【试题】高三数学第一次模拟考试试题理新人教A版

【关键字】试题
黄冈中学高三第一次模拟考试
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1．纯虚数满足，则为
A．B．C．D．或
2．命题甲：或；命题乙：，则甲是乙的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件
3．已知双曲线的焦距为，焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为
A．B．
C．或D．或
4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是
A．36 B．C．24 D．20
5．已知，则的值为
A．B．C．D．
6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，
得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的
众数、中位数分别为
A．，
B．，
C．，
D．，
7．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为，若游客获奖的概率不超过，则方格边长最长为(单位：)
A．B．C．D．
8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是
A．B．C．D．
9．如图，是圆的直径，是圆上的点，，， ，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ． 10．已知定义在上的单调函数，对，都有，则方程的解所在的区间是 A ．（0，） B ．（） C ．（1，2） D ．（2，3）
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题分，共分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． （一）必考题（11 — 14题）
11．10
12x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式中,含4x 项的系数为 ． 12．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．
13．已知(0,)x y z ∈+∞、、，且2
2
2
1
ln ln ln 3
x y z ++=，则2x yz 的最大值为 ．
14．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，
用符号x 〈〉表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：
①1a a =〈〉；②11
(0)0(0)
n n
n n a a a a +⎧〈〉
≠⎪=⎨⎪=⎩
．
（Ⅰ）若a =时，数列{}n a 通项公式为 ；
（Ⅱ）当1
3
a
>时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）
已知抛物线C 的极坐标方程为2
sin 8cos 0ρθθ-=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与圆()2
224(0)x y r r -+=>相切，则r = ．
C
M
P
Q
D
M
第16题图
16．（几何证明选讲） 如图，过半径为4的
O 上的一点A 引半径为3的O '的切线，切点为B ，若O 与O '
内切于点M ，连结AM 与O '交于C 点，则AB AM
= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆中，角A
B C 、、的对边分别为a b c 、、，a
=
(1,1)m =-，
(cos cos ,sin sin 2
n B C B C =-
，且m n ⊥． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）当7sin cos(
)12
B C π
+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）
某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别
为
23和1
3
，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，
2PA PD AD ===．
（Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．
20．（本小题满分12分） 数列
{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11
122
333
n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．
（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得
1331m n m n S m S m +-<-+ 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分13分）
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与抛物线2
4y x =中两段曲线弧合成，
12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，25
2
AF =．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则
[][]22
1
1
()()()()()b
t t a t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕ
ϕϕ'==
⎰
⎰⎰（其中12()()a t b t ϕϕ==、
）． 如
2
222
1cos 2(sin )cos (sin )cos 2
t
t t t dt tdt dt ππ
π+'====⎰
⎰⎰⎰． 阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．
（Ⅲ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、
、、四点，P 和P '分别为NG MH 、的中点，问
2
2
MH PF NG P F ⋅
'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
22．（本小题满分14分）
设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）证明：对12,(0,)x x ∀∈+∞，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；
（Ⅲ）若
21
1n
i
i x
==∑，证明：21
ln ln 2n
n i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．
数学（理）试卷答案 BBCD ABAC AC
11答案：15- 12答案：5 13答案：
14答案：（1）1n a =；
（21-或12
- 15 16答案：1
2
1答案：B
解析：设()z bi b R =∈9b =∴=，则z =．
2答案：B
解析：甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；
乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，
则5x y +=” 此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题． 3答案：C
解析：由题易知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．
4答案：D
解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有3
2
2
32224A A A =，然后减去0在首位的情况，
有2
2
22
4A A =，故32222
3222220A A A A A -=．
5答案：A
解析：由cos()63
π
α
+=
得，1cos(2)33πα+=-， 所以1
sin(2)sin(2)cos(2)63233
ππππααα-=+-=-+=． 6答案：B
解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.5
2.252
+= 中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，
由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.01
20.5 2.020.25
+⨯=． 7答案：A
解析：设方格边长为x ，则221
()39
x x x -≤⇒≤． 8答案：C
解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233
V πππ=⨯+⨯=． 9答案：A
解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++
设
1OA =，建立如图所示坐标系，则1
(,12CD =-+(1,0)OA =-，1(,22OC =，故3
x y +=-
10答案：C
解析：由题2()log f x x C -=（C 为常数），则
()f x 故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，
记21
()()()2log ln 2
g x f x f x x x '=
--=-
在(0,)+∞上为增函数 且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2
g g -=-
<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 11答案：15-
12答案：5
解析：由题意，得：
5,016,18,2n k n k n k ==⇒==⇒==
4,32,41,5n k n k n k ⇒==⇒==⇒==⇒终止
当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 13答案：解析：22
2
2
2
2
2
(ln ln ln )[2(1)(1)](2ln ln ln )x y z x y z +++-+-≥--
14答案：（1）1n
a =-；（21-或
1
2
解析：（Ⅰ）若a =
时，11a ==,则21a ===． （Ⅱ）当13
a
>时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1
(1,3)a ∈．
①当
1(1,2)a ∈时，211a a a
1
=〈〉=-
，故11a a a -=⇒=
a =舍去） ②当
1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-
，故21a a a
1
-=⇒=
（1a =舍去）
综上，1a =-
或
1
2
- 15
解析：将2
sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即2
8y x =，得(2,0)F
16答案：
12
解析：作两圆的公切线MDE ，连结AO ，CO '，则2
AB AC AM =
所以222AB AM AC AC AM AM AM
==
由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠，2CO M EMA '∠=∠， 则AOM CO M '∠=∠,AO CO ',
所以
43
4
AC OO AM AO '
-==
，即12AB AM ==. 17答案：（
1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 02
B C B C -
+-
= 即()cos 2
B C +=-
，因为A B C π++=，所以cos()cos B C A
+=- 所以 cos 24
A A π
==． 4分 （2）由3,4
4
A C
B π
π
=
=
-
，
故73sin cos()sin cos()sin )12626
B C B B B B B πππ+-=+-==+ 由3
(0,
)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3
B π
=． 8分 由正弦定理，2sin sin
a b
A B
==，得
b =
故
13sin sin()22434
ab C ππ=+=． 12分
E
ξ
2 4 6
P
59 2081
16
81
18答案：（Ⅰ）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，
则所求概率为12
12114
333381
P C =⋅⋅⋅=. 4分 （Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. 则22215(2)()()339P ξ==+=，12122212212120(4)()()33333381
P C C ξ==+=
1
22
1216
(6)()3381
P C ξ=== 故ξ的分布列为
10分
则52016266
2469818181
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
12分 19解：（I ）当1
3
t =时，//PA 平面MQB
证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ． 由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴==，所以1
3
AN AC =． 若13t =
，即13PM AN
PC AC
==， //PA MN ∴ 由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ． 4分 （II ）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，连BD ，
∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD 为正三角形，
又∵Q 为AD 中点， ∴AD⊥BQ 8分 以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为
,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A （1，0，0），
B （3,0），Q （0，0，0），P （0，03）
设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，
可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪
⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n = 取平面ABCD 的法向量()
3,0,0=QP ，设所求二面角为θ，
则2
1
|
|||cos =
=
n QP θ 故二面角M BQ C --的大小为60°． 12分 20解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，11121(1)33
n n n a a --+=++ 两边同时乘以13n -得，1
213
(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+
故{}n b 是公差为2的等差数列．
又0
1322b =⨯=， 所以22(1)2n b n n =+-=． 6分 方法2：2n ≥时，12
113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333
n n n a a --=
+- 整理得12n 1111
121
3()3(1)23
33
n n n n n n b b a a -------=+
+-+=，故{}n b 是公差为2的等差数列． (Ⅱ)由(Ⅰ)得，1
3(1)2n n n b a n -=+=，故1123
n n a n -+=，
所以12(1)
133(1)1313
n n n S -==-- 8分 则111111
323331111(3)313333
n n n n n
n n n m S m S m m m m --+---
-==-=-------- 因为131
13131m n m m
n S m S m +-<=--++，得21(3)3131n m m >--+ *(3)310,1,2n m m N m -->∈∴=
当1m =时，
2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110
n
n >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)． 12分 21解答：（Ⅰ）由2
4y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=
，故记3
(2
A 又1(1,0)F -，所以1275
2622
a AF AF =+=+=，故椭圆为
22198x y +=． 3分 （Ⅱ）由
22198x y +=
知，y =3sin ()26x t t ππ
=-≤≤
1S ==
62
(3sin )t ππ
-
=
⎰2
62
cos tdt π
π-
=
62
(1cos2)t dt π
π-+
6
2
1
sin2)|
24
x x
π
π
-
=+=+；
33
22
20
4
()|
3
S x
===
根据对称性，“盾圆C
”的面积为
12
2()
2
S S
-=-． 7分
（Ⅲ）设过
2
F的直线为1(0)
x my m
=+≠，
(,)(,)(,)(,)
M M N N G G H H
M x y N x y G x y H x y
、、、
联立22
1
1
98
x my
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，得22
(89)16640
m y my
++-=，则
2
2
16
89
64
89
M H
M H
m
y y
m
y y
m
-
⎧
+=
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
联立
2
1
4
x my
y x
=+
⎧
⎨
=
⎩
，得2440
y my
--=，则
4
4
N G
N G
y y m
y y
+=
⎧
⎨
=-
⎩
由M N G H P P'
、、、、、共线，所以2
2
2
2
N G
M H
M H
N G
y y
MH PF y y
y y
NG P F y y
+
-
⋅=⋅
+
'-
代入韦达定理整理得，2
2
2
4
3
16
89
MH PF m
m
NG P F
m
⋅=⋅=
'
+
故2
2
MH PF
NG P F
⋅
'
为定值3． 13分22答案：（Ⅰ）1
a=时，()ln(1)ln(1)
f x x x x x
=+--，(01
x
<<)，
则()ln ln(1)ln
1
x
f x x x
x
'=--=
-
．令()0
f x
'=，得
1
2
x=．
当
1
2
x
<<时，()0
f x
'<，()
f x在
1
(0,)
2
是减函数，
当
1
1
2
x
<<时，()0
f x
'>，()
f x在
1
(,1)
2
是增函数，
所以()
f x在
1
2
x=时取得最小值，即
11
()ln
22
f=．（4分）
（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln x
f x x a x a x
'=--=-． 所以当2
a x =
时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +
，不妨设12x x a +=，则 121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22
x x x x
x x x x x x a x a x +++=+--≥⋅
[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． （8分） （Ⅲ）（证法一）数学归纳法
ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．
ⅱ）假设当n k =( k ∈N *
)时命题成立， 即若1221k x x x ++
+=，则112222ln ln ln ln 2k k k x x x x x x ++
+≥-．
当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．
设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++
++，
由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-
=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--+++
+++-．
由假设可得 1
()ln 2ln 2ln 2
k
k F x +≥--=-，命题成立．
所以当 1n k =+时命题成立．
由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *
，命题都成立， 所以 若
21
1n
i
i x
==∑，则 21
ln ln 2n
n i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． （13分）
（证法二）若1221n x x x ++
+=，
那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x ++
+
1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-
1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=+++
+++-
12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-
121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥
≥+++++
+---ln 2n =-． （14分）
此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。