集合间的基本运算

集合间的基本运算
集合间的基本运算Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
3集合的基本运算
一、学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．
4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.
5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．
二、知识梳理
1．并集和交集的概念及其表示
2.
3．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
4．补集
5.
U U＝，
U
＝U，U(U A)＝A.
三、典型例题
知识点一集合并集的简单运算
例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}
C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
答案(1)A (2)C
解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图．
规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x －3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N ＝________.
答案(1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3}
解析(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}．
(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．
则M ∪N ＝{x |x ＜－5，或x ＞－3}．知识点二集合交集的简单运算
例2 (1)已知集合A ＝{0,2,4,6}，B ＝{2,4,8,16}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{4}
C ．{0,2,4,6,8,16}
D ．{2,4}
(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( )
A ．{x |0≤x ≤2}
B ．{x |1≤x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤4}
D ．{x |1≤x ≤4} 答案 (1)D (2)A
解析 (1)观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}． (2)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图．则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．
规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．
跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5 2}，求A ∩B ，A ∪B .
解∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5
2}，
把集合A 与B 表示在数轴上，如图．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥5
2}
＝{x |－1＜x ≤0，或5
2
≤x ≤3}；
A ∪
B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52
}＝R . 知识点三已知集合交集、并集求参数
例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若
A ∩
B ＝，求实数a 的取值范围．解由A ∩B ＝，
(1)若A ＝，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠，如下图：
∴
2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，
解得－1
2
≤a ≤2.
综上所述，a 的取值范围是{a |－1
2
≤a ≤2，或a ＞3}．
规律方法1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．
跟踪演练3 设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求a 的取值范围．解如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3. 知识点四简单的补集运算
例4 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A 等于( )
A ．{1,2}
B ．{3,4,5}
C ．{1,2,3,4,5}
D ．
(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则U A ＝________. 答案(1)B (2){x |x ＜1}
解析(1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴U A ＝{3,4,5}．
(2)由补集的定义，结合数轴可得U A ＝{x |x ＜1}．
规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn 图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：U U ＝，U ＝U ，A ∪(U A )＝U .
跟踪演练1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则U A ＝________. 答案 {x |x ＝－3，或x ＞4}
解析借助数轴得U A ＝{x |x ＝－3，或x ＞4}．知识点五交集、并集、补集的综合运算
例5 (1)已知集合A 、B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩U B 等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．
(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(R S)∪T等于( )
A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
答案(1)A (2)C
解析(1)∵U＝{1,2,3,4}，U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，
∴{3}A{1,2,3}．
又U B＝{3,4}，
∴A∩U B＝{3}．
(2)因为S＝{x|x＞－2}，所以R S＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}
R
＝{x|x≤1}．
规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．
2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．
跟踪演练2 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求R(A∪B)及(R A)∩B.
解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴
(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
R
A＝{x|x＜3，或x≥7}，
∵
R
A)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
∴(
R
要点六补集的综合应用
例6 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B R A，求a的取值范围．
A＝{x|x≥－1}．
解由题意得
R
(1)若B＝，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B R A.
(2)若B≠，则由B R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，
2
≤a＜3.
综上可得a≥－1 2 .
规律方法1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；
2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
跟踪演练3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(R B)＝，求实数a的取值范围．
解∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，
∴
R
B＝{x|－1≤x≤0}，
因而要使A∩(R B)＝，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
四、课堂练习
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
答案A
解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.
2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}
答案A
解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．
3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( ) A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}
答案B
解析由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}，故P ∩M ＝{0,1,2}． 4．已知集合A ＝{x |x ＞2，或x ＜0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．BA D ．AB 答案 B 解析∵A ＝{x |x ＞2，或x ＜0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{x |－5＜x ＜0，或2＜x ＜5}，A ∪B ＝R .故选B.
5．设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠，则实数k 的取值范围为________．答案k ≤6
解析因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－k
2}，
且M ∩N ≠，所以－k
2
≥－3k ≤6.
6．若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则M N 等于( ) A ． B ．{1,3,5}
C ．{2,4}
D ．{1,2,3,4,5} 答案 B
解析 M N ＝{1,3,5}，所以选B.
7．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩U A 等于( ) A ．{2} B ．{3,4}
C ．{1,4,5}
D ．{2,3,4,5} 答案 B
解析∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴U A ＝{3,4,5}，
∴B ∩U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．
8．已知M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案 B
解析∵P ＝{1,3}，∴子集有22＝4个．
9.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1,2} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{1,2}
答案A
解析图中阴影部分表示的集合为(U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(U A)∩B＝{－1,2}．
10．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则U A＝________.
答案{x|0＜x＜1}
解析∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，
∴U A＝{x|0＜x＜1}．
五、巩固训练
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
答案A
解析结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．
2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
答案A
解析集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N ＝{0,1,2}，故选A. 3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( ) A．{0} B．{0,2}
C．{－2.0} D．{－2,0,2}
答案D
解析集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.
4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( ) A．{x|1≤x＜2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3}
答案A
解析∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，
∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．
5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝，则实数t的取值范围是( ) A．t＜－3 B．t≤－3
C．t＞3 D．t≥3
答案A
解析B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.
6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a ＝________.
答案2
解析∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，
∴a＝2.
7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)∵C＝{x|x＞－a
2
}，B∪C＝CBC，
∴－a
2
<2，∴a＞－4.
8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案D
解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，
又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠，若A∪B＝A，则( ) A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4 D．2＜m≤4
答案D
解析∵A∪B＝A，∴BA.又B≠，
∴
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
即2＜m ≤4.
10．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤4}，C ＝{x |－3＜x ＜2}且集合A ∩(B ∪C )＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝________，b ＝________. 答案－1 2
解析∵B ∪C ＝{x |－3＜x ≤4}，∴A (B ∪C )．∴A ∩(B ∪C )＝A ，
由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}．∴a ＝－1，b ＝2.
11．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞a }． (1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；
(2)若A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．
解 (1)如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2；
(2)由于A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a ＜4.
12．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
解∵A ∪B ＝A ，∴BA .
若B ＝时，2a ＞a ＋3，即a ＞3；
若B ≠时，
2a ≥－2，
a ＋3≤5，
2a ≤a ＋3，
解得－1≤a ≤2，
综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2，或a ＞3}．
13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝；(2)A (A ∩B )．解 (1)若A ＝，则A ∩B ＝成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6.
若A ≠，如图所示，则
2a ＋1≤3a －5，
2a ＋1≥－1，
3a －5≤16，
解得6≤a ≤7.
综上，满足条件A ∩B ＝的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A (A ∩B )，且(A ∩B )A ，所以A ∩B ＝A ，即AB .
显然A ＝满足条件，此时a ＜6. 若A ≠，如图所示，则??
2a ＋1≤3a －5，
3a －5＜－1
或??
2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.
由??
2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈；
由??
2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16
解得a ＞
152
. 综上，满足条件A (A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6，或a ＞15
2
}．
13．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A
∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 答案 D 解析∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴U (A ∪B )＝{4}．
14．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 答案 A 解析因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以R A ＝{x |x ≤－1}，
则(R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．
15．设U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(U B )等于( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞1} 答案 B
解析 U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(U B )＝{x |0＜x ≤1}．
16．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( ) A ．{x |－2≤x ＜1} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x ≤2，或x ＞3} D ．{x |－2≤x ≤2} 答案A
解析阴影部分所表示的集合为U (M ∪N )＝(U M )∩(U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}．故选A.
5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |2≤x ＜5}，则A B ＝________. 答案{x |0≤x ＜2，或x ＝5} 解析如图：
由数轴可知：A B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＝5}．
17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则U A 与U B 的包含关系是________．答案 U A
U
B
解析∵U A ＝{x |x ＜0}，U B ＝{y |y ＜1}＝{x |x ＜1}．∴U A
U
B .
18．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝
x |x ≤0，或x ≥52，
(1)求A ∩B ；
(2)求(U B )∪P ； (3)求(A ∩B )∩(U P )．
解(1)A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}．(2)∵U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，∴(U B )∪P ＝x |x ≤0，或x ≥52.
(3)∵U P ＝?
x |0＜x ＜52，
∴(A ∩B )∩(U P )＝{x |－1＜x ≤2}∩?
x |0＜x ＜52＝{x |0＜x ≤2}．
19．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤1
B ．a ＜1
C ．a ≥2
D ．a ＞2 答案 C
解析如图所示，若能保证并集为R ，则只需实数a 在数2的右边(含端点2)，所以a ≥2. 20．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A ．(M ∩P )∩S B ．(M ∩P )∪S C ．(M ∩P )∩(I S ) D ．(M ∩P )∪(I S ) 答案 C
解析依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈I S, 所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(I S )，故选C.
21．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案 12
解析设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程 15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30
x ＝3，
所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)． 22．已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ； (2)若B R A ，求实数m 的取值范围．解
(1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}，
A ∪
B ＝{x |－1＜x ＜4}． (2)R A ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}．
当B ＝时，即m ≥1＋3m 得m ≤－1
2，满足B R A ，
当B ≠时，使B R A 成立，则??
m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1
或??
m ＜1＋3m ，m ＞3，
解得m ＞3.
综上可知，实数m 的取值范围是
m |m ＞3，或m ≤－12.
23．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；
(2)若全集U ＝R ，且A (U B )，求a 的取值范围．解∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由AB ，结合数轴(如图所示) 可知
a 的范围为a ≤－4.
(2)∵U ＝R ，∴U B ＝{x |x ＜a }，要使A U B ，须a ＞－2.
24．若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则??
a ≠0，
Δ＝9－8a ＞0，
解得a ＜98且a ≠0，则a 的取值范围是{a |a ＜9
8
，且a ≠0}．
在全集U ＝R 中，集合{a |a ＜98，且a ≠0}的补集是{a |a ≥9 8，或a ＝0}，
所以满足题意的a 的取值范围是{a |a ≥9
8
，或a ＝0}．。