第15讲 板块模型和传送带模型(拔高)

第15讲滑块—木板模型和传送带模型
【教学目标】1．能够正确运用牛顿运动定律处理滑块—木板模型；
2．会对传送带上的物体进行受力分析，能正确解答传送带上的物体的运动问题．【重、难点】以上两个模型都是重难点
考点一滑块—木板模型
1．模型概述
一个物体在另一个物体表面上发生相对滑动，两者之间有相对运动，可能发生同向相对滑动或反向相对滑动．板块问题一般都涉及到受力分析、运动分析、临界问题、摩擦力的突变问题等，并且会涉及两物体的运动时间、速度、加速度、位移等各量的关系．在解决板块问题时基本上都会用到整体法和隔离法．
2．三个基本关系
（一）为保持相对静止或相对滑动，求最大外力或最小外力．（已知内力求外力）
解题方法：往往求临界情况，即刚好没滑动（相对静止）时的外力．
此时隐含两个条件：①静摩擦力为
f m；②a相同．
例1、如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为（）
A．μmg B．2μmg
C．3μmg D．4μmg
（二）给定外力，判断是否相对滑动（已知外力求内力）
例2、如图所示，质量为m 1的足够长的木板静止在水平面上，其上放一质量为m 2的物块．物块与木板的接触面是光滑的．从t ＝0时刻起，给物块施加一水平恒力F ．分别用a 1、a 2和v 1、v 2表示木板、物块的加速度和速度大小，下列图象符合运动情况的是（ ）
例3、如图所示，水平桌面上质量为m 的物块放在质量为2m 的长木板的左端，物块和木板间的动摩擦因数为μ，木板和桌面间的动摩擦因数为1
4μ，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．开始
时物块和木板均静止，若在物块上施加一个水平向右的恒力F ，已知重力加速度为g ，下列说法正确的是（ ）
A ．当F >μmg 时，物块和木板一定发生相对滑动
B ．当F ＝μmg 时，物块的加速度大小为1
12μg
C ．当F ＝2μmg 时，木板的加速度大小为1
6μg
D ．不管力F 多大，木板的加速度始终为0
（三）开始两物体不共速，那必然相对滑动，但一段时间之后可能共速（需分析） （1）如果会滑离，则找两者的位移关系 （2）如果不会滑离，两者一定会先共速，此后
①系统无外力，则一起匀速；②系统有外力，则按照（二）的方法判断是否相对滑动． 例4、如图所示，长为L ＝2m 、质量为M ＝8kg 的木板，放在水平地面上，木板向右运动的速度v 0＝6m/s 时，在木板前端轻放一个大小不计，质量为m ＝2kg 的小物块．木板与地面、物块与木板间的动摩擦因数均为μ＝0.2，g ＝10 m/s 2.求：
（1）物块及木板的加速度大小；（2）物块滑离木板时的速度大小．
例5、如图所示，质量M =2kg 足够长的木板静止在水平地面上，另一个质量m =1kg 的小滑块以v 0＝6m/s 的初速度滑上木板的左端．已知滑块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.5，木板与地面的动摩擦因数μ2=0.1，g 取l0m/s 2．求：
（1）求小滑块自滑上木板到相对木板处于静止的过程中，小滑块相对地面的位移大小； （2）求木板相对地面运动位移的最大值；
（3）为使小滑块不能离开木板，则木板的长度至少多长．
例6、如图所示，一质量为M 的木板，在粗糙地面上自由滑行，当速度变为v 0=5m/s 时，将一质量为m 的小滑块（视为质点）轻放在木板的右端，已知M =m ，小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ1＝0.1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.15，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10m/s 2． 求：（1）为使小滑块不从木板上掉下来，木板的长度至少多大； （2）在满足（1）的条件下，物块最终将停在距木板右端多远处．
变式1、如图所示，质量为m=5kg的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=5kg 的物块A．木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2．现用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s，撤去拉力．设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2．求：
（1）拉力撤去时，木板的速度大小；
（2）要使物块不从木板上掉下，木板的长度至少多大；
（3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在距板右端多远处．
求解“滑块—木板”类问题的方法技巧
1．搞清各物体初始状态相对地面的运动和物体间的相对运动（或相对运动趋势），根据相对运动（或相对运动趋势）情况，确定物体间的摩擦力方向．
2．正确地对各物体进行受力分析，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况．
考点二传送带问题
1．传送带的基本类型
一个物体以初速度v0（v0≥0）在另一个匀速运动的物体上运动的力学系统可看成传送带模型．传送带模型按放置方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，如图所示．
2．传送带问题的动力学分析
（1）水平传送带
一直加速
先加速后匀速
v
v
v
v
传送带长度
到达左端
传送带长度
先减速再向右加速，到达右端速度为
传送带长度
先减速再向右加速，最后匀速，到达右端速度为
（2）倾斜传送带
先以加速度
先以加速度
以加速度
（一）水平传送带
例7、如图所示，物块m在传送带上向右运动，两者保持相对静止．则下列关于m所受摩擦力的说法中正确的是（）
A．皮带传送速度越大，m受到的摩擦力越大
B．皮带传送的加速度越大，m受到的摩擦力越大
C．皮带速度恒定，m质量越大，所受摩擦力越大
D．无论皮带做何种运动，m都一定受摩擦力作用
例8、（多选）如图所示，传送带的水平部分长为L，传动速率为v，在其左端无初速度释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间可能是（）
A．
L
v＋
v
2μg B．
L
v C．
2L
μg D．
2L
v
变式2、（多选）如图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，用于对旅客的行李进行安全检查．其传送装置可简化为如图乙模型，紧绷的传送带始终保持v＝1m/s的恒定速率运行．旅客把行李（可视为质点）无初速度地放在A处，设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离为2 m，g取10m/s2．若乘客把行李放到传送带的同时也以v＝1m/s的恒定速率平行于传送带运动到B处取行李，则（）
A．乘客与行李同时到达B处
B．乘客提前0.5s到达B处
C．行李提前0.5s到达B处
D．若传送带速度足够大，行李最快也要2s才能到达B处
例9、如图所示，A、B为水平传送带的两端，质量为m＝4 kg的物体，静止放在传送带的A端，并在与水平方向成37°角的力F＝20 N的力作用下，沿传送带向B端运动，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则：
（1）当传送带静止时，物体从A到B的运动时间8 s，求A、B间的距离；
（2）当传送带以7.5m/s的速度顺时针转动时，求物体从A到B运动的时间．（计算结果可保留根式）
例10、如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行．现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹．下列说法中正确的是（）
A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧
B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短
C．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短
D．木炭包与传送带间的动摩擦因数越大，径迹的长度越短
（二）倾斜传送带
例11、如图所示，传送带与水平地面的夹角为θ＝37°，A、B两端相距L=64m，传送带以v＝20m/s 的速度沿逆时针方向转动，在传送带上端A点无初速度地放上一个质量为m＝8kg的物体（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2）求：（1）物体从A点运动到B点所用的时间；（2）物体在传送带上留下的划痕长度．
物体沿着倾斜的传送带向下加速运动到与传送带速度相等时，若μ≥tanθ，物体随传送带一起匀速运动；若μ<tanθ，物体将以较小的加速度a＝g sinθ－μg cosθ继续加速运动．
变式3、（多选）三角形传送带以1m/s的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2m，且与水平方向的夹角均为θ=37°．现有两小物块A、B从传送带顶端都以1m/s的初速度沿传送带下滑，物块与传送带间的动摩擦因数均为0.5（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．下列说法正确的是（）
A．物块A先到达传送带底端
B．物块A、B同时到达传送带底端
C．物块A、B运动的加速度大小不同
D．物块A、B在传送带上的划痕长度不相同
变式4、如图所示，传送带与水平地面的夹角θ＝37°，A、B两端相距L=12m，质量为m＝1kg的物体以v0＝14m/s的速度沿AB方向从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.5，传送带顺时针转动的速度v＝4m/s，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：物体从A点到达B点所需的时间．
【能力展示】
【小试牛刀】
1．（多选）如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度顺时针传动．将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、s、F表示物体的速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小．下列选项正确的是（）
2．如图所示，足够长的传送带与水平面间夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ<tan θ，则下图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是（）
3．（多选）如图所示，水平传送带A、B两端点相距s＝3.5m，以v0＝2m/s的速度（始终保持不变）顺时针运转，今将一小煤块（可视为质点）无初速度地轻放在A端，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数为0.4．由于小煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕，小煤块从A运动到B 的过程中（g取10 m/s2）（）
A．所用的时间是2 s B．所用的时间是2.25 s
C．划痕长度是3 m D．划痕长度是0.5 m
4．（多选）如图所示，在山体下的水平地面上有一静止长木板，某次山体滑坡，有石块从山坡上滑下后，恰好以速度v1滑上长木板，石块与长木板、长木板与水平地面之间都存在摩擦。

设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力的大小，且石块始终未滑出长木板。

下面给出了石块在长木板上滑行的v-t 图象，其中可能正确的是（）
5．（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间动摩擦因数为1
3μ，已知最大静摩擦力与
滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力F ，则木板加速度大小a 可能是（ ）
A ．a ＝μg
B ．a ＝2
3μg
C ．a ＝13μg
D ．a ＝F 2m －1
3
μg
6．（多选）如图所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v 0沿逆时针方向运行．t ＝0时，将质量m ＝1 kg 的小物块（可视为质点）轻放在传送带上，物块速度随时间变化的图象如图所示．设沿传送带向下为正方向，重力加速度g 取10 m/s 2．则（ ）
A ．摩擦力的方向始终沿传送带向下
B ．1～2 s 内，物块的加速度为2 m/s 2
C ．传送带的倾角θ＝37°
D ．物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5
7．如图所示，完全相同的磁铁A 、B 分别位于铁质车厢竖直面和水平面上，A 、B 与车厢间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小车静止时，A 恰好不下滑，现使小车加速运动，为保证A 、B 无滑动，则（ ）
A ．加速度可能向右，大小小于μg
B ．加速度一定向右，大小不能超过（1＋μ）g
C ．加速度一定向左，大小不能超过μg
D ．加速度一定向左，大小不能超过（1＋μ）g
【大显身手】
8．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块．假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt （k 是常数），木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2．下列反映a 1和a 2变化的图线中正确的是（ ）
9．如图所示，质量为M =2.5kg 的一只长方体形空铁箱在水平拉力F 作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数为μ1＝0.3．这时铁箱内有一个质量为m =0.5kg 的木块（可视为质点）恰好能静止在后壁上．木块与铁箱内壁间的动摩擦因数均为μ2＝0.25．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10m/s 2．求： （1）水平拉力F 的大小；
（2）减小拉力F ，经过一段时间，木块沿铁箱左侧壁落到底部且不反弹，之后某时刻当铁箱的速度为v ＝6m/s 时撤去拉力，又经1s 时间木块从左侧到达右侧，则铁箱的长度是多少？
10．如图所示，两个滑块A和B的质量分别为m A＝1kg和m B＝5kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1＝0.5；木板的质量为m＝4kg，与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1．某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0＝3m/s．A、B相遇时，A与木板恰好相对静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2．求：
（1）B与木板相对静止时，木板的速度；（2）A、B开始运动时，两者之间的距离．
11．如图所示，一水平的足够长的传送带与平板紧靠在一起，且上表面在同一水平面。

传送带上左端放置一质量为m＝1kg的煤块（视为质点），煤块与传送带及煤块与平板上表面之间的动摩擦因数均为μ1＝0.1．初始时，传送带与煤块及平板都是静止的。

现让传送带以恒定的水平向右的加速度a ＝3m/s2开始运动，当其速度达到v＝1.5m/s后，便以此速度做匀速运动。

经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，随后，在平稳滑上右端平板上的同时，在平板右侧施加一个水平恒力F＝17N，F作用了0.5 s时煤块与平板速度恰相等，此时刻撤去F．最终煤块没有从平板上滑下，已知平板质量M＝4 kg，重力加速度为g＝10 m/s2，问：
（1）传送带上黑色痕迹的长度；
（2）有F作用期间平板的加速度大小；
（3）平板上表面至少多长？（计算结果保留两位有效数字）
第15讲 板块模型和传送带模型
答案
例1、C 例2、D 例3、B 例4、（1）2 m/s 2 3 m/s 2 （2）0.8 m/s 例5、（1）3.5m （2）1m （3）3m 例6、（1）2.5m （2）2.25m 变式1、（1）4m/s （2）1.2m （3）0.48m 例7、B 例8、ACD 变式2、BD 例9、（1）16 m （2）s )14274( 例10、D 例11、（1）4 s （2）20m 变式3、BD 变式4、 2s 【能力展示】
1．AB 2．D 3．AD 4．BD 5．CD 6．BCD 7．D 8．A 9．（1）129N （2）0.3m
10．[答案]（1）1 m/s （2）1.9 m
[解析]（1）滑块A 和B 在木板上滑动时，木板也在地面上滑动．设A 、B 和木板所受的摩擦力大小分别为f 1、f 2和f 3，A 和B 相对于地面的加速度大小分别为a A 和a B ，木板相对于地面的加速度大小为a 1，在物块B 与木板达到共同速度前有
f 1＝μ1m A
g ① f 2＝μ1m B g
② f 3＝μ2（m ＋m A ＋m B ）g ③
由牛顿第二定律得 f 1＝m A a A ④ f 2＝m B a B
⑤ f 2－f 1－f 3＝ma 1
⑥ 设在t 1时刻，B 与木板达到共同速度，其大小为v 1，由运动学公式有 v 1＝v 0－a B t 1 ⑦ v 1＝a 1t 1
⑧ 联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得v 1＝1 m/s. ⑨ （2）在t 1时间内，B 相对于地面移动的距离为s B ＝v 0t 1－12
a B t 2
1
⑩ 设在B 与木板达到共同速度v 1后，木板的加速度大小为a 2，对于B 与木板组成的整体，由牛顿第二定律有f 1＋f 3＝（m B ＋m ）a 2
⑪
由①②④⑤式知，a A ＝a B ；再由⑦⑧式知，B 与木板达到共同速度时，A 的速度大小也为v 1，但运动方向与木板相反．由题意知，A 和B 相遇时，A 与木板的速度相同，设其大小为v 2，设A 的速度大小从v 1变到v 2所用的时间为t 2，则由运动学公式，对木板有v 2＝v 1－a 2t 2
⑫
对A 有v 2＝－v 1＋a A t 2
⑬
在t 2时间内，B （以及木板）相对地面移动的距离为s 1＝v 1t 2－12
a 2t 2
2
⑭
在（t 1＋t 2）时间内，A 相对地面移动的距离为s A ＝v 0（t 1＋t 2）－1
2
a A （t 1＋t 2）2
⑮
A 和
B 相遇时，A 与木板的速度也恰好相同，因此A 和B 开始运动时，两者之间的距离为 s 0＝s A ＋s 1＋s B
⑯
联立以上各式，并代入数据得s 0＝1.9 m. 11．[答案]（1）0.75 m （2）2.0 m/s 2 （3）0.65 m
[解析]（1）煤块在传送带上发生相对运动时，根据牛顿第二定律可得μ1mg ＝ma 1，
则其加速度a 1＝μ1g ＝1 m/s 2，方向水平向右 设经过时间t 1，煤块速度达到v 经过时间t 2，传送带速度达到v 即v ＝a 1t 1＝at 2
代入数据得t 1＝1.5 s ，t 2＝0.5 s
则t 1时间内，传送带发生的位移s ＝v 2
2a ＋v （t 1－t 2）
煤块发生的位移s ′＝v 2
2a 1
黑色痕迹长度即传送带与煤块发生的位移之差，即：Δs ＝s －s ′＝0.75 m （2）煤块滑上平板时的速度为v ＝1.5 m/s 加速度为a 1＝μ1mg
m ＝μ1g ，方向水平向左
经过t 0＝0.5 s ，速度v ′＝v －a 1t 0＝1.0 m/s
设平板的加速度大小为a 2，依题意由v ′＝a 2t 0＝1.0 m/s 解得a 2＝2.0 m/s 2
（3）设平板与地面间动摩擦因数为μ2，由a 2＝2 m/s 2
且Ma 2＝（F ＋μ1mg ）－μ2（mg ＋Mg ） 代入数值得μ2＝0.2
由于μ2>μ1，共速后煤块将仍以加速度大小a 1匀减速运动，直到停止，而平板以加速度大小a 3
匀减速运动 Ma 3＝μ2（mg ＋Mg ）－μ1mg
得a 3＝2.25 m/s 2，运动时间为t 3＝v ′a 3＝4
9
s
所以全程，平板的位移为s 板＝(0＋v ′)(t 0＋t 3)2＝17
36 m
煤块的位移s 煤＝v 22a 1＝9
8
m
煤块不从平板上滑下，则平板车的最短长度即煤块与平板的位移之差，即L ＝s 煤－s 板≈0.65 m。