2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件：第一章 集合与常用逻辑用语 1.1

4 ． 设 － 5∈{x|x2 － ax－ 5 ＝ 0} ， 则 集 合 {x|x2 ＋ ax＋ 3 ＝ 0} ＝ ________.
解析：由题意知，－5 是方程 x2－ax－5＝0 的一个根， 所以(－5)2＋5a－5＝0，得 a＝－4， 则方程 x2＋ax＋3＝0， 即 x2－4x＋3＝0， 解得 x＝1 或 x＝3， 所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 答案：{1,3}
4.集合相等 只要构成两个集合的元__素__是___一__样__的_，我们就称这两个集合是相 等的．
第四页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题 的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确 集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或 一些物．
第十五页，编辑于星期日：点 分。
3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 解析：∵x－3<2，x∈N*， ∴x<5，x∈N*， ∴x＝1,2,3,4.故选 B. 答案：B
第十六页，编辑于星期日：点 分。
大于 10 且小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此， 用列举法表示为 B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．
找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同 特征．
第二十六页，编辑于星期日：点 分。
教材反思 本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点， 有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需 要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要 准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有 哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转 化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集， 则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚 集合中的元素．
第二十二页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素 在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构 成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的 关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即 可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元 素要符合哪种表达式或满足哪些条件．
第五页，编辑于星期日：点 分。
知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示 表示元集素合：：通通常常用用小大写写拉拉丁丁字字母母__Aa__，，____bB__，，____cC__，__，__…__…__表表示示..
第六页，编辑于星期日：点 分。
2．元素与集合的关系
关系
语言描述 记法
法称为_描__述__法___．
第十页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 1．列举法表示集合时的 4 个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法表示集合时的 3 个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或 几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母．
第十七页，编辑于星期日：点 分。
题型一 集合的概念[经典例题] 例 1 下列对象能构成集合的是( ) A.高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点
【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此 A，C 不能构成集合；B 中由于 sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D 满足集 合的三要素，因此选 D.
第二十七页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 3 用适当的方法表示下列集合： (1)方程组23xx－＋32yy＝＝184， 的解集； (2)由所有小于 13 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程 x2－2x＋1＝0 的实数根组成的集合； (4)二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象上所有的点组成的集合．
答案：D N 自然数集；Z 整数集；Q 有理数集；R 实数集．
第二十四页，编辑于星期日：点 分。
题型三 集合的表示[教材 P4 例题 2] 例 3 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程 x2－2＝0 的所有实数根组成的集合 A； .
第二十一页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 (1)12是实数， 2是无理数，|－3|＝3 是非负整数， |－ 3|＝ 3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)∵a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N，若 a＝0，则 4－a ＝4，此时 A＝{0,4}满足要求；若 a＝1，则 4－a＝3，此时 A＝{1,3} 满足要求；若 a＝2，则 4－a＝2，此时 A＝{2}不满足要求．故有且 只有 2 个元素的集合 A 有 2 个，故选 C. 【答案】 (1)C (2)C a 分类处理： ①a＝0，a＝1，a＝2； ②a＝3，a＝4 还讨论吗？
示例
a 属于集合 A a 不属于集合 A
a 是集合 A 中的元素 a 不是集合 A 中的元素
a_∈__A_ 若 A 表示由“世界四 大洋”组成的集合，则
_a_∉_A_ 太平洋∈A，长江∉A
第七页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明 1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一 个元素 a 与一个集合 A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结 果． 2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如 R∈0 是错误的．
第十三页，编辑于星期日：点 分。
[基础自测] 1．下列能构成集合的是( ) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析：A，B，D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案：C
第十四页，编辑于星期日：点 分。
2．下列各组中的两个集合 M 和 N，表示相等集合的是( ) A．M＝{π}，N＝{3.141 59} B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)} C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1} D．M＝{1， 3，π}，N＝{π，1，|－ 3|} 解析：选项 A 中两个集合的元素互不相等，选项 B 中两个集 合一个是数集，一个是点集，选项 C 中集合 M＝{0,1}，只有 D 是 正确的． 答案：D
{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}． (4)二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象上所有的点组成的集合中，
代表元素为有序实数对(x，y)，其中 x，y 满足 y＝x2＋2x－10，由于 点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
3．集合中元素的特征
特征
含义
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素
确定性 在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否
构成集合的标准
互异性
给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就 是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性 集合中的元素无先后顺序之分
第三页，编辑于星期日：点 分。
第八页，编辑于星期日：点 分。
3．数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作 N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N*或 N＋； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 R.
第十二页，编辑于星期日：点 分。
3．教材 P5 思考 用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然 语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法 和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地 列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易 看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不 等式 x－1>0 的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用 于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具 体元素．
第二十五页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 (1)设 x∈A，则 x 是一个实数，且 x2－2＝0.因此， 用描述法表示为 A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程 x2－2＝0 有两个实数根 2，－ 2，因此，用列举法表示 为 A＝{ 2，－ 2}．
(2)设 x∈B，则 x 是一个整数，即 x∈Z，且 10<x<20.因此，用 描述法表示为 B＝{x∈Z|10<x<20}．
【答案】 D 构成集合的元素具有确定性．
第十八页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确 的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
第十九页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 1 下列各项中，不可以组成集合的是( ) A．所有的正数 B．等于 2 的数 C.接近于 0 的数 D．不等于 0 的偶数 解析：由于接近于 0 的数没有一个确定的标准，因此 C 中的对 象不能构成集合．故选 C. 答案：C C 中元素不确定．
第二十页，编辑于星期日：点 分。
题型二 元素与集合的关系[经典例题] 例 2 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R；② 2∉Q；③|－3|∈N；④|－ 3|∈Q. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 (2)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N”，有且只有 2 个元素的集合 A 的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
第二十三页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 2 下列说法正确的是( )
A.0∉N
B. 2∈Q
C．π∉R
D. 4∈Z
解析：A.N 为自然数集，0 是自然数，故本选项错误；B. 2是 无理数，Q 是有理数集合， 2∉Q，故本选项错误；C.π 是实数，即 π∈R，故本选项错误；D. 4＝2,2 是正整数，则 4∈Z，故本选项 正确．故选 D.
第九页，编辑于星期日：点 分。
知识点三 集合的表示
1．列举法 把集合中的元素一__一__列__举__出来，并用大括号“{
}”括起来
表示集合的方法叫做_列__举__法___．
2．描述法
一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共__同__特__征__
P(x)的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方
第十一页，编辑于星期日：点 分。
[教材解难]
1．教材 P2 思考 例(3)到例(6)都能组成集合 例(3)中的元素为“每一个正方形” 例(4)中的元素为“到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点” 例(5)中的元素为“方程 x2－3x＋2＝0 的所有实数根” 例(6)中的元素为“地球上的四大洋” 2．教材 P3 思考 (1)能，大于等于 0 且小于等于 9 的 3 的倍数． (2)不能，不等式 x－7<3 的解集是 x<10，元素有无数个，列举 不完．
第一页，编辑于星期日：点 分。
最新课程标准： (1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． (2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号 语言刻画集合．
第二页，编辑于星期日：点 分。
知识点一 集合的概念
1．元素：一般地，我们把研__究__对__象__统称为元素．
2．集合：把一些元素组成的总__体__叫做集合．
第二十八页，编辑于星期日：点 分。
解析：(1)解方程组23xx－ ＋32yy＝ ＝18，4， 得xy＝＝4－，2， 故解集可用描
述法表示为x，y| xy＝ ＝4－，2
，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于 13 的既是奇数又是素数的自然数有 4 个，分别为
3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}． (3)方程 x2－2x＋1＝0 的实数根为 1，因此可用列举法表示为