1.7静电能

取偶极子所在的直线为X轴 取偶极子所在的直线为 轴 当偶极子在此方向上发生微 小位移时， 小位移时，根据虚功原理
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
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∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能： 一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能， 例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相 计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。 对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能 ）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12
W = 1 1 (W21 + W12 ) = − ( P1 ⋅ E12 + P2 ⋅ E 21 ) 2 2
ˆ P1 ⋅ e r 21 = 0
ˆ P2 ⋅ er 21 = 0
P P2 1 W21 = >0 3 4πε 0 r21
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相互排斥
P1 ⋅ P2 = − P1 P2
W21 = − P1 P2 4πε 0 r21
3
<0相互吸引来自试计算欲使一半径为R的球体均匀带电所必须的能量 的球体均匀带电所必须的能量。 例1.7-4 试计算欲使一半径为 的球体均匀带电所必须的能量。设球体总电量 为q
（2）均匀电场对电偶极子的作用 ）
+q
F+
F+ = − F−
F = F+ + F− = 0
θ
l
F−
E
−q
M = F+ l sin θ = qEl sin θ = PE sin θ
M = P×E
π 2 θ
A = W = ∫ PE sin θdθ = − PE cos θ = − P ⋅ E
（3）非均匀电场对偶极子的作用 ）
讨论 ②当有外电场存在时，还应考虑 当有外电场存在时，
各点电荷在外电场中的势能。 各点电荷在外电场中的势能。即
1 W = ∑ qiϕ i + ∑ qiϕ i 2 i i
③不包括各点电荷的固有能（自能）。 不包括各点电荷的固有能（自能）。
2．电偶极子在外场中的静电能 电场对电偶极子的作 ． 用
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∫
∞
r
q
R
q
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1 W = ∫ ρϕdV 2
ρ =
2
q 4 πR 3 3
3q = 8π R 3
3q = 2R 3
∫
q
R
0
ϕ 4π r dr
∫
R
0
3 r2 2 ( − 3 )r dr 8πε 0 R R
=
3q 2 16πε 0 R 3
∫
R
0
3 r2 2 ( − 3 )r dr R R
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（1）当 ）
P1
和
P2 沿连结它们的直线
P1 ⋅ P2 = P1 P2
ˆ P1 ⋅ e r 21 = P1
ˆ P2 ⋅ er 21 = P2
W21 = −
（2）当 P 和 P2 平行 ） 1
2 P1 P2 4πε 0 r21
3
< 0 相互吸引
P1 ⋅ P2 = P1 P2
E1 =
qr
4πε 0 R
3
ˆ er
(r < R)
ϕ (r ) = ∫ E ⋅ dr = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E 2 ⋅ dr
∞ R ∞
q ˆ E2 = e 2 r (r > R) 4πε 0 r
q
r
=∫
R
r
3 r2 dr + dr = ( − 3) 3 R 4πε r 2 8πε 0 R R 4πε 0 R 0
§1-7静电能 静电能
1．点电荷系的相互作用能 ．
（1）什么是静电能？ ）什么是静电能？
每个带电体的自能： 每个带电体的自能： 把带电体的每一小块无限远离时， 把带电体的每一小块无限远离时， 电场力作的功，反之外力作功。 电场力作的功，反之外力作功。
静电能（静电势能） 静电能（静电势能）
把各个带电体无限远离时电 场 各个带电体之间的互能： 各个带电体之间的互能： 力作的功，反之外力作功。 力作的功，反之外力作功。
ϕ1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ =
q
l
q
4πε 0 l
+
q
4πε 0 l
=
q
2πε 0 l
q
1 1 3q 2 W = ∑ qiϕ i = ⋅ 3qϕ = 2 2 4πε 0 l
r r
计算由N个一价正离子和 例1.7-2计算由 个一价正离子和 个一价负离子交错排列的一维点阵的 计算由 个一价正离子和N个一价负离子交错排列的一维点阵的 静电相互作用能，设相邻离子间距为r。 静电相互作用能，设相邻离子间距为 。
1 W = W21 = W12 = (W21 + W12 ) 2 1 1 W = ( q1ϕ12 + q2 ϕ 21 ) = （q1ϕ1 + q2 ϕ 2） 2 2 1 n (3)n个点电荷间的互能 W = ∑ q iϕ i 个点电荷间的互能 2 i =1
点电荷系的相互作用能等于各电荷所在处的电势与该点电荷电量乘积之 和的一半。 和的一半。 ①只适应孤立的点电荷系，对一个孤立点电荷无意义。 只适应孤立的点电荷系，对一个孤立点电荷无意义。
②积分遍及电荷存在区域 ③对带电体系而言，是总静电能即是互能和自能之和。对孤立带就是 对带电体系而言，是总静电能即是互能和自能之和。 自能
④自能恒为正，互能可正，可负。 自能恒为正，互能可正，可负。 吉林师范大学物理学院 电磁学多媒体课件 肖 利
4．例题 ．
个点电荷， 个顶点上， 例1.7-1 ，3个点电荷，电量均为 ，放在一等边三角形的 个顶点上，球 个点电荷 电量均为q，放在一等边三角形的3个顶点上 体系的相互作用能。三角形的边长是L 体系的相互作用能。三角形的边长是 q
W0 = e(ϕ 1 + ϕ −1 + ϕ 2 + ϕ − 2 + ϕ 3 + ϕ −3 + ……）
离子A 与所有其他离子的相互作用能: 离子 0与所有其他离子的相互作用能
2e 2 1 1 1 1 1 e2 W0 = − 1 − + − + − …… = − 2 ln 2) （ 4πε 0 r 2 3 4 5 6 4πε 0 r
(
)
= ϕ ( r ) + l ⋅ ∇ϕ
W = ql ⋅ ∇ ϕ = p ⋅ ∇ ϕ
ˆ = − p ⋅ E ( r ) = − pE cos θ
当 p 与 E 同向， = − pE 最 W 小 W 当 与 E 垂直， = 0 最大
p W 当p 与 E 反向， = pE
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(0)
W p = ∫ qE ⋅ dl = qϕ p
p
（2）两个点电荷 q1 , q2的互能 ） q1 q
2
A12 = W12 = q1ϕ12
q1 ∞← ⋅
⋅ →∞ A21 =W = q2ϕ21 21 q2 ⋅
1 A = A21 = A12 = ( A21 + A12 ) 2
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3q 2 = 20πε 0 R
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思考题： 思考题：P56 1.29 1.31 1.32
作业： P59 1-20 P104 2-27 作业：
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力的方向指向场强大的一侧
3．电荷连续分布的带电体的能量 ．
连续分布的体电荷： 连续分布的体电荷： 连续分布的面电荷： 连续分布的面电荷： 连续分布的线电荷：
1 W = ∫ ρϕdV 2 V 1 W = ∫ σϕ ds
1 W = ∫ ηϕ dl 2 l
2
s
讨论
是体元dV，面元dS 或线元dL所在处的电势 所在处的电势. ① φ 是体元 ，面元 或线元 所在处的电势
A− 3 A− 2 A−1 A0 A1 A2 A3
e e e e e e = e − 4πε r − 4πε r + 4πε ⋅ 2r + 4πε ⋅ 2r − 4πε ⋅ 3r − 4πε ⋅ 3r + …… 0 0 0 0 0 0
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