心C直角坐标为，
化为：=1,tanθ=，
由0≤θ＜2π且点C在第四象限，
∴θ=．
∴圆心的极坐标是．
故选：D．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．函数y=2sin（2x﹣）的一个单调递减区间是（）
A．B．C．D．
【分析】由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间,继而可得答案．
【解答】解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）得：
kπ+≤x≤kπ+，
∴函数y=2sin（2x﹣）的单调递减区间为[kπ+,kπ+]．
当k=0时,函数y=2sin（2x﹣）的一个单调递减区间是[,］．
故选A．
【点评】本题考查复合三角函数的单调性，求得弦函数的递减区间是关键，考查分析与运算的能力，属于中档题．
9．已知ω＞0，｜φ｜＜,函数f（x）=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．为了得到函数g （x)=sinωx的图象，只要将f（x)的图象(）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【分析】由图知，T==π，可求得ω=2，由y=f（x）经过（，0）可求得φ，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．
【解答】解:由图知,T=﹣=，
∴T==π，
∴ω=2，
∴f（x）=sin(2x+φ），
又×2+φ=2kπ+π（k∈Z)，
∴φ=2kπ+（k∈Z)，又｜φ｜＜，
∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+)，
∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）+］=sin2x=g（x)，
∴为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移个单位长度，
故选：B．
【点评】本题考查函数y=Asin(ωx+φ）的图象解析式的确定及图象变换，求得f（x）=sin(2x+)是关键，考查识图与运算求解的能力,属于中档题．
10．直线l的倾斜角为，且过点P（1，2)，若直线l与圆C:x2+y2=10交于A,B两点，则｜PA|｜PB｜的值为（）
A．B．5 C．D．
【分析】将直线l的参数方程代入曲线C,再由根与系数的关系，求出｜|PA||PB｜的值．【解答】解：将直线l的参数方程代入C：x2+y2=10，
整理得t2+（+2）t﹣5=0;
由根与系数的关系,得t1+t2=﹣(+2），t1t2=﹣5
∴｜PA|｜PB|=|t1|｜t2|=5．
故选：B．
【点评】本题考查了参数方程的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是基础题目．
11．已知a＞1，b＞2，且=3，则a+4b的最小值为(）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】换元，利用“1”的代换，根据基本不等式,即可求出a+4b的最小值．
【解答】解：设=m,=n（m＞0，n＞0），则a=1+,b=2+，m+n=3,
∴a+4b=9++=9+(+)(m+n）≥9+(5++)≥9+（5+4)=12，
当且仅当=，即n=2m时取等号，
∴a+4b的最小值为12．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查“1"的代换，考查学生的计算能力,属于中档题．
12．已知f（x）=sinx+cosx+sin2x,若∀t∈R，x∈R，asint+3a+1≥f（x）恒成立，则实数a的取值范围是()
A．[0，+∞）B．C．D．
【分析】令m=sinx+cosx=sin（x+)∈[﹣，］，则f(x）=sinx+cosx+sin2x=m2+m ﹣1=g(m)，利用二次函数的单调性可得：g(m)max=1+，
再分离参数,根据三角函数的性质即可求出．
【解答】解:令m=sinx+cosx=sin（x+）∈［﹣，］,
则m2=1+2sinxcosx，
∴sin2x=m2﹣1．
∴f(x）=sinx+cosx+sin2x=m2+m﹣1=g（m），
∴g(m）=(m+）2﹣,函数g（m）在［﹣，﹣)内单调递减，在（﹣,）内单调递增．
g（﹣)=1﹣，g（)=1+．
∴g（m）max=1+．
∵∀t∈R，x∈R,asint+3a+1≥f（x）恒成立，
∴asint+3a+1≥1+，
化为a≥,
∵的最大值为，
∴a≥．
故选:B．
【点评】本题考查了三角函数求值、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式、倍角公式、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设α∈(0,），sinα=,则tanα=．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．
【解答】解：∵α∈（0,），sinα=，∴cosα==,
则tanα==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
14．在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=3的距离等于2．
【分析】计算3﹣2sin即可得出．
【解答】解:3﹣2sin=2，
∴点(2，)到直线ρsinθ=3的距离等于2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点到直线的距离计算、极坐标的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．已知x，y∈R，若｜x｜+|y+1｜+｜x﹣1｜+｜y﹣2|≤4，则x+y的取值范围为［﹣1，3] ．
【分析】根据绝对值的意义,|x|+|y+1|+｜x﹣1|+｜y﹣2|的最小值为4,再根据条件可得只有｜x|+|y+1｜+｜x﹣1|+|y﹣2|=4，此时，0≤x≤1,﹣1≤y≤3，从而求得x+y的范围．
【解答】解:根据绝对值的意义可得|x｜+｜x﹣1｜表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
｜y+1｜+|y﹣2|表示数轴上的y对应点到﹣1、2对应点的距离之和,其最小值为3；
故｜x｜+|y+1|+|x﹣1|+|y﹣2|的最小值为4．
再根据|x｜+|y+1|+|x﹣1|+｜y﹣2｜≤4,可得只有｜x｜+｜y+1｜+｜x﹣1|+｜y﹣2|=4，
此时，0≤x≤1,﹣1≤y≤2,∴﹣1≤x+y≤3,
故答案为：[﹣1，3]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法，属于中档题．
16．如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD．为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进25m到达B处，又测得∠DBC=45°．根据以上数据计算可得cosθ=．
【分析】在△ABD中,由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，则cosθ=sin（π﹣∠BCD)=sin∠BCD．
【解答】解:∵∠DAC=15°,∠DBC=45°，∴∠ADB=30°,
在△ABD中，由正弦定理得，即,
∴BD=25×．
在△BCD中,由正弦定理得，即，
∴sin∠BCD=．
∴cosθ=sin（π﹣∠BCD)=sin∠BCD=．
故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，关键是正确建模，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x)=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式将f(x）化简，根据周期公式即可求得f（x）最小正周期；
（Ⅱ）由x的取值范围，求得2x+∈［,］，根据正弦函数图象即可求得f（x）在区间[0，］上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1，
=1+sin2x+cos2x﹣1，
=sin（2x+),
由T===π,
f(x）最小正周期π;
（Ⅱ）x∈［0，]，2x+∈[，],
由正弦函数图象及性质可知：sin（2x+)∈［﹣，1]，
f（x)在区间［0，］的值域为［﹣1，］
f（x）在区间［0，］上的最大值和最小值﹣1．
【点评】本题考查三角函数恒等变换,考查正弦函数图象及性质，考查正弦函数的最值，属于中档题．
18．在△ABC中,已知sin2B=1﹣cos2B．
（Ⅰ）求角B的值;
（Ⅱ）若BC=2，A=，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）解法一：因为sin2B=1﹣cos2B，利用二倍角公式对已知化简，可求tanB，进而可求B
解法二：依题意得sin2B+cos2B=1，利用辅助角公式可求sin（2B+)，从而可求B
（Ⅱ）解法一根据正弦定理得可求AC，由sinC=sin(A+B)可求sinC，代入面积公式可求
解法二：根据正弦定理得可求AC，根据余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣
2ABBCcosB可求AB,然后代入△ABC的面积S=可求
【解答】（Ⅰ）解法一：因为sin2B=1﹣cos2B．
所以．…
因为0＜B＜π，所以sinB≠0，
从而，…
所以B=．…
解法二：依题意得sin2B+cos2B=1
所以，
即．…
因为0＜B＜π,所以，
所以2B+．…
所以B=．…
（Ⅱ）解法一：因为A=,B=．，
根据正弦定理得，…
所以AC==…
因为C=，…
所以sinC=sin，…
所以△ABC的面积S=．…
解法二：因为A=，B=．，
根据正弦定理得，…
所以AC==…
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcosB,…
化简为AB2﹣2AB﹣2=0,解得AB=1．…
所以△ABC的面积S==．…
【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式及和差角公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式
19．设函数f（x）=｜x﹣a|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥|x|+1；
（Ⅱ）若f(x）≤1在［0，1］上恒成立,求a的取值范围．
【分析】（I）当a=2时，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围，综合可得结论．
(II）先求得f(x）≤1的解集，根据f(x)≤1在［0,1]上恒成立，根据解集端点与0、1的关系，求得a的范围．
【解答】解：（I）当a=2时,不等式为|x﹣2｜≥｜x|+1，
当x≤0时，不等式即2﹣x≥﹣x+1，即2≥1，所以解为x∈（﹣∞，0］；
当0＜x≤2时，不等式即2﹣x≥x+1，即，所以解为；
当x＞2时，不等式即x﹣2≥x+1,解集为∅;
综上可得，该不等式的解为（﹣∞，]．
（II）因为f（x)≤1，即｜x﹣a｜≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，
而f（x)≤1在[0，1］上恒成立，所以，解得a∈[0，1]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
20．在直角坐标系中，曲线C1：（θ为参数，a＞0）过点P(）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．
（Ⅰ）求曲线C1与直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ）在C1上求一点M,使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．
【分析】（I）由曲线(θ为参数），cos2θ+sin2θ=1，可得，把代入方程即可得出．直线l的极坐标方程为，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10,利用即可得出直角坐标方程．
（II）由椭圆的参数方程为（θ为参数），可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为
．利用三角函数的单调性与值域即可得出．
【解答】解:（I）∵曲线（θ为参数），cos2θ+sin2θ=1，
∴，
∵在曲线C1上，则代入方程有a2=4,
∴．
∵直线l的极坐标方程为,将极坐标方程两边同乘ρ可
得:ρcosθ+2ρsinθ=10,
∴直线l的直角坐标方程x+2y﹣10=0．
（II）∵椭圆的参数方程为（θ为参数），
∴可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为
．
其中,，由三角函数性质知，当θ﹣θ0=0时，d取最小值为．
此时，，
即点．
【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程的方法、椭圆的参数方程及其应用、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积,sin（B+C）=．
(Ⅰ）证明：A=2C;
（Ⅱ)若b=2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：
,利用三角形面积计算公式可得：a2﹣c2=bc，再利用余弦定理与正弦定理可得:sinB﹣2sinCcosA=sinC，再利用三角形内角和定理与诱导公式即可证明．
（II）A=2C,可得：sinB=sin3C．利用正弦定理与已知可得：，利用三角形面积计算公式可得:S=，利用C的取值范围与函数的单调性即可得出．
【解答】(Ⅰ）证明：由，即，
∴，sinA≠0，∴a2﹣c2=bc,
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2﹣c2=b2﹣2bccosA，
∴b2﹣2bccosA=bc,∴b﹣2ccosA=c，
∴sinB﹣2sinCcosA=sinC，
∴sin（A+C）﹣2sinCcosA=sinC，∴sinAcosC﹣cosAsinC=sinC，
∴sin（A﹣C）=sinC，
∵A，B,C∈（0，π），∴A=2C．
（Ⅱ)解：∵A=2C，∴B=π﹣3C,
∴sinB=sin3C．
∵且b=2，
∴，
∴
==
，
∵△ABC为锐角三角形，∴，
∴,∴,
∵为增函数,
∴．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式、三角形内角和定理、诱导公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程为θ=．
（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）曲线C3与曲线C1交于O、A，曲线C3与曲线C2交于O、B,求|AB|
【分析】（1）先把参数方程转化为普通方程，利用由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得极坐标方程，
（2）利用|AB|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．
【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为(x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρcosθ=0
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ
（2)设点A的极坐标为,点B的极坐标为，则
，
所以
【点评】本题考查了圆的极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。