八年级数学上册5.8三元一次方程组教案北师大版

课题:5。

8三元一次方程组
教学目标：
1．理解三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念．
2．能解简单的三元一次方程组，掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路进一步体会“消元”思想．
3．会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
教学重点与难点：
重点：三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念．
难点：三元一次方程组的解法．
课前准备：多媒体课件.
教学过程:
一、创设情景，复习引入
问题1：什么二元一次方程和二元一次方程组?
问题2:解二元一次方程组的基本思路是什么?
问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？主要步骤有哪些？
处理方式：学生回答，教师点评。

预设学生回答:
1．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程;共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。

2．消元.
3．有代入消元法和加减消元法;基本步骤:变形、代入（加减)、解元、求值、定解。

问题情境：已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
处理方式：
引导学生展开小组讨论，准确的找到等量关系，列出方程。

教师参与并给予点评.学生可能的回答：
1．我们设甲数为x ，则乙数为(x —1）,丙数为（2x +x —1-20），可列一元一次方程
()()1212023x x x x +-++--=,解这个一元一次方程得
x =9，所以甲数为9，乙数为8，丙数为6.
2．我们设甲数为x ,乙数为y ,则丙数为2x+y -20，可列二元一次方程组
1,22023.x y x y x y =+⎧⎨
+++-=⎩,解这个二元一次方程组9,
8.x y =⎧⎨=⎩
，所以甲数为9,乙数为8，丙数为6.
3．我们设甲数为x ，乙数为y ，丙数为z ，由题意可得到方程组：23,
1,
220.x y z x y x y z ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩
，如果能解出这个方程组就可以了。

这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系，又如何求解？这就是我们这节课要探究的内容。

（板书课题）
【设计意图】问题设置既复习二元一次方程(组)的概念及二元一次方程组的解法，又为学生通过类比学习本节课的知识做好铺垫；在学生已有知识背景的前提下,情景问题引人新课，充分调动学生的学习积极性。

二、自主探究，获取新知
探究一:三元一次方程(组）的概念
活动:观察方程23x y z ++=和220x y z +-=。

问题1：它们有什么共同特点？
问题2：类比二元一次方程，你能说出这两个方程是什么方程吗？ 问题3：那么上面的方程组应该叫做什么方程组呢？ 问题4：什么是三元一次方程组的解？
处理方式：学生讨论回答，教师总结归纳,对于问题3学生可能会产生分歧，教师可适当点拨。

预设学生回答：
1．它们都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1； 2．是三元一次方程；
3．是三元一次方程组，类比二元一次方程组，三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程,就是三元一次方程组.
4．三元一次方程组中各个方程的公共解。

小试身手：下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A 。

3,34,5x y z y z w x z w ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ B. 0,218,-2x y z y yz x z ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 11 C. 3,-+0,4x y z x y z x z ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩ D 。

31+4x y y z x z +=⎧⎪⎪=⎨⎪
+=⎪⎩，
，
5.
. 【设计意图】结合具体方程实例，利用类比法学习三元一次方程、三元一次方程组及其解的有关概念,在轻松和谐的气氛中完成了新知识的讲解，利用一道简单的选择题，进一步巩固学生对三元一次方程组的理解.
探究二：三元一次方程组的解法
活动：类比解二元一次方程组把“三元"化成“二元”，
解三元一次方程组。

处理方式:教师引导学生认真思考，展开小组讨论并尝试解题，组内展示后派代表发言，教师及时点评.小组展示思路：由②得1x y =+，把它代入①和③就可以消掉x ，得到两个关于
y 和z 的方程，把它们联立成一个二元一次方程组，就可求出y 和z 的值，再求x 的值即可。

展示解题过程：
解:由方程②，得 1x y =+。

④ 把④分别代入①③，得 222y z +=, ⑤ 318y z -=。

⑥
23,1,
220.
x y z x y x y z ++=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩ ①
② ③
解由⑤、⑥组成二元一次方程组,得8,
6.y z =⎧⎨=⎩。

把8y =代入④,得819x =+=．
经检验,x =9，y =8，z =6适合原方程组．
所以原方程组的解是9,
8,6.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
思考1:（1)刚才我们利用代入消元法消去未知数x 化“三元”为“二元”，从而解出了这个方程,你能用代入消元法先消去未知数y （或z ），从而得到方程组的解吗？(2）那么这个方程组还有其他的解法吗？
处理方式：利用已有解题经验，引导学生小组讨论．预设学生解题思路： (1）能，由方程②得，y=x —1④，把④分别代入①③，得224,
321.x z x z +=⎧⎨
-=⎩
，解这个方程组得
9,
6.x z =⎧⎨=⎩
，把x=9代入④，得y=8。

所以原方程组的解是9,
8,6.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩。

（2）有，可以用加减消元法.由于②中没有z ，相当于已经消掉了z ，所以只要把①、③中的z 消掉就可以,我们利用加减消元法，用①+③得3x +2y =43④。

由②、④得方程组
1,3243.x y x y -=⎧⎨
+=⎩解这个方程组得9,8.x y =⎧⎨=⎩把9,
8x y =⎧⎨=⎩代入①，得z =6. 所以原方程组的解是9,8,6.
x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
（3）①+ ②，得2x +z =24 ④,②+③,得3x -z =21 ⑤，联立④、⑤，解得9,
6.x z =⎧⎨
=⎩
把x=9代
入②,得y=8. 所以原方程组的解是9,8,6.x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
.
【设计意图】类比二元一次方程组的解法，通过小组合作学习，师生共同分析，总结三元一次方程组的解法,结合板演规范解题步骤，让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”.方法仍为代入消元法和加减消元法.
思考2：上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系?解三元一次方程组的基本思路是什么？
处理方式：基于对二元一次方程组的充分探究，此问题放手给学生，让其尝试利用类比方法解决问题。

在问题的解决过程中，可以采取小组内交流展示形式，对于出现的问题，教师及时予以指出.小组展示结论：解三元一次方程组的基本思路任然是“消元"—-把“三元”化为“二元”，再化为“一元"．
消元
消元
再试身手：
解下列方程组：
（1)
29,
4,
2
x y
y z
z x
-=-
⎧
⎪
-=
⎨
⎪+=
⎩
47.
（2）
323,
2311,
x y z
x y z
x y z
-+=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪++=
⎩
12.
答案：(1）
23,
16,
12.
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
(2）
3,
8,
1.
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
【设计意图】师生共同分析三元一次方程组解题思路及在解题过程中的注意事项,结合题目进行练习，进一步巩固对知识的应用，培养了学生运用知识的能力和及时归纳的习惯．
三、实战演练，应用新知
我市举办了2014足球联赛活动，这次足球联赛共赛11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分,某队所负的场数是胜的场数的二分之一,结果共得20分，问该队胜、平、负各多少场?
处理方式:引导学生分析题目中的数量关系，用字母表示题目中的未知数；找出题目中的等量关系，并列出方程组；教师板书过程.
解：设该队胜x场、平y场、负z场,根据题意，得
11, 320,
2.
x y z
x y
x z
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪=
⎩
解这个方程组,得
6,
2,
3. x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
所以该队胜6场、平2场、负3场.
三试身手：甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大，乙数的1
3等于丙数的1
2
，
求这三个数．
答案:设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则
35,
25,
.
32
x y z
x y
y z
⎧
⎪++=
⎪
-=
⎨
⎪
⎪=
⎩
解得
10,
15,
10.
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．
处理方式:学生独立完成，二位同学在黑板板演，小组内交流展示，教师根据学生做题情况适时点拨．
【设计意图】运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容。

用三元一次方程组解决实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，培养学生“用数学”的意识。

四、回顾反思,归纳新知
通过本节课的学习，你有哪些收获？
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想(学生畅所欲言，教师给予鼓励），包括三元一次方程、三元一次方程组的概念及如何解三元一次方程组等，又从中学到了哪些数学思想和方法等，2分钟内完成，教师对学生的回答点评补充．
预设学生回答:
1．知道了三元一次方程及三元一次方程组的概念。

2．知道解三元一次方程组的基本思路是消元.
3．学会了解三元一次方程组。

4．学会了类比的思想。

……
处理方式：
【设计意图】让学生通过畅谈自己的切身感受,对本节课所学的知识进行回顾、梳理、整合，不仅达到对所学知识加以巩固的目的，也培养了学生良好的学习习惯.
五、达标检测,反馈新知
A组:
1．解下列方程组：
（1）
26,
1,
218.
x y z
x y
x y z
++=
⎧
⎪
-=
⎨
⎪-+=
⎩
(2）
236,
21,
2 5.
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=-
⎨
⎪+-=
⎩
2．一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2。

求这个三位数．
B组：
3．已知方程组
3,
5,
4.
x y a
y z a
x z a
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
①
②
③
的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.
处理方式：学生独立完成，完成之后,教师出示答案,指导学生组内展示交流，教师根据完成的情况，及时给予激励性的表扬或指导、纠正.对于B组题目,根据个人情况，有选择的完成.
答案：1．（1）
10,
9,
7.
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
（2）
2,
1,
1.
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
2．
14,
,
7 2.
x y z
x z y
z x y
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪=++
⎩
解得
5,
7,
2.
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
3．②-①,得z—x=2a④，③+④，得2z=6a,即z=3a．把z=3a分别代入②和③,得y=2a，
x=a．所以
,
2,
3.
x a
y a
z a
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，把x=a，y=2a，z=3a代入x-2y+3z=-10，得5
3
a=-．
【设计意图】通过练习巩固所学知识，提高基本计算能力，检验了学生对本节课所学知识的运用程度,
六、布置作业、课外延伸
必做题：课本习题第1、3题。

选做题：课本习题第2、4题.
板书设计：
尊敬的读者：
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