山东省菏泽第一中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题及答案

山东省菏泽第一中学2019-2020学年高一上学期第一次月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．下列各式中：①{}{}00,1,2∈；①{}{}0,1,22,1,0⊆；①{}0,1,2∅⊆；①{}0∅=；①
{}(){}0,10,1=；①{}00=.正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知集合{}2
|560A x x x =-+≤，{}|15B x Z x =∈<<，则A B =（ ）
A ．[]2,3
B ．()1,5
C ．{}2,3
D ．{}2,3,4
3．设全集U =R ，A ={x |-2≤x <4}，B ={x |y ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{x |x ≤-2}
B ．{x |x >-2}
C ．{x |x ≥4}
D ．{x |x ≤4}
4．集合{}|04A x x =≤≤，{}|02B y y =≤≤，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ） A ．1:2f x y x →= B ．1
:3
f x y x →=
C ．2:3
f x y x →=
D ．:f x y →=5．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，则f (1)的值等于( ) A ．11
B ．2
C ．5
D ．－1
6．已知a ＞b ，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．ac 2＞bc 2
B ．a 2＞b 2
C ．a 3＞b 3
D ．11a b
＜
7．函数f (x 2
）
A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．1,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
8．关于x 的一元二次不等式210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，则ab 的值为
（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．6
9．已知,a b ∈R ，则“0ab >”是“0a >且0b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知集合{}{}||12A x x a B x x =<=<<，，且()A B ⋃=R R ，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≤
B ．1a <
C ．2a ≥
D ．2a >
11．已知函数y =f (x +1)的定义域是[-2，3]，则y =f (x )的定义域是（ ） A ．[0，5]
B ．[-1，4]
C ．[-3，2]
D ．[-2，3]
12．已知f (x )=()
(-4)512(1)a x x a x x ⎧+≤⎪
⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．(0，4) B ．(0，4] C ．(0，1) D ．(0，1]
二、填空题
13．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________. 14．已知0,0,2a b a b >>+=，则14
y a b
=
+的最小值是__________． 15．命题“x ∀∈R ，2210x x -+≥”的否定是________． 16．已知四个函数①1y x x =+；①1y x x =+；①2
2122
y x x =+++；
①
1y -，其中函数最小值是2的函数编号为____________． 三、解答题
17．已知函数()2
2,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
.
（1）求(4)f -、(3)f 、[](2)f f -的值； （2）若()10f a =，求a 的值.
18．已知集合U 为实数集，M ={x |x ≤-2或x ≥5}，N ={x |a +1≤x ≤2a -1}. (1)若a =3，求U M N ⋃；
(2)若N ⊆M ，求实数a 的取值范围.
19．已知函数f (x )=
2-1
1
x x +. (1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明； (3)试判断函数在x ①[3，5]的最大值和最小值. 20．设m ①R ，A ={x |m -1≤x ≤m +1}，B ={x |-2≤x ≤1}. (1)若m =1，求()R A B ⋃；
(2)若“x ①A ”是“x ①B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围.
21．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元()0m ≥满足31
x k
m =-
+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的年利润最大? 22．设f (x )=ax 2+(1-a )x +a -2.
(1)若命题“对任意实数x ，f (x )≥-2”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f (x )<a -1(a ①R ).
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误. 【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
①两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确； ①空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确； ①空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；
①两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误； ①元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ①①①正确. 故选：B. 2．C 【解析】 【分析】
求解一元二次不等式化简集合A ，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】
①()()2
56023023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，①{}|23A x x =≤≤，
又{}{}|152,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=， 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】
由韦恩图可得阴影部分表示的集合为(∁UA )∩B ，求解集合B 中元素的定义域，结合集合的
交、并运算即得解 【详解】
观察V enn 图，可知阴影部分的元素为属于B 而不属于A 的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA )∩B. ①A ={x |-2≤x <4}，U =R ，
①∁UA ={x |x <-2或x ≥4}，又B ={x |y ⇒B ={x |x ≥-2}，①(∁UA )∩B ={x |x ≥4}. 故选：C 4．C 【解析】 【分析】
根据函数的定义逐个进行判断可得答案. 【详解】
对于A ，对于集合A 中的任意一个元素，按照对应法则在集合B 中都有唯一一个元素与之对应，符合函数的定义，故表示从A 到B 的函数；
对于B ，对于集合A 中的任意一个元素，按照对应法则在集合B 中都有唯一一个元素与之对应，符合函数的定义，故表示从A 到B 的函数； 对于C ，当34x <≤时，28233
x <≤ ，此时8
3B ∉，不符合函数的定义，故不表示从A 到B
的函数；
对于D ，对于集合A 中的任意一个元素，按照对应法则在集合B 中都有唯一一个元素与之对应，符合函数的定义，故表示从A 到B 的函数. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的定义，属于基础题. 5．B 【解析】 【详解】
令2x ＋1=1，解得：x=0 ①f (1)=3×0+2=2 故选B
6．C 【解析】 【分析】
分别找到特例，说明A ，B ，D 三个选项不成立，从而得到答案. 【详解】
因为a b >，所以当2c =0时，得到22ac bc =，故A 项错误； 当0a b >>，得到22a b <，故B 项错误； 当0,0a b ><时，满足a b >，但11
0a b
>>，故D 项错误； 所以正确答案为C 项. 【点睛】
本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题. 7．C 【解析】 【分析】
根据函数f (x )
，求出x 的取值范围即可 【详解】
由函数f (x )
有意义，得00⎧>⎪，，解得-1
3<x <1，
即函数f (x )的定义域是 (-1
3
，1).
故选：C 8．D 【解析】 【分析】
由210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，可知0a <，根据根与系数的关系，求出a ，b
的值，即可求得ab 的值. 【详解】
因为关于x 的一元二次不等式210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，
则0a <，1
1,3
-是方程210ax bx ++=的根.
由根与系数的关系，得1111,133
b a a -
=-+=-⨯， 解得3,2a b =-=-，故6ab =. 故选：D . 9．B 【解析】 【分析】
根据充分必要条件的定义判断． 【详解】
0,0a b >>时，一定有0ab >，必要性成立，
但0ab >时，如2a b ==-，40ab =>，但0,0a b <<，充分性不满足， 应为必要不充分条件． 故选：B ． 10．C 【解析】 【详解】
{}|1,2R C B x x x =<≥或.
{}{}()||1,22R A C B x x a x x x R a ⋃=<⋃<≥=⇔≥或.故选C
11．B 【解析】 【分析】
函数y =f (x +1)的定义域是[-2，3]得-2≤x ≤3，即得y =f (x )的定义域 【详解】
①函数y =f (x +1)的定义域是[-2，3]， ①-2≤x ≤3， ①-1≤x +1≤4，
①函数y =f (x )的定义域是[-1，4]. 故选：B
12．D
【解析】
【分析】
由分段函数单调递减，先保证每个函数单调递减，再控制分段点处的函数值保证整体单调递减，列出不等关系，求解即可
【详解】
①函数f(x)是R上的减函数，
①
-4<0
20
(-4)?1+52
a
a
a a
≥
⎧
⎪
>
⎨
⎪
⎩
，
，
，
解得0<a≤1.
故选：D
13．x＋1
【解析】
【分析】
设出函数的解析式，利用已知条件列出方程求解即可．
【详解】
f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，
f[f（x）]=x+2，
可得：k（kx+b）+b=x+2．
即k2x+kb+b=x+2，
k2=1，kb+b=2．
解得k=1，b=1．
则f（x）=x+1．
故答案为：x＋1．
【点睛】
本题考查函数的解析式的求法，考查待定系数法，考查计算能力．
14．9 2
【解析】【详解】
分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14
()()2a b a b
++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值.
详解：因为2a b +=，所以
12
a b
+=，所以14145259()()222222
a b b a y a b a b a b +=
+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14
y a b =
+的最小值是92，总上所述，答案为92
. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算. 15．“x ∃∈R ，2210x x -+<” 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可知命题“x ∀∈R ，2210x x -+≥”的否定是“x ∃∈R ，2210x x -+<”.
故答案为：“x ∃∈R ，2210x x -+<”. 16．①① 【解析】 【分析】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式． 【详解】 ①函数1
y x x
=+的自变量x 没有正数条件，其最小值不是2；①函数1y x x =+，当0x >时
1
2y x x
=+
≥，当0x <时()12y x x =-+≥-，函数最小值为2；①函数22122y x x =+++，最
小值为2时取等号的条件不满足；
①)
11222
y ==≥=，当且仅当1x =时取“=” ．所以正确答案为①①． 【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．
17．（1）(4)2f -=-，(3)6f =，[](2)0f f -=；（2）5. 【解析】
（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果；
（2）按照三种情况1a ≤-，1a 2-<<，2a ≥，选择相应的解析式代入解方程可得结果. 【详解】
（1）(4)422f -=-+=-，(3)236f =⨯=，(2)220f -=-+=， 则()()200f f f -==⎡⎤⎣⎦；
（2）当1a ≤-时，()210f a a =+=，解得8a =（舍），
当1a 2-<<时，()2
10f a a ==，则a =，
当2a ≥时，()210f a a ==，则5a =， 所以a 的值为5. 【点睛】
方法点睛：（1）计算分段函数函数值时，要根据自变量的不同取值范围选取相应的解析式计算.；（2）已知函数值求自变量的值时，要根据自变量的不同取值范围进行分类讨论，从而正确求出自变量的值. 18．(1){x |x <4或x ≥5} (2)(-∞，2)①[4，+∞) 【解析】 【分析】
（1）将a =3代入集合N ，即可求出N ，根据全集求出N 的补集，最后计算M ①U
N .
（2）N ⊆M ，即集合N 对应范围小于或等于集合M 对应范围，分析即得解. (1)
当a =3时，N ={x |4≤x ≤5}， ①集合U 为实数集，①
U
N ={x |x <4或x >5}，
①M ={x |x ≤-2或x ≥5}，①M ①U
N ={x |x <4或x ≥5}.
(2)
分两种情况：
①当2a-1<a+1，即a<2时，N=∅⊆M；
①当2a-1≥a+1，即a≥2时，N≠∅，
由N⊆M，得a+1≥5或2a-1≤-2，解得a≥4或a≤-1
2
，所以a≥4.综上可知，实数a的取值范围是(-∞，2)①[4，+∞). 19．(1){x|x≠-1}
(2)是增函数，证明见解析
(3)最大值为3
2
，最小值为
5
4
【解析】
【分析】
（1）根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；
（2）先分离常数转化函数为f(x)=2-1
1
x
x+
=2-
3
1
x+
，根据反比例函数的单调性判断函数单调
性，再利用定义证明即可；
（3）结合（2）中函数单调性求解即可(1)
①f(x)=2-1
1
x
x+
，①x+1≠0，①x≠-1，
①函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.
(2)
①f(x)=2-1
1
x
x+
=2-
3
1
x+
，①函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2①(-1，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=( 2-
13 1
x+) –(2-
2
3
1
x+
)=-
1
3
1
x+
+
23 1
x+=()
12
12
3(-) (1)1
x x
x x
++，
①-1<x1<x2，①x2-x1>0，①x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
①f(x1)-f(x2)<0，①f(x1)<f(x2)，①f(x)在(-1，+∞)上是增函数.
(3)
①函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，
①f(x)在x①[3，5]上单调递增，
①函数f(x)在x①[3，5]上的最大值为f(5)=2-
3
51
+
=
3
2
，最小值为f（3）=2-
3
31
+
=
5
4
.
20．(1){x|x<-2或x>2}
(2){m |-1≤m ≤0}
【解析】
【分析】
（1）代入m =1，结合集合的并、补运算即得解；
（2）转化题干条件为A ⫋B ，列出不等关系组，求解即可
(1)
①m =1，①集合A ={x |m -1≤x ≤m +1}={x |0≤x ≤2}，
又①集合B ={x |-2≤x ≤1}，①A ①B ={x |-2≤x ≤2}，
①∁R (A ①B )={x |x <-2或x >2}.
(2)
①“x ①A ”是“x ①B ”的充分不必要条件，①A ⫋B ，
①-1-211m m ≥⎧⎨+<⎩，或-1>-211m m ⎧⎨+≤⎩
，，解得-1≤m ≤0. ①m 的取值范围是{m |-1≤m ≤0}.
21．(1)()162801y m m m =-
-≥+ (2)3万元
【解析】
【分析】
（1）根据m =0时，x =1求出k 的值，再根据每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯
元，确定y 的解析式.
（2）根据y 的解析式和基本不等式，即可求得最值.
(1)
根据题意，得m =0时，x =1，①1301k =-
+，解得k =2，①231x m =-+. 又每件产品的销售价格为8161.5x x
+⨯万元， ①年利润8161.581648x y x x m x m x +⎛⎫=⋅⨯---=+- ⎪⎝
⎭ 2164832811m m m m ⎛⎫=+⨯--=-- ⎪++⎝⎭
. 故该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数为16281
y m m =--+()0m ≥.
(2)
由于0m ≥，所以11m +≥，
所以()161628129292111y m m m m ⎡⎤=--=-+++≤-=⎢⎥++⎣⎦
， 当且仅当1611
m m =++，即3m =时等号成立. 故该厂家年促销费用投入3万元时，厂家的年利润最大.
22．(1)a ≥13
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“对任意实数x ，f (x )≥-2”为真命题，知ax 2+(1-a )x +a -2≥-2，即ax 2+(1-a )x +a ≥0，此时对a 进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a 的范围.
（2）由f (x )<a -1得ax 2+(1-a )x +a -2<a -1，即ax 2+(1-a )x -1<0，对a 进行分类讨论，即可求出不等式f (x )<a -1的解集.
(1)
①命题“对任意实数x ，f (x )≥-2”为真命题，
①ax 2+(1-a )x +a -2≥-2恒成立，即ax 2+(1-a )x +a ≥0恒成立.
当a =0时，x ≥0，不满足题意；
当a ≠0时，知0Δ0a >⎧⎨≤⎩，，即220(1-)-40a a a >⎧⎨≤⎩，，
解得a ≥13. 故实数a 的取值范围为a ≥13
. (2)
①f (x )<a -1(a ①R )，①ax 2+(1-a )x +a -2<a -1，即ax 2+(1-a )x -1<0.
当a =0时，x <1，①不等式的解集为{x |x <1}；
当a >0时，ax 2+(1-a )x -1<0⇒(ax +1)(x -1)<0，此时方程(ax +1)(x -1)=0的解分别为-1a
，1，
①-1a <1，①不等式的解集为{ x 1-a <x <1}， 当a <0时，不等式可化为(ax +1)(x -1)<0，
①当a=-1时，-1
a
=1，①不等式的解集为{x|x≠1}；
①当-1<a<0时，-1
a >1，此时不等式的解集为{ x
1
x
a
>-或x<1}；
①当a<-1时，-1
a <1，此时不等式的解集为{ x|1
x>或x<1
a
-}。