第2节 函数的单调性与最值

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规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间， 如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用 “和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调 性；④导数法. (2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判 断，遵循“同增异减”的原则.
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[常用结论与微点提醒] 1.若 f(x)，g(x)均为区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A 上的增(减)
函数. 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0 或 f(x)<0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝f（1x）的单调性
相反. 3.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调
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4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－2)
B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
解析 由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.
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解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)， 故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以. (4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
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规律方法 求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用 基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最 值.
答案 A
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3.(新教材必修第一册 P81 例 5 改编)函数 y＝x－x 1在区间[2，3]上的最大值是 ________. 解析 函数 y＝x－x 1＝1＋x－1 1在[2，3]上递减， 当 x＝2 时，y＝x－x 1取得最大值2－2 1＝2. 答案 2
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由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法二 f′(x)＝（ax）′（x（－x1－）1－）a2x（x－1）′ ＝a（（x－x－1）1）－2 ax＝－（x－a1）2. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
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【训练2】 (1)(多选题) (2020·山东新高考模拟)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)， 则( ) A.f(x)在(2，6)上单调递增 B.f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2 C.f(x)在(2，6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x＝4对称 x2，x≤1， (2)设函数 f(x)＝x＋6x－6，x>1，则 f(x)的最小值是________.
第2节 函数的单调性与最值
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考试要求 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义.
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知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的
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解析 (1)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数， 所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6， 则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6， 即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2. (2)法一 在同一坐标系中， 作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分. 易知点A(2，1)为图象的最高点， 因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
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(1)对于任意x∈I，都有__f(_x_)_≤__M__； (3)对于任意x∈I，都有__f(_x_)≥__M___；
条件
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(4)存在x0∈I，使得_f_(_x0_)_＝__M_
结论
M为最大值
M为最小值
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).
答案 D
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5.(2020·长沙模拟)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________. 解析 由条件知－ －22≤ ≤a2＋ a≤1≤ 2，2，解得－1≤a<1. a＋1>2a，
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2.(老教材必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
1
A.y＝x2
B.y＝2－x
C.y＝log1x
2
D.y＝1x
解析
函数
1
y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，函数
y＝2－x，y＝log1x，y＝1x在(0，
2
＋∞)上均是减函数.
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@《创新设计》 考点x2＋x，3，0<xx>≤2.2， 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数， 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 答案 (1)C (2)1
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求函数 t＝－x2＋x＋6 在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得 t ＝－x2＋x＋6 在定义域(－2，3)上的单调递减区间为12，3，故选 A. 答案 A
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(2)(一题多解)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x1<x2<1， f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1 ＝（x1a－（1x）2－（xx12）－1），
答案 [－1，1)
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6.(2020·青岛二中月考)函数 f(x)＝1x，x≥1， 的最大值为________. －x2＋2，x<1
解析 当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1) ＝1；当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有_f_(x_1_)_<_f(_x_2_) ，那么就说 函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有__f(_x_1_)>_f_(_x_2)_， 那么就说函数f(x)在区间D上 是减函数
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图象 描述
自左向右看图象是_上__升__的___
减区间是[－ a，0)，(0， a].
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诊断自测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0， 则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数.( ) (4)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( )
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1，x>0， 【训练 1】 (1)设函数 f(x)＝0，x＝0， g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间
－1，x<0，
是________.
解析
x2，x>1， 由题意知 g(x)＝0，x＝1，
－x2，x<1，
函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是[0，1).
答案 2
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考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1】 (1)函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调增区间为( )
2
A.12，3
B.－2，12
C.(－2，3)
D.12，＋∞
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解析 由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令 t＝－x2＋ x＋6，则 y＝log1t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于
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解析 (1)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6).令t＝(x－ 2)(6－x)，则y＝ln t.因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4， 且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，所以当x＝4时，t有最大值，所 以f(x)max＝f(4)＝2ln 2，f(x)在(2，6)上无最小值.故选BCD. (2)当x≤1时，f(x)＝x2的最小值为0， 当 x>1 时，f(x)＝x＋6x－6≥2 6－6(当且仅当 x＝ 6时，取“＝”). 由于 2 6－6<0，所以 f(x)min＝2 6－6. 答案 (1)BCD (2)2 6－6
考点二 求函数的最值
【例2】 (1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为 loga2＋6，则a的值为( )
A.12
B.14
C.2 D.4
(2)(一题多解)(2020·惠州一中月考)对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝
ab， ，aa≤ >bb. ，设函数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最 大值是________.
答案 [0，1)
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(2)判断并证明函数 f(x)＝ax2＋1x(其中 1<a<3)在 x∈[1，2]上的单调性. 证明 f(x)在[1，2]上单调递增，证明如下： 设 1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax22＋x12－ax21－x11 ＝(x2－x1)a（x1＋x2）－x11x2， 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0，2<x1＋x2<4. 1<x1x2<4，－1<－x11x2<－14.
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又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，
得 a(x1＋x2)－x11x2>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增.
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自左向右看图象是_下__降__的___
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是_增__函__数___或_减__函__数___，那么就说函数y＝f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性，__区__间__D__叫做函数y＝f(x)的单调区间.
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2.函数的最值 前提