【配套K12】吉林省长春市朝阳区2017届高三数学第八次模拟考试试题 文

吉林省长春市朝阳区2017届高三数学第八次模拟考试试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
（1）已知集合{11}{101}A B =-=-，
，，，，则集合{|}C a b a A b B =+∈∈，中元素的个数为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（2）已知复数3()bi
z b i
-=
∈R 的实部和虚部相等，则||z = （A ）2 （B ）3
（C ）（D ）（3）已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x +=”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（4）如图一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为
（A ）1
4π （B ）114π- （C ）
12π
（D ）116π
-
（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若46a a ，是方程2180x x p -+=的两根，那么9S =
（A ）9 （B ）81 （C ）5
（D ）45
（6）若向量a 与b 不共线，0⋅≠a b ，且(
)⋅-⋅a a
c =a b a b ，则向量a 与c 的夹角为 （A ）0 （B ）6π （C ）
3
π （D ）
2
π （7）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为
（A ）21
8 （B ）4516 （C ）
9332
（D ）
189
64
（8）已知函数1
()ln f x x x x
=-+，若(3)()(5)a f b f c f π===，
，，则
（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b c a <<
（D ）a c b <<
（9）公差不为零的等差数列{}n a 的首项为1，且2514a a a ，
，依次构成等比数列，则对一切正整数n ，1223
1
11
1
n n a a a a a a ++++
的值可能为 （A ）
1
2
（B ）35
（C ）
49
（D ）
512
（10）已知实数x y ，满足不等式组10210210x y x y x y -+⎧⎪
++⎨⎪+-⎩
≥，≥，≤，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域
分成上、下两部分的面积比为1:2，则k =
（A ）1
4 （B ）13
（C ）
12
（D ）
34
（11）四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
（A ）81
5π （B ）2081π （C ）101
5
π （D ）
101
20
π
（12
2222:1(00)x y C a b a b -=>>，
的右焦点为F ，若线段OF 的垂直 平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为c λ（c 为半焦距，0λ>），则实数λ 的值是
（A ）
1
2
（B ）13
（C ）2 （D ）3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22
题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）． （13）椭圆221(1)mx y m +=>
，则m =__________． （14）已知ππ2α<<，3sin22cos αα=，则9π
sin()2
α-=__________．
（15）已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥；②若l β⊥，且//αβ，则l α⊥； ③若l β⊥，且αβ⊥，则//l α；④若m α
β=，且//l m ，则//l α．
其中真命题的序号是 ．（填上你认为正确的所有命题的序号）
（16）已知圆22:8150C x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为__________．
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． （17）（本小题满分12分）
已知ABC △的内角A B C ，，
的对边分别为2220a b c a ab b --=，，，． （Ⅰ）若6
B π
=，求C ；
（Ⅱ）若23
C π
=，14c =，求ABC S △．
（18）（本小题满分12分）
为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.
图中，课程A B C D E ，，
，，为人文类课程，课程F G H ，，为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M ”）.
（Ⅰ）在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
200100课程E 课程D 课程C 课程B 课程A 课程
（Ⅱ）某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组M ”中选择F 课 程或G 课程的同学，并且这些同学以自愿．．报名缴费的方式参加活动. 选择F 课程的学生中有x 人参加科学营活动，每人需缴纳2000元，选择G 课程的学生中有y 人参加该活动，每人需缴纳1000元.记选择F 课程和G 课程的学生自愿报名人数的情况为()x y ，，参加活动的学生缴纳费用总和为S 元.
①当4000S =时，写出()x y ，的所有可能取值；
②若选择G 课程的同学都参加科学营活动，求4500S >元的概率.
（19）（本题满分12分）
如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA =90°，AP =AC ，点D ，E 分别在棱
P B ，PC 上，且BC ∥平面ADE .
（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P －ABC 的体积为8，求多面体ABCED 的体积．
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(12)P ，． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）设点A B ，在抛物线C 上，直线PA PB ，分别与y 轴交于点M N ，，||||PM PN =.求直线
AB 的斜率.
（21）（本小题满分12分）
设函数2()ln f x ax x a =--. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对任意(1)x ∈+∞，
，都有e 1
()e x f x x
+>，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点O 为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
22(13sin )4ρθ+=.
（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）若曲线与x 轴的正半轴及y 轴的正半轴分别交于点A B ，，在曲线C 上任取一点P ，且点
P 在第一象限，求四边形OAPB 面积的取值范围.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数2()|2|f x x a =-. （Ⅰ）若3||
(0)(1)a f f a
+>
，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）对任意||1()1x f x ≤，≤恒成立，求实数a 的值.
吉大附中高中部2016-2017学年下学期
高三年级第八次模拟考试数学(文科) 参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．
提示：
（12）解析：由题意，得，不妨设线段的垂直平分线与渐近线的交点为
因此它到另一条渐近线，即的距离为.又由
与可得，所以.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）（14）
（15）②（16）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得，于是或（舍去）.
因为，所以. ……6分
（Ⅱ）由题意及余弦定理可知，①由得，即②，……8分
联立①②解得.所以. ……12分（18）解析：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)1%=12(人)；
选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)1%=8(人). ……4分
（Ⅱ）①当缴纳费用S=4000时，只有两种取值情况：；
……8分
②设事件若选择G课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S超过4500元.
在“组M”中，选择F课程和G课程的人数分别为3人和2人.
由于选择G课程的两名同学都参加，下面考虑选择F课程的3位同学参加活动的情况.设每名同学报
名参加活动用a 表示，不参加活动用b 表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：
aaa ，aab ，aba ，baa ，bba ，bab ，abb ，bbb .
当缴纳费用总和S 超过4500元时，选择F 课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：aaa ，
aab ，aba ，baa .所以，. ……12分
（19）解析：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，∴PA ⊥BC . ……2分
∵∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ……3分
又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ， ……4分 ∵BC ∥平面ADE ，BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ADE ＝DE ， ∴BC ∥DE . ……6分
∴DE ⊥平面PAC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴DE ⊥PC .
又PC ⊥AD ，AD ∩DE ＝D ，∴PC ⊥平面ADE ，∴AE ⊥PC . ……9分 又AP ＝AC ，∴E 是PC 的中点．由(1)知BC ∥DE ，∴DE 是△PBC 的中位线， ∴
V 三棱锥P ADE
\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(V 三棱锥P ABC
＝S △PED \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(S △PBC
＝
1\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(4
，
V
三棱锥P ADE
＝4
\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1
V
三
棱锥P ABC
＝
4\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1
×8＝2，
∴V 多面体ABCED ＝V 三棱锥P ABC － V 三棱锥P ADE ＝8－2＝6. ……12分
（20）解析：解析：（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为
．
由抛物线且经过点
，
得
， ……3分
所以抛物线
的方程为
．……4分 （Ⅱ）因为， 所以
，
所以，
所以直线与的倾斜角互补，
所以．……6分
依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，
将其代入抛物线的方程，整理得．……8分
设，则，，所以．
以替换点坐标中的，得．……10分
所以．所以直线的斜率为．……12分
（21）解析：（Ⅰ）.
当时，，在内单调递减；
当时，令，有，此时当时，单调递减；当
时，单调递增.
综上所述，时，函数在内单调递减；当时，函数在
内单调递减，在内单调递增. ……6分
（Ⅱ）令，即.
令，则，则在内单调递增，所以，故
.
当时，故当在区间内恒成立时，必有.
当时，，由（Ⅰ）知函数在上单调递减，即时，
不符合题意，舍去.
……9分
当时，令，则
教育配套资料K12
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K12
，
所以在
时单调递增，所以
恒成立，即
恒成立，满足题意.
综上，
. ……12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）
得
，由
，可得
，即
. …5分
（Ⅱ）由已知可得，设
.
则
，所以四边形
.当
时，四边形
的面积取最大值.
…10分
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解析：（Ⅰ）当时，
可转化为
，该不等式恒成立；
当
时，
可转化为
.
综上可得，实数的取值范围是
…5分
（Ⅱ）对任意恒成立，可得，即，①
又
，即
，② 由①②可知
.验证
时
恒成立.
…10分。