2022年人教版《切线的判定与性质(导学案)》精品学案

第2课时切线的判定与性质
一、新课导入
1.导入课题:
情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）
2.学习目标:
（1）能推导切线的判定定理和性质定理.
（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.
3.学习重、难点：
重点：切线的判定定理与性质定理.
难点：切线的判定与性质的初步运用.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第97页的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.
（4）自学提纲：
①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？
l满足的条件是经过A点且垂直于OA .
l和⊙O的位置关系是相切，为什么？
②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .
③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.
④请总结一下判定切线共有哪几种方法？
a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.
b.切线的判定定理.
2.自学：学生参照自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.
4.强化：
（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.
（2）常见的辅助线作法及证法：
①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.
②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.
（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，
∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？
解：是.理由：
∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.
又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读、思考、归纳.
（4）自学提纲：
①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l
与半径OA有什么位置关系？
l⊥OA.
②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点l是⊙O的切线，l过A点，结论是l ⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.
③切线共有哪些性质？
a.切线与圆只有一个公共点.
b.圆心到切线的距离等于半径.
c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.
d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.
e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.
④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.
证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC 是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴⊥AC，∴AC是⊙O的切线.
2.自学：学生参照自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.
②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.
4.强化：
（1）
①与圆有唯一公共点
切线的性质②到圆心的距离等于圆的半径
③垂直于过切点的半径
.
.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.
证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有
哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激
发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列说法正确的是（B）
2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）
A.24°
B.25°8° D.30°
3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为89cm.
4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.
证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.
∴AP=BP（垂径定理）.
5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的
切线.
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.
又∵∠B=∠CAD.
∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.
∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.
二、综合应用（20分）
6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE 是⊙O的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.
证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.
∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.
又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.
∴∠E=90°.即DE⊥AC.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.
解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可
以测量出图形工件的直径.
角的平分线的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法、角平分线的性质1．
（二）能力训练要求
1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．
教学难点
角的平分线的性质1
教学方法
引导发现、讲练结合法．
教具准备
多媒体课件
教学过程
一．提出问题，创设情境
问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离？
导入新课，明确学习目标
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二．合作交流 探究新知
探究1
想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线
AC 的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．
[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全
等就可以了．
[生3]我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．
所以∠CAD=∠CAB ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
试一试：老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB ．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：
（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．
（2）分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数
学的兴趣）．
点拨：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1
2
MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结：
1．去掉“大于1
2
MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平
分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的
内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
探究2：
做一做1
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．
做一做2
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．
[生甲]噢，对，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？
证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）
说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．
学生通过讨论作出下列概括：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三、用一用:
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
巩固所学及时点拨
四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见
教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：
1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离
2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一
3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

两个垂线段，再加角平分线。

强调：学生还是更多的喜欢采用全等去解题，要试着让学生尽快接受新知识并用新知识去解题。