概率论与数理统计考试题及答案之欧阳歌谷创编

一、填空题(每小题3分,共30分)
欧阳歌谷（2021.02.01）
1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为.
2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________.
3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率.
4、设随机变量X 的分布律为
(),(1,2,
,8),
8
a
P X k k ===则
a =_________.
5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<=.
6、设随机变量X 的分布律为
则2
Y X =的分布律是.
7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知
,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ.
8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则
X
服从的分布是 .
9、设总体()~10,X b p ,12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,则参数p 的矩估计量为.
10、设123,,X X X 是来自总体X 的样本,12311
ˆ23X X X μ
λ=++是()E X μ
=的无偏估计,则
λ=.
二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60
件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件
次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求:
(1)求取出的产品为次品的概率;
(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为
,
03()2,34
2
0,kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪
=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它(1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧
⎫<≤⎨⎬
⎩
⎭. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为
试求:(1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什
么?
五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为
(),01,2,12,
0,.x x f x x x ≤<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
其他求()(),E X D X .
六、(本题12分)设离散型随机变量X 的分布律为
(),0,1,2,
!
x e P X x x x θ
θ-==
= , 0θ<<+∞
其中θ为未知参数,n
x x x ,,,21 为一组样本观察值,求θ的极大似然估
计值.
七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=,对一批这类零件
检查6件得尺寸数据(毫米):
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05α=)? (
附
:
()()(
)0.0250.0250.0250.050.0255 2.5706,6 2.4469,7 2.3646, 1.65, 2.45t t t z z ======
一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A
B C 2、0.63、21
56
3
11
C C C 或411或
0.3636
4、1
5、13
6、
2
0141315
5
5k
X p
7、1 8、(2,1)N -9、10X
10、16
二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60
件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求:
(1)求取出的产品为次品的概率;
(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有
1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A =
=======2分
(1)由全概率公式得
112261511
()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=
⨯+⨯=
7分
(2)由贝叶斯公式得
22251
()()5
115()1()115P A P B A P A B P B ⨯===
12分
三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为
(1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧
⎫<≤⎨⎬
⎩
⎭. 解 (1)由概率密度的性质知 故
1
6k =
.3分
(2)当0x ≤时,
()()0
x F x f t dt -∞
==⎰
;
当03x <<时,2011()()612x
x F x f t dt tdt x -∞===⎰⎰;
当34x ≤<时,3
20
311
()()223
624x
x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰
⎰
⎰;
当4x ≥时,
3
40
31()()21
62x
t F x f t dt tdt dt -∞
⎛⎫
==+-= ⎪⎝⎭⎰
⎰
⎰;
故X 的分布函数为
220,01,0312()123,3441,4
x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨
⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩
9分
(3)77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫
<≤=-=-=
⎨⎬ ⎪⎩
⎭⎝⎭12分 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为
试求:
(1) a 的值; (2)X 和Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 解 (1)由分布律的性质知 故0.3a =4分
(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为
0120.40.30.3
X p
6分
120.40.6
Y p 8分
(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 所以X 与Y 不相互独立.12分
五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 求()(),E X D X . 解
2
1
3
1
2
2320
1
011()()d d (2)d 1.
33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞
⎡⎤
⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎰
⎰⎰
6分
12
22320
1
7
()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰9分
221
()()[()].
6D X E X E X =-=12分
六、(本题12分)设离散型随机变量X 的分布律为
(),0,1,2,
!
x e P X x x x θ
θ-==
=,0θ<<+∞
其中θ为未知参数,n
x x x ,,,21 为一组样本观察值,求θ的极大似然估
计值. 解 似然函数
()1
111!
!n
i
i
i x n
n
x n i i i i e
L e x x θ
θ
θθθ
=--==∑==∏
∏4分
对数似然函数
()1
1
1
ln ln ln !n
n
i i i i L n x x θθθ===-+⋅+∑∏
6分
1
ln L
n
i
i x d n d θθ
==-+∑8分
解似然方程ln L 0d d θ=得11ˆn i i x x
n θ===∑.10分 所以θ的极大似然估计值为ˆ.x θ=12分
七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=,对一批这类零件
检查6件得尺寸数据(毫米):
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05α=)?
(附:()()()0.0250.0250.0250.050.0255 2.5706,6 2.4469,7 2.3646, 1.65, 1.96t t t z z =====) 解 总体()
2~,X N μσ,总体方差已知,检验总体期望值μ是否等于32.50.
(1) 提出待检假设0010:32.50;:32.50.H H μμμμ==≠=1分 (2)
选取统计量X Z =
在0H 成立的条件下(0,1)Z ~N 2分 (3) 对于给定的检验水平0.05α=,查表确定临界值 于是拒绝域为(, 1.96)(1.96,).W =-∞-+∞5分
(4) 根据样本观察值计算统计量Z 的观察值:
029.44532.50
2.45 6.804
1.1x z -=
=⨯=-8分
(5)判断: 由于0z W ∈,故拒绝H 0,即不能认为这批零件的平均尺寸是32.50毫米10分。