试卷7

试卷七
一、填空题（每题3分,共15分）
1、已知(,)sin x f x y e y =，则4
0x y df
π=== 。

2、曲面1xyz =上平行于平面40x y z +++=的切平面方程为 。

3、幂级数1
(1)n n
n
x n ∞
=-∑的收敛域为 。

4、级数
1
2!n n n
n
n ∞
=⋅∑
的敛散性是 。

5、l 为圆周221x y +=，计算对弧长的曲线积分
2
2
x
y l
e ds +=⎰ 。

二、选择题（每题3分，共15分）
1、函数23u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向角/3απ=，/4βπ=，/3γπ=的方向的方向导数是（ ）
A 、 2
B 、3
C 、 4
D 、5 2、曲面1=z 与22y x z +=的交线的形状为（ ） A 、 圆 B 、椭圆 C 、 抛物线 D 、双曲线 3
、交换2
1
(,)x
dx f x y dy ⎰
的积分次序，它等于（ ）
A
、
2
10
(,)x
dx f x y dy ⎰ B
、2
1
(,)y
dy f x y dx ⎰
C
、
2
10
(,)y
f x y dy ⎰ D
、2
1
(,)y
dx f x y dy ⎰
4．下列级数中绝对收敛的是（ ） A 、
1
1
1n n -∞
=- B 、
()
1
1
1ln n n n
-∞
=-∑
C 、
()
1
11
n
n n
n ∞
=-+∑
D
、
()1
1
1ln(1n n ∞
-=-+∑
5、设∑是z =2
xydydz xdzdx x dxdy ∑
++⎰⎰=（ ） A 、π B 、4π C 、8π D 、15π
三、计算题 （每题8分，共40分）
1、已知2ln y z x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，求(1,1)z x ∂∂，(1,1)
z y
∂∂
2、设方程2x y z ++=(,)z z x y =，求z x
∂∂，
z y
∂∂。

3、计算22()D
x y y dxdy +-⎰⎰，其中D 是由,y x =1
,2
y x =2y =围成的闭区域。

4、计算2
I z dS ∑
=⎰⎰
，其中∑是z =介于1,2z z ==之间侧面。

5、计算Ω
，其中Ω为圆柱体22
1x y +≤介于2,0z z ==之间的部分。

四、将函数21
374
x x ++ 展为2x +的幂级数，并给出收敛域。

（10分）
五、计算题（共20分）
1、求函数22
(,)2f x y x y x =+-在平面闭区域{}
22(,)|1D x y x y +≤=内的最小值和最大值。

（12分）
2、计算曲线积分
33()()x x L
ye y dx e x dy π-+++⎰
，其中L 是在圆周y =上由
(1,0)A 到(1,0)B -的一段弧。

（8分）
试题七答案
一、填空题（每题3分,共15分）
1)
()2
dx dy +2)、3x y z ++= 3)、(-1,1]4)、收敛5)、2e π 二、选择题（每题3分，共15分）
1、D
2、A
3、B
4、D
5、 B
三、计算题 （每题8分，共40分）
2
2
3
12/22/2z y x
x y x
x y x
x xy
∂--=
=
∂++，
(1,1)1
3
z x
∂=-∂ ……….. 4分
2
2/22/2z x y
x y x
x y
∂==∂++，
(1,1)
23
z y
∂=
∂ ……….. 4分
2
、解：令(,,)2F x y z x y z =++-……….. 1分
则1/
x F yz =- ……….. 1分
2y F xz =-， ……….. 1分
1z F yx =-……….. 1分
x z
z x
F F ∂∂=-
=
……….. 2分
y z
z y
F F ∂∂=-
=。

……….. 2分
3、解： 积分区域D 可表示为2:02y x y
D y ≤≤≤≤⎧⎨⎩
………..3分
原式2
222
()y
y
dy x y y dx =+-⎰⎰ ………..3分
2
320
10(
)3
y y dy =-⎰32
3
=
………..2分
4、解：
x z =
y z =
dS = ………..3分
22()xy
D I x y dxdy =
+⎰⎰
………..3分
22
20
1
d d π
θρρρ=⋅
⎰2= ………..2分
5、解：采用柱面坐标，Ω可表示为02,01,02z ρθπ≤≤≤≤≤≤
原式212
d dz π
θρ=
⎰
⎰⎰
21
2
d π
θρ=⎰
⎰
20
2(4)πρ=--⎰
(483
π
=
- 由
3(2)12
x +<且21x +<时级数收敛得收敛域为
(83,43)--. …….2分 五
1、解：由方程组
21040
f
x x
f
y y
∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪==∂⎪⎩得驻点(1,02)，且11,024()f =- …….5分 边界2
2
1x y +=上，函数为2
(,)()2,(11)f x y g x x x x ==--+-≤≤
四、解：原式=
313
1
431
23(2)1(2)
x
x x x --+
=
-
++-++-+ …….4分
3(2)
2
13211
1(2)x x +-=-⋅-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 100123(2)(2)2n n n n
n n x x +∞∞===-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭
∑∑ 11031(2)2n n n n x +∞
+==+⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∑ …….4分
该函数在11x -≤≤上有最大值19
()24
g -=
，最小值(1)0g = 从而知边界上(,)f x y
有最大值19
(,24
f -
=，最小值(1,0)0f = …….5分
令3x P ye y π=-+，3x Q e x =+
33
()()x x L AB ye y dx e x dy π+-+++⎰D Q P dxdy x y ∂∂=-∂∂⎛⎫ ⎪⎝
⎭⎰⎰ …….3分
223()D
x y dxdy =+⎰⎰
1
30
334
d r dr ππθ==
⎰⎰ …….2分
又
1
1
2AB Pdx Qdy dx ππ-+==⎰⎰， …….1分
33()()x x L
ye y dx e x dy π-+++⎰ 3333()()()()x x x x L AB AB ye y dx e x dy ye y dx e x dy ππ+=-+++--+++⎰⎰
324ππ=
-54
π=-。

于是(,)f x y 在D 内最小值为1
1,024()f =-
，最大值为19(,24
f -=。

…….2分
2、解：设AB 与L 围成区域为D ，由格林公式。