高考文科数学二轮复习专题集训：专题六解析几何6.

A 级
1．在等腰三角形MON 中， MO＝ MN ，点 O(0,0) ，M(－ 1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，
则直线 MN 的方程为 ()
A ． 3x－ y－ 6＝ 0B． 3x＋ y＋6＝ 0
C．3x－ y＋ 6＝0D． 3x＋ y－ 6＝ 0
分析：因为 MO＝ MN ，所以直线 MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以 k MN ＝－ k MO＝ 3，所以直线 MN 的方程为 y－ 3＝ 3(x＋ 1)，即 3x－ y＋ 6＝ 0，选 C.
答案：C
2．已知三点 A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 () 521
A. 3B．3
254
C.3D．3
分析：设圆的一般方程为x2＋ y2＋ Dx ＋Ey＋ F＝ 0，
1＋D＋F＝0，
D＝－ 2，
∴ 3＋ 3E＋F＝ 0，∴ 4 3，
7＋ 2D＋ 3E＋F＝ 0，E＝－3 F＝ 1，
∴△ABC 外接圆的圆心为 1，23
，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为3
232＝ 21
1＋3 3
.答案：B
3．过点 P(－ 2,2)作直线 l ，使直线这样的直线l 一共有 ()
A．3 条
C．1 条
分析：由题意可知直线l 方程为
l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，
B．2 条
D．0 条
－ 2 2
x
＋
y
＝ 1(a<0 ，b>0) ，于是
1
a＋b＝ 1，解得
a b
－ a b＝8，
2
－a＝ b＝ 4，故知足条件的直线l 一共有 1 条，应选 C.
答案：C
4．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线 l ： ax＋ y－ 1＝0 与过定点Q 的直线 m： x－
2 2
ay ＋ 3＝ 0 订交于点 M ，则 |MP | ＋|MQ| ＝()
10
A. 2 B ． 10 C ．5
D ． 10
分析：
由题意知 P(0,1)， Q(－ 3,0)，∵过定点 P 的直线 ax ＋ y － 1＝ 0 与过定点 Q 的直
线 x － ay ＋ 3＝0 垂直，∴ MP ⊥ MQ ，∴ |MP |2＋ |MQ|2＝ |PQ |2＝ 9＋1＝ 10，应选 D.
答案：
D
5．已知抛物线 C 1：x 2
＝ 2y 的焦点为 F ，以 F 为圆心的圆 C 2 交 C 1 于 A ， B ，交 C 1 的准
线于
C ，
D ，若四边形
ABCD
为矩形，则圆
C 2 的方程为
(
)
A ． x 2＋
y － 12 2＝ 3
B ． x 2＋
1
y － 2 2＝ 4
C ．x 2＋ (y － 1) 2＝12
D ． x 2＋ (y － 1)2＝ 16
分析：
如图，连结 AC ， BD ，
由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为
F 0， 1 ，
2
而 |FA|＝ |AD|＝ |FB|为圆的半径 r ，
于是 A
3 1＋1 ，
2 r ， 2 2r
3 2
1 1
而 A 在抛物线上，故 2
r
＝ 2 ＋
2r ，
2
∴ r ＝ 2，应选 B.
答案： B
6．已知点 A(－ 1,0)，过点 A 可作圆 x 2＋ y 2－mx ＋ 1＝ 0 的两条切线，则 m 的取值范围是
________．
m 2
2
分析：
由题意得点 A( －1,0)在圆外，所以 1＋ m ＋ 1>0，所以 m>－ 2，又 x － 2
＋y
m 2
m 2
＝
4 － 1 表示圆，所以 4
－1>0? m>2 或 m<－ 2，所以 m>2.
答案：
(2，＋ ∞)
7． (2017 ·州市第三次调研考试惠 2
2
)已知直线 y ＝ ax 与圆 C ：x ＋y －2ax － 2y ＋2＝ 0 交于
两点 A ，B ，且△ CAB 为等边三角形，则圆 C 的面积为 ________．
分析：
x 2＋ y 2－ 2ax － 2y ＋2＝ 0? (x － a)2＋ (y － 1)2＝ a 2－ 1，所以圆心 C 到直线 y ＝ ax
的距离为
3
a 2 －1＝
|a 2－ 1|
2
22
，所以 a
＝7，圆 C 的面积为 π(a － 1) ＝ 6π.
2
a 2＋ 1
答案：
6π
8．已知圆 O ： x 2＋ y 2＝ 1，直线 x －2y ＋ 5＝ 0 上动点 P ，过点 P 作圆 O 的一条切线，切
点为 A ，则 |PA|的最小值为 ________ ．
分析：
过 O 作 OP 垂直于直线 x － 2y ＋5＝ 0，过 P 作圆 O 的切线 PA ，连结 OA ，易知
此时 |PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得
|OP|＝ |1 ×0－ 2×0＋ 5|＝ 5.
12＋ 22
又 |OA|＝ 1，所以 |PA|min ＝ |OP |2－ |OA|2＝ 2. 答案：
2
9．已知两直线 l 1： ax － by ＋ 4＝0， l 2： (a － 1)x ＋ y ＋b ＝ 0.求分别知足以下条件的 a ， b
的值．
(1)直线 l 1 过点 (－ 3，－ 1)，而且直线
l 1 与 l 2 垂直；
(2)直线
l 1 与直线
l 2 平行，而且坐标原点到 l 1， l 2 的距离相等．
分析：
(1) ∵l 1⊥ l 2，
∴ a(a － 1)＋ (－b) ·1＝ 0，即 a 2－ a －b ＝ 0.①
又点 (－ 3，－ 1)在 l 1 上，
∴－ 3a ＋ b ＋ 4＝0.②
由①②得， a ＝ 2， b ＝ 2.
(2)由题意知当 a ＝ 0 或 b ＝ 0 时不建立．
∵ l ∥ l ，∴ a ＝ 1－ a ，∴ b ＝
a
，
1
2
b
1－a
故 l 1 和 l 2 的方程可分别表示为
(a － 1)x ＋ y ＋
a － ＝ 0， (a － 1)x ＋ y ＋
a
＝ 0，
a
1－ a
又原点到 l 1 与 l 2 的距离相等，
∴ 4 a －1 ＝，
a 1－ a ∴ a ＝2 或 a ＝
2
3，
∴ a ＝ 2， b ＝－ 2 或 a ＝ 2
， b ＝ 2. 3a
10．已知圆 C 过点 P(1,1) ，且与圆 M ： (x ＋ 2)2＋ (y ＋ 2)2＝ r 2(r>0) 对于直线 x ＋y ＋ 2＝ 0
对称．
(1)求圆 C 的方程；
→
→
的最小值．
(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求
PQ ·MQ
a － 2
b － 2
＋ 2＝0，
2 ＋ 2 分析： (1) 设圆心 C(a ， b)，则
b ＋ 2＝ 1，
a ＋ 2
a ＝ 0， 解得
b ＝ 0.
则圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＝ r 2， 将点 P 的坐标代入得
r 2＝ 2，
故圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.
2
2
(2)设 Q(x ， y)，则 x ＋ y ＝ 2，
→ → 2， y ＋ 2 2
＋ x ＋ y － 4＝ x ＋y － 2， 且 PQ ·MQ ＝ (x －1， y － 1) ·＋(x 2)＝ x ＋y 令 x ＝ 2cos θ，y ＝ 2sin θ，
→ →
则 PQ ·MQ ＝ x ＋ y － 2＝ 2(sin θ＋ cos θ)－2
＝ 2sin θ＋
π
4－ 2.
→ →
所以 PQ ·MQ 的最小值为－ 4.
B 级
1． (2017 湖·南省五市十校联考 )已知函数 f(x)＝ x ＋ sin x(x ∈ R )，且 f(y 2－ 2y ＋ 3)＋ f( x 2
－
y
的取值范围是 (
)
4x ＋ 1) ≤0，则当 y ≥1时， x ＋ 1
1 3 1
A. 4， 4
B ． 4
，1
C ．[1,3 2－ 3]
1
，＋ ∞
D ． 3
分析： 函数 f(x)＝ x ＋ sin x(x ∈ R )为奇函数，又 f ′(x)＝1＋ cos x ≥0，所以函数 f(x)在实数
范围内单一递加，则
f( x 2－ 4x ＋ 1)≤f(－ y 2＋ 2y － 3)，即 (x － 2)2＋ (y － 1)2≤1，当 y ≥1 时表示的
地区为半圆及其内部，令
k ＝ y
＝
y
，其几何意义为过点
( －1,0)与半圆订交或相
x ＋ 1 x － －
切的直线的斜率，斜率最小时直线过点
(3,1)，此时 k min ＝
1
＝ 1
，斜率最大时直线
3－ －
4
|2k － 1＋ k|
3
恰好与半圆相切，圆心到直线的距离
d ＝
k 2＋ 1 ＝ 1(k>0) ，解得 k max ＝ 4，应选 A.
答案：
A
2．已知圆 C ： (x － 1)2＋ (y － 2)2＝ 2，若等边△ PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则 |PC|
的最大值为 ________．
分析：
已知圆 C ：( x －1)2 ＋ (y － 2)2＝ 2，所以圆心为 C(1,2)，半径 r ＝ 2，若等边△ PAB
的一边 AB 为圆 C 的一条弦， 则 PC ⊥ AB.在△ PAC 中，∠ APC ＝ 30°，由正弦定理得
|AC| ＝
sin 30 °
|PC |
，所以 |PC|＝ 2 2sin ∠ PAC ≤2 2，故 |PC|的最大值为 2 2.
sin ∠ PAC
答案：
2 2
3．已知点 M(－ 1,0)，N(1,0) ，曲线 E 上随意一点到点
M 的距离均是到点
N 的距离的
3
倍．
(1)求曲线 E 的方程；
(2)已知 m ≠0，设直线 l 1：x － my －1＝ 0 交曲线 E 于 A ， C 两点，直线 l 2： mx ＋ y － m ＝ 0
交曲线 E 于 B ，D 两点．当 CD 的斜率为－ 1 时，求直线
CD 的方程．
分析：
(1)( 坐标法 )设曲线 E 上随意一点的坐标为
(x ， y)，
由题意得
x ＋
2
＋ y 2＝ 3· x －
2
＋ y 2，
整理得 x 2＋y 2－ 4x ＋ 1＝ 0，
即 (x － 2)2＋ y 2＝ 3 为所求．
(2)( 参数法 )由题意知 l 1⊥ l 2，且两条直线均恒过点 N(1,0)．设曲线 E 的圆心为 E ，则 E(2,0)，设线段 CD 的中点为 P ，
连结 EP ， ED ， NP ，则直线 EP ： y ＝ x － 2.
设直线 CD ： y ＝－ x ＋ t ，
y ＝x － 2，
解得点 P t ＋2 ， t － 2
由
.
y ＝－ x ＋ t ， 2
2
由圆的几何性质，知 |NP|＝ 1
|CD|＝ |ED |2－ |EP|2
，
2
2
t ＋2
－ 1
2
t － 2
2
2
2
|2－ t| 2
，
而 |NP| ＝
2 ＋
， |ED | ＝ 3， |EP|
＝
2
2
解得 t ＝ 0 或 t ＝3，
所以直线 CD 的方程为 y ＝－ x 或 y ＝－ x ＋3.
4．(2017 全·国卷Ⅲ )已知抛物线 C ：y 2
＝ 2x ，过点 (2,0)的直线 l 交 C 于 A ，B 两点，圆 M
是以线段 AB 为直径的圆．
(1)证明：坐标原点
O 在圆 M 上；
(2)设圆 M 过点 P(4，－ 2)，求直线 l 与圆 M 的方程．
分析：
(1) 证明：设 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)， l ： x ＝ my ＋ 2，
由
x ＝my ＋ 2，
y 2
＝ 2x
可得 y 2－ 2my － 4＝ 0，则 y 1y 2＝－ 4.
2 2
又 x 1＝ y 1， x 2＝ y 2，
22
2
y1y2
故 x1x2＝＝4.
4
所以 OA 的斜率与OB 的斜率之积为y1y2
＝
－ 4
·＝－ 1，x1x24
所以 OA ⊥OB，
故坐标原点 O 在圆 M 上．
(2)由 (1) 可得 y1＋ y2＝ 2m，
x1＋ x2＝ m(y1＋ y2)＋ 4＝ 2m2＋ 4，
故圆心 M 的坐标为 ( m2＋ 2， m)，
圆 M 的半径 r＝m2＋2＋ m2.
→ →
因为圆 M 过点 P(4，－ 2)，所以 AP ·BP＝ 0，
故 (x1－ 4)( x2－ 4) ＋(y1＋ 2)(y2＋ 2)＝ 0，
即 x1x2－ 4(x1＋ x2)＋ y1y2＋ 2(y1＋ y2)＋ 20＝ 0.
由 (1)可知 y1y2＝－ 4，x1x2＝ 4，
所以 2m2－ m－ 1＝ 0，
1
解得 m＝ 1 或 m＝－2.
当 m＝ 1 时，直线 l 的方程为 x－ y－2＝ 0，圆心 M 的坐标为 (3,1) ，圆 M 的半径为10，圆 M 的方程为 (x－ 3)2＋ (y－ 1)2＝ 10.
191当 m＝－2时，直线 l 的方程为2x＋ y－4＝ 0，圆心 M 的坐标为4，－2，圆 M 的半径为85，
4
圆 M 的方程为 x－92
＋ y＋
12
＝
85
. 4216。