概率统计教学改革中两类随机变量的类比教学_马生昀

引言 一、
从而推出 类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似， 它们在其他方面也可能相同或相似， 类比法是数学教学中的重要的 教学方法， 数学中的许多定理、 公式和法则都是通过类比得到的， 借 助于类比方法， 可以达到启发思路的目的。 在离散型和连续型随机变量的一系列概念及其计算公式之间 就具有一定的相似性， 下文主要阐述这些相似。通过这种相似性的 比较， 能够使学生更自然地理解和记忆相关的知识点和自如地进行 计算。
ｎ
０ λ １ ｉ＝
离散型与连续型随机变量概率的刻画 二、
所以 由于离散型随机变量的可能取值个数为有限个或可数个， 离散型随机变量的概率分布可以写成概率分布律形式， 即： ， ， …， ， …。 ２ Ｐ｛ Ｘ ＝ｘ ｋ ＝１ ｎ ＝ｐ ｋ｝ ｋ， 对于连续型随机变量， 由于随机变量的可能取值为不可数个， 可以通过下面的方式引入相应的概率刻画方式。
ｎ ｉ ｎ ｉ ｎ ｉ ｉ
Ｘ ∈Ｉ ｝ ｘ） ｘ。 ＝ ∑ｐ ＝ ∑ｆ（ Δ ∑Ｐ｛
１ ｉ＝ １ ｉ＝ １ ｉ＝
如图１所示， 从几何意义可以看出， ｉ个小区间内的 ｉ 相当于第 ｐ ， 高为 ｆ（ 从图 该矩形的底为区间长度 Δ 阴影部分的矩形面积， ｘ ｘ ｉ， ｉ） ） 。 ｘ ｘ １中看即相应矩形的右上顶点的坐标为（ ｉ， ｉ） ｆ（ 就可以得到平面上的 ｎ 个点 （ 对ｎ 个小区间都这样处理， ｘ １， ） ， （ ） ， …， （ ） ，用一条光滑的曲线连接这些点 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ １） ２， ２） ｎ， ｎ） ｆ（ ｆ（ ｆ（ 就可以得到一条光滑的曲线。 如果把区间划分得越细致， 则所得光滑 ， ， ］ 。 曲线越精确。 令这条光滑曲线方程为ｆ（ ｘ） ｘ∈ ［ ａ ｂ …， ， 则ｎ 相当于划分的 令λ＝ ｍ ａ ｘ｛ ｘ ｘ ｘ ０时， Δ Δ Δ λ ∞， １， ２， ｎ｝ 更加细致， 此时： ６ 期 （ ４ 卷 总第 ６ ６期）
Ｎ ｏ ． ６ ２ ０ １ ２（ Ｖ ｏ ｌ ． １ ４ Ｓ ｕ ｍ Ｎ ｏ ． ６ ６）
概率统计教学改革中两类随机变量的类比教学
● 马生昀
） （ 内蒙古农业大学 理学院 ， 内蒙古 呼和浩特 ０ １ ０ ０ １ ８
＊
摘 要： 概率统计课程是大学阶段多个学科的重要公共必修课 ， 离散型与连续型随机变量的相关概念及计 算 是 概 率 统 计 课程的重要内容 。 本文主要讨论离散型与连续型随机变量之 间 的 相 似 性 ， 以便于更加有效的理解相关概念的实际意义 和掌握相应的计算公式 。 关键词 ： 概率统计 ； 教学改革 ； 类比教学 ； 随机变量 ； 离散型 ； 连续型 ： ／ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９－４ ４ ５ ８． ２ ０ １ ２． ０ ６． ０ ４ ７ Ｄ Ｏ Ｉ １ ０． ３ ９ ６ ９ ｊ （ ） 中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２． ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ９－４ ４ ５ ８ ２ ０ １ ２ ０ ６－０ １ １ ９－０ ２
内蒙古农业大学学报 （ 社会科学版 ）
（ ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ Ｍ ｏ ｎ ｏ ｌ ｉ ａ Ａ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ ｇ ｙ
， ］ …， ， 区间分割成ｎ个小区间， 分点为ａ＝ｘ 把［ 数， ａ ｂ ｘ ｘ ｘ ｂ ０， １， ２， ｎ＝ （ 。 为Ｉ 区间长度为Δ 如图１所示） 记第 ｉ个小区间［ ｘ ｘ ｘ １， ｉ ｉ］ ｉ， ｉ ＝ｘ ｉ－ － 。 ， …， ｘ ｉ＝１ ｎ ． ２ １， ｉ － ， ， …， 。 。 设Ｐ｛ 按照概率的非负性， 则ｐ ２ Ｘ ∈Ｉ ｉ＝１ ｎ ＝ｐ ｉ｝ ｉ， ｉ ０ ， （ ｝＝ 所以存在数ｆ（ 使得 ｐ 则 Ｐ｛ ｘ ｘ ａ Ｘ ｂ ｘ Δ ｉ） ｉ ＝ｆ ｉ） ｉ。 ０
内蒙古农业大学学报 （ 社会科学版 ） 第１ ０ １ ２ 年第 ６ 期 （ ４ 卷 总第 ６ ６期） ２
连续型随机变量的定义为： 设 Ｘ 为随机变量， 若存在非负可积函 （ ） ， ， ｝ ） 使得对任意ａ 有Ｐ｛ 则称Ｘ 为 数ｆ ｘ ｂ∈Ｒ， ａＸ ｂ ｘ ｄ ｘ， ＝ ｆ（
∞ ∞ ０ λ １ ｉ ＝
图１ 连续型随机变量区间分割图
ｉ ｍ∑Ｐ｛ ｉ ｍ∑ｐ Ｐ｛ Ｘ ∈Ｉ ＝ｌ － ∞ Ｘ ＋ ∞｝ ＝ｌ ｉ｝ ｉ
０ λ １ ｉ ＝ ∞
， ］ 假设要刻画连续型随机变量的可能取值点落在［ 区间的概 ａ ｂ ［ ， ］ 率， 区间内的实数为不可数个。 想把这不可数个数看成有限个 ａ ｂ
ｎ
０ λ １ ｉ＝
ｎ
０ λ １ ｉ＝
ｉ ｍ∑ｐ ｉ ｍ∑ｆ（ ｉ ｍ∑Ｐ｛ Ｘ ∈Ｉ ｘ ｘ ＝ｌ ＝ｌ Δ ｉ｝ ｉ ＝ｌ ｉ） ｉ。 由定积分的定义可知：
ｎ
０ λ ｉ＝ １
ｂ
｝ ｉ ｍ∑ｆ（ Ｐ｛ ａ Ｘ ｂ ｘ ｘ） ｄ ｘ。 ｘ ＝ｌ Δ ｉ） ｉ ＝ ｆ（
∫
ａ
如果要求解连续型随机变量的取值落在无穷区间的概率， 比如 ［ ， 同理需要将区间［ 划分成可数个小区间， 同 － ∞， ＋ ∞］ － ∞， ＋ ∞］ ， 样可以构造出一条光滑曲线， 曲线方程记为ｆ（ 则有： ｘ） ｘ ∈ Ｒ。
ｂ
∫
ａ
（ ） 连续型随机变量， 为随机变量的概率密度函数。 ｘ ｆ
ｉ ｍ∑ｆ（ ｘ ｘ ＝ｌ Δ ｉ） ｉ ＝
０ λ １ ｉ ＝
ｘ） ｄ ｘ。 ∫ ｆ（
－∞
＋∞
２ ０ １ ２－０ ２－２ ５ ＊ 收稿日期 ： ， 马生昀 （ 男， 内蒙古乌兰浩特市人 ， 内蒙古农业大学理学院 ， 讲师 ， 研究方向 ： 数学公共基础课程教学 。 １ ９ ７ ８－ ） 作者简介 ：