2015届高考苏教版数学大一轮复习配套课件：第10章 第1节 空间向量及其运算和空间位置关系

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第十九页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
[类题通法] 1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共 面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线， 否则不一定正确．
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第二十页，编辑于星期五：十点 三十二分。
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第五页间位置关系 结束
[试一试]
1．有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量 的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为
空间四点，且向量OA，OB，OC 不构成空间的一个基底，
那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的 一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其 中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)． 解析：对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向 量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错
误．②③正确．答案：②③
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第六页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
2．在下列命题中： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定 不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； ④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一 个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是________．
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第七页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正 确；据空间向量的意义知，a，b所在直线异面，则a，b必 共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但 它们却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面 时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正 确．综上可知四个命题中正确的个数为0. 答案：0
即 MA＝ BM ＋CM ＝－ MB－ MC ∴ MA， MB， MC 共面．
(2)由(1)知 MA， MC ， MC 共面，
且共过同一点M，∴四点M，A，B，C共面．从而点M在平面
ABC内．
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第二十一页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
＝0，所以 |
A1
M
⊥
DN
，故异面直线A1M与DN所
成角的大小为90°.
答案：90°
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第十四页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
1．在四面体O-ABC中，OA＝a，OB＝b，OC ＝c，D为
BC的中点，E为AD的中点，则OE ＝________(用a，
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第八页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两
点，则称 AB为直线l的方向向量，与 AB平行的任意非零向量也是
直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系
1．空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相____平行 (平行向量) _或___重__合__ 共面向量 平行于 同一平面 的向量
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第一页，编辑于星期五：十点 三十二分。
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第十二页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
3．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1 的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________．
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第十三页，编辑于星期五：十点 三十二分。
(1)化简 A1O －12 AB－12 AD ＝________； (2)用 AB， AD ， AA1 表示OC1 ，则OC1 ＝________. 解析：① A1O－12 AB－12 AD＝ A1O －12( AB＋ AD)＝ A1O －
AO＝ A1O＋ AO＝ A1 A. ②OC ＝12 AC ＝12( AB＋ AD)，
∴ PA⊥ AB， PA⊥ AC ， 即 PA·AB＝x＋y－1＝0， PA·AC ＝2x＋y＝0， ∴x＝－1，y＝2，故P点的坐标是(－1,0,2)． 答案：(－1,0,2)
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第十一页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
2．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b与a－b的夹角是________． 解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b与a－b的夹角为90°. 答案：90°
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
[证明] (1)建立如图所示的空间直角 坐标系，则点 O(1,1,0)，D1(0,0， 2)，
∴OD1 ＝(－1，－1， 2)． 又点 B(2,2,0)，M(1,1， 2)， ∴ BM ＝(－1，－1， 2)， ∴OD1 ＝ BM .又∵OD1 与 BM 不共线， ∴OD1∥BM.
线向量2．，建n为立平空面间α直的角法向坐量标，系则的求原法则向：量的方程组为nn··ab＝ ＝00，. (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．
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第九页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
(1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. [证明] (1)连结BG， 则 EG ＝ EB＋BG ＝ EB＋12(BC ＋BD)
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第十八页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
＝ EB＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH ， 由共面向量定理知： E，F，G，H四点共面． (2)因为 EH ＝ AH － AE ＝12 AD－12 AB＝12( AD－ AB)＝12BD， 因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.
[典例] (2014·汕头模拟)如图所示的长方体 ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的 正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝ 2，M是 线段B1D1的中点．
(1)求证：BM∥平面D1AC； (2)求证：D1O⊥平面AB1C；
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第二十二页，编辑于星期五：十点 三十二分。
＝－23 DD1 ＋12( DA＋ DC )
＝12 AB－12 AD－23 AA1 ，
由条件知，x＝12，y＝－12，z＝－23.
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第十七页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
[典例] 已知E，F，G，H分别是空间四边 形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向 量方法，求证：
3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法： 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量 共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模 来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异 面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两 种角的范围不同，最后应进行转化．
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a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
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第三页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
数量积
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a∥b⇒ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R，b≠0)
∴OC1 ＝OC ＋CC1 ＝12( AB＋ AD)＋ AA1 ＝12 AB＋12 AD＋
AA1 .
答案：(1) A1 A
1 (2)2
AB＋12 AD＋ AA1
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第十六页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
2题中条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点， 且 DE ＝23 DD1 ，若 EO ＝x AB＋y AD＋z AA1 .试求 x，y，z的值. 解： EO ＝ ED＋ DO
空间向量 基本定理
向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使OP
＝xOA＋yOB＋zOC 且x＋y＋z＝1
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第二页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
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[针对训练] 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若 点M满足OM ＝13(OA＋OB＋OC )． (1)判断 MA， MB， MC 三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解：(1)由OA＋OB＋OC ＝3OM ，
∴OA－OM ＝(OM －OB)＋(OM －OC )
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
语言描述
共线向 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使 量定理 a＝λb
共面向
量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存 在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ xa＋yb 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一
2．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
②a⊥b⇔ a·b＝0 (a，b为非零向量)；
③|a|2＝ a2，|a|＝ x2＋y2＋z2. (2)向量的坐标运算：
向量和
向量差
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
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第十页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
[练一练] 1．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，
(2,1,1)，点P的坐标是(x,0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的 坐标是________． 解析： PA＝(－x,1，－y)， AB＝(－1，－1，－1)， AC ＝ (2,0,1)，∵PA⊥平面ABC，
b，c表示)．
解析：OE
＝12(OD＋OA)＝1212
OC
＋ OB ＋OA
＝12a＋14b＋14c. 答案：12a＋14b＋14c
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第十五页，编辑于星期五：十点 三十二分。
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2. 如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，O为AC的中点．
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0，1)，M0，12，0，N0，1，12，则 A1M ＝
－1，12，－1， DN ＝0，1，12，所以cos〈 A1M ， DN 〉＝
|
A1 M A1 M
·DN |·| DN
垂直
a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角
公式
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a32 b21＋b22＋b23
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第四页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第一节 空间向量及其运算和空间位置关系 结束
1．共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． 3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向 量，不要误为是共面向量．