高考数学一轮复习第十二章概率4二项分布与正态分布课件新人教A版理
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通项公式,其中的a=p,b=1-p.( × )
(4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).(
)
(5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表
示正态分布的均值和方差.(
)
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
2.(2020福建福州三模)某种疾病的患病率为0.5%,已知在患该种
1
3
1
3
2
1
3
=4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 = 4.
-18考点1
考点2
考点3
考点4
(2)乙猜歌曲次数 ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
1
P(ξ=0)=P(1 )=4,P(ξ=1)=P(A11 )+P(A1B11 )+P(A1B1C12 )
=P(A1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(C1)P(2 )
(2)正态曲线的特点
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
1
③曲线在 x=μ 处达到峰值 2π;
④曲线与x轴之间的面积为1;
⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布
越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.
考点3
考点4
解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将复
杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独
立事件同时发生的积事件,然后求概率.
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
2
= ,P(AB)=
10
5
C 25
()
由条件概率计算公式,得 P(B|A)=
()
(方法二)n(A)=C32 + C22 =4,n(AB)=1,
()
故 P(B|A)=
()
1
= .
4
=
1
10
4
10
=
1
10
1
.
= .
4
-14考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得求条件概率的基本方法有两个:
条件概率、二项分布与正态分布
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0, (1)0≤P(B|A)≤1
P(AB )
称 P(B|A)= P(A) 为在事件 A 发
(2)若 B,C 是两个互斥事件,则
生的条件下,事件 B 发生的条 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A)
3
1
3
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1
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1
1
1
1
1
9
= × + × × + × × × = + + = ,
4
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3
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4
4
4
16
16
P(ξ=2)=P(A1B1C1A22 )+P(A1B1C1A2B22 )+P(A1B1C1A2B2C23 )
3
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1
=4 × 3 × 2 × 4 × 3 + 4 × 3 × 2 × 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 4 × 3 × 2 ×
=
1
16
+
1
16
+
1
64
=
9
64
,
3
2
1
3
2
1
3
3
P(ξ=3)=P(A1B1C1A2B2C2A3)=4 × 3 × 2 × 4 × 3 × 2 × 4 = 64 .
ξ
P
ξ 的分布列为
0
1
2
1
9
4
16
1
9
9
3
63
E(ξ)=0×4+1×16+2×64+3×64 = 64.
9
64
3
3
64
-19考点1
考点2
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间
相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即
要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是
一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验
中事件A发生的概率为p,则
n-k
k
P(X=k)= C p (1-p) (k=0,1,2,…,n)
关闭
由正态分布 N(0,32)可知,ξ 落在(3,6)内的概率为
( -2< < +2)-( -< < +) 95.4%-68.3%
13.55%
2
=
2
关闭
=13.55%.
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1
条件概率
例1(1)(2020吉林辽源期末)小红的妈妈为小红煮了7个汤圆,其中
则 P(AB)=0.4,P(A)=0.7,
()
4
故 P(B|A)= () = 7,故选 C.
C
关闭
解析
答案
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不
15
小于 16
,则n的最小值为(
)
关闭
由题意,1-
1
2
≥
15
16
,解得 n≥4,故 n 的最小值为 4.
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X 4 000
2 000
800
P 0.3
0.5
0.2
-22考点1
考点2
考点3
考点4
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),
由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)
对点训练1某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是
0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨,则随
后一天也下雨的概率是( B )
.63 .7
.9
.567
解析:设事件A表示“清明节当天下雨”,事件B表示“第二天下雨”,
由题意得P(A)=0.9,P(AB)=0.63,
()
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利
润不少于2 000元的概率.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)设A表示事件“此作物产量为300千克”,B表示事件“此作物
市场价格为6元/千克”.
由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
因为利润=产量×市场价格-成本,
又500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,
则 P(B|A)= () =
0.63
0.9
=0.7.故选 B.
-16考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2
相互独立事件同时发生的概率
例2甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌
名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜
第二首,丙猜第三首,若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,
,此时称随机变
X~B(n,p)
二项分布
量X服从
,记作
,并称p为成功
概率.
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2
4.正态分布
(-)
- 2
1
2 ,x∈(-∞,+∞), 其中实数μ和
φ
(x)=
e
(1)正态曲线:函数 μ,σ
2π
σ(σ>0)为参数.我们称函数φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称
正态曲线.
(1)定义法,先求 P(A)和 P(AB),再由
()
P(B|A)= () ,求
P(B|A).
(2)基本事件法,借古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事
()
件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= () .
-15考点1
考点2
考点3
考点4
件概率
在古典概型中,若用 n(A)和 n(AB)分别表示事件 A 和事件 AB 所
()
包含的基本事件的个数,则 P(B|A)= () .
-3知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2.事件的相互独立性
(1)定义:设A,B为两个事件,若P(AB)= P(A)P(B) ,则称事件A与事件
B相互独立.
(2)性质:①若事件A与B相互独立,则
300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800,
所以X所有可能的取值为4 000,2 000,800.
P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
-20考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,
此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,
其具体情况如下表:
作物产量/千克
300
500
概
0.5
0.5
作物市场价格/(元/千克)
6
10
概
0.4
0.6
率
率
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(a<b),随机变量X
满足 P(a<X≤b)= φμ,σ(x)dx ,则称随机变量X服从正态分布,记
X~N(μ,σ2) .
作
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 7 ;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.954 5 ;
疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%,则患该种疾病且血检呈阳
性的概率为( A )
..940 5%
.999 .99%
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
3.某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是
0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是(
)
7
6
A.10
B.7
4
C.7
2
D.7
关闭
设“某次射中”为事件 A,“随后一次射中”为事件 B,
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.997 3 .
-7知识梳理
双基自测
1
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3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( × )
(2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( × )
(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的
=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3).
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2 000元的概率为
P(1 C2C3)+P(C12 C3)+P(C1C23 )=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为
3个黑芝麻馅,4个五仁馅,小红随机取出两个汤圆,事件A为“取到的
两个是同一种馅”,事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,则
P(B|A)=( B )
2
A.
3
1
B.
3ห้องสมุดไป่ตู้
3
C.
4
1
D.
6
(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为
偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( B )
1
A.
8
1
B.
4
2
C.
5
1
D.
2
-13考点1
考点2
考点3
考点4
C 23 +C 24
解析:(1)由题意得 P(A)=
()
C 27
C 23
3
= ,P(AB)=
7
C 27
1
= ,
7
1
因此 P(B|A)= () = 3.故选 B.
C 23 +C 22
(2)(方法一)P(A)=
C 25
=
4
C 22
则该小组进入下一轮,该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜
3
2
1
4
3
2
对歌名的概率是 ,乙猜对歌名的概率是 ,丙猜对歌名的概率是 ,
甲、乙、丙猜对与否互不影响.
(1)求该小组未能进入第二轮的概率;
(2)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
思考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有
哪些常用的方法?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解：分别将甲、乙、丙第i次猜对歌名记为事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3),
则Ai,Bi,Ci相互独立.
(1)该小组未能进入第二轮的概率
P=P(1 )+P(A11 )+P(A1B11 )=P(1 )+P(A1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(1 )
P(B|A)= P(B) ,P(A|B)=P(A),P(AB)= P(A)P(B) .
②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与, 与 B,与也相互独立.
③如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(A
. n)
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
4
3.独立重复试验与二项分布
关闭
A
解析
答案
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从
中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率
为
.
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,
(4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).(
)
(5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表
示正态分布的均值和方差.(
)
-8知识梳理
双基自测
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2.(2020福建福州三模)某种疾病的患病率为0.5%,已知在患该种
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=4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 = 4.
-18考点1
考点2
考点3
考点4
(2)乙猜歌曲次数 ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
1
P(ξ=0)=P(1 )=4,P(ξ=1)=P(A11 )+P(A1B11 )+P(A1B1C12 )
=P(A1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(C1)P(2 )
(2)正态曲线的特点
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
1
③曲线在 x=μ 处达到峰值 2π;
④曲线与x轴之间的面积为1;
⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布
越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.
考点3
考点4
解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将复
杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独
立事件同时发生的积事件,然后求概率.
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
2
= ,P(AB)=
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5
C 25
()
由条件概率计算公式,得 P(B|A)=
()
(方法二)n(A)=C32 + C22 =4,n(AB)=1,
()
故 P(B|A)=
()
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= .
4
=
1
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4
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=
1
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1
.
= .
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考点2
考点3
考点4
解题心得求条件概率的基本方法有两个:
条件概率、二项分布与正态分布
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
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1.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0, (1)0≤P(B|A)≤1
P(AB )
称 P(B|A)= P(A) 为在事件 A 发
(2)若 B,C 是两个互斥事件,则
生的条件下,事件 B 发生的条 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A)
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= × + × × + × × × = + + = ,
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P(ξ=2)=P(A1B1C1A22 )+P(A1B1C1A2B22 )+P(A1B1C1A2B2C23 )
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=4 × 3 × 2 × 4 × 3 + 4 × 3 × 2 × 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 4 × 3 × 2 ×
=
1
16
+
1
16
+
1
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=
9
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,
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P(ξ=3)=P(A1B1C1A2B2C2A3)=4 × 3 × 2 × 4 × 3 × 2 × 4 = 64 .
ξ
P
ξ 的分布列为
0
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E(ξ)=0×4+1×16+2×64+3×64 = 64.
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-19考点1
考点2
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间
相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即
要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是
一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验
中事件A发生的概率为p,则
n-k
k
P(X=k)= C p (1-p) (k=0,1,2,…,n)
关闭
由正态分布 N(0,32)可知,ξ 落在(3,6)内的概率为
( -2< < +2)-( -< < +) 95.4%-68.3%
13.55%
2
=
2
关闭
=13.55%.
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1
条件概率
例1(1)(2020吉林辽源期末)小红的妈妈为小红煮了7个汤圆,其中
则 P(AB)=0.4,P(A)=0.7,
()
4
故 P(B|A)= () = 7,故选 C.
C
关闭
解析
答案
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4.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不
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小于 16
,则n的最小值为(
)
关闭
由题意,1-
1
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≥
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,解得 n≥4,故 n 的最小值为 4.
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X 4 000
2 000
800
P 0.3
0.5
0.2
-22考点1
考点2
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考点4
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),
由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)
对点训练1某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是
0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨,则随
后一天也下雨的概率是( B )
.63 .7
.9
.567
解析:设事件A表示“清明节当天下雨”,事件B表示“第二天下雨”,
由题意得P(A)=0.9,P(AB)=0.63,
()
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利
润不少于2 000元的概率.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)设A表示事件“此作物产量为300千克”,B表示事件“此作物
市场价格为6元/千克”.
由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
因为利润=产量×市场价格-成本,
又500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,
则 P(B|A)= () =
0.63
0.9
=0.7.故选 B.
-16考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2
相互独立事件同时发生的概率
例2甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌
名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜
第二首,丙猜第三首,若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,
,此时称随机变
X~B(n,p)
二项分布
量X服从
,记作
,并称p为成功
概率.
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2
4.正态分布
(-)
- 2
1
2 ,x∈(-∞,+∞), 其中实数μ和
φ
(x)=
e
(1)正态曲线:函数 μ,σ
2π
σ(σ>0)为参数.我们称函数φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称
正态曲线.
(1)定义法,先求 P(A)和 P(AB),再由
()
P(B|A)= () ,求
P(B|A).
(2)基本事件法,借古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事
()
件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= () .
-15考点1
考点2
考点3
考点4
件概率
在古典概型中,若用 n(A)和 n(AB)分别表示事件 A 和事件 AB 所
()
包含的基本事件的个数,则 P(B|A)= () .
-3知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2.事件的相互独立性
(1)定义:设A,B为两个事件,若P(AB)= P(A)P(B) ,则称事件A与事件
B相互独立.
(2)性质:①若事件A与B相互独立,则
300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800,
所以X所有可能的取值为4 000,2 000,800.
P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
-20考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,
此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,
其具体情况如下表:
作物产量/千克
300
500
概
0.5
0.5
作物市场价格/(元/千克)
6
10
概
0.4
0.6
率
率
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(a<b),随机变量X
满足 P(a<X≤b)= φμ,σ(x)dx ,则称随机变量X服从正态分布,记
X~N(μ,σ2) .
作
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 7 ;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.954 5 ;
疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%,则患该种疾病且血检呈阳
性的概率为( A )
..940 5%
.999 .99%
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
3.某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是
0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是(
)
7
6
A.10
B.7
4
C.7
2
D.7
关闭
设“某次射中”为事件 A,“随后一次射中”为事件 B,
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.997 3 .
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( × )
(2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( × )
(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的
=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3).
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2 000元的概率为
P(1 C2C3)+P(C12 C3)+P(C1C23 )=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为
3个黑芝麻馅,4个五仁馅,小红随机取出两个汤圆,事件A为“取到的
两个是同一种馅”,事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,则
P(B|A)=( B )
2
A.
3
1
B.
3ห้องสมุดไป่ตู้
3
C.
4
1
D.
6
(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为
偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( B )
1
A.
8
1
B.
4
2
C.
5
1
D.
2
-13考点1
考点2
考点3
考点4
C 23 +C 24
解析:(1)由题意得 P(A)=
()
C 27
C 23
3
= ,P(AB)=
7
C 27
1
= ,
7
1
因此 P(B|A)= () = 3.故选 B.
C 23 +C 22
(2)(方法一)P(A)=
C 25
=
4
C 22
则该小组进入下一轮,该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜
3
2
1
4
3
2
对歌名的概率是 ,乙猜对歌名的概率是 ,丙猜对歌名的概率是 ,
甲、乙、丙猜对与否互不影响.
(1)求该小组未能进入第二轮的概率;
(2)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
思考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有
哪些常用的方法?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解：分别将甲、乙、丙第i次猜对歌名记为事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3),
则Ai,Bi,Ci相互独立.
(1)该小组未能进入第二轮的概率
P=P(1 )+P(A11 )+P(A1B11 )=P(1 )+P(A1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(1 )
P(B|A)= P(B) ,P(A|B)=P(A),P(AB)= P(A)P(B) .
②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与, 与 B,与也相互独立.
③如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(A
. n)
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
4
3.独立重复试验与二项分布
关闭
A
解析
答案
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从
中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率
为
.
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,