第二节可分离变量齐次方程的求解

第二节 可分离变量、齐次方程的求解
教学目标：1、掌握可分离变量微分方程的解法.
2、掌握齐次方程和可化为齐次的方程的解法.
课时安排：2课时
重点：利用常数变易法求非齐次线性方程的通解
难点：用变量代换求解方程
教学法：讲授法
12345⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，全微分方程（不讲），可分离变量一阶微分方程的求解，齐次的，一阶线性的（重点），伯努利（变换为一阶线性的）
一．可分离变量的方程
1、 类型：形如()()()()dx f x g y g y dy f x dx dy
==或 ； 2、 解法()()g y dy f x dx =⎰⎰ ；
3、例题分析：
()0M M M t 例1.铀衰变速度与未衰变原子含量成正比，已知初始质量为， 求的衰变规律 000000,,ln t t c t c t t
dM M M M dt dM dM dt dt M t c M M
M e e e ce M CE c M M M e λλλλλλλλλ=-+---⋅-=-=⇒=-⇒=-⇒=-+∴==⋅==⇒=∴=⋅⎰⎰解：
()()()()()()()()
()0
11111111ln 1ln 1ln ln 11111x y x x y x x x x y x x y y x y x y y x y x y x
y x y x y x x
y y x x e e dx e e dy e e dy e e e e dx e e e e e e
e e e e dy dx dy dx e e e e
c e e c e c e e e c e ++++++-=+++===⋅---∴=⇒=+-+-∴+=--+=-∴+=⇒+-=-⎰⎰例二，求解解：写出关系即 即可不用求出具体的x y ，的显表达式）
()()()
()()()()()()
()()()()()()()()()()
'''''2'2222'2'222
2222 ...112...21,1111ln 1211f x xf x x f x f x xf x x xf x x f x x df x x x x x x f x x x f x df x dx dx x x
x x df x dx x
x x f x dx dx x x arctgx x x
+-=⎧+-=⎪⇒-⎨--=-⎪⎩+++=+==⇒=+++⇒=+⇒=+=++-++⎰⎰⎰⎰例3 试求满足方程的 解：
得:()(
)(),0 00,,0 arcsin 00 00 arcsin y y x y y x y dy x x dx dy dx y x c
y c y x
ααα∆=+∆→=∆=+=+∆∆∴=⇒=+=∴=+∴=⎰⎰例4 设函数满足：其中为时的
高阶无穷小，求的表达式。

解：
二、齐次方程（可化为可分离变量的方程）
1、 形式：2''222211y
dy y dy x x y y x dx x dx x x y y x ϕϕ+
+⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- 如 2、 解法：,,y dy du u y xu u x x dx dx
=⇒==+⋅令 ()()du du dx u x u dx u u x ϕϕ∴+⋅
=⇒=-原方程变为： （这是可一个分离变量的方程）
3、例题分析 。

()cos cos 0cos cos ,cos cos ,1cos 1cos 11cos cos cos sin ln ln ln arcsin ln y y x y dx x dy x x y y y y y y dy x x x x y y dx x x x
y dy dy u y xu u x x dx dx
du u u u x dx u
du du x dx u dx x u
dx c udu u x c x x
c u ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭--====⇒==⋅+⋅-+=--⇒=⇒=∴=-⇒=-+=∴=例1 求的解。

解：令于是原方程变为：两边积分 arcsin ln c y x x x
∴=⋅ ()()2222 1 11arctan arctan 1dy x y dx
x y u y u x
dy du du du u u dx dx dx dx
du dx u x c x y x c u =++=⇒=-∴=--=⇒=+∴=⇒=+⇒+=++例2 求
的解。

解：令原方程变为：
()()''ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln cx
cx cx
xy y y x y u xy y xy xy u y x
du u du dx d u dx u dx x u u x u x u x c cx
e u cx u e e xy y x +=+⇒⇒=∴=⇒=∴=⇒=⇒=∴=+=∴=⇒=⇒=⇒=⎰⎰例3 求的通解。

解：不是分离变量也不是齐次的作变换
原式 令
Ex ：p269 2 p276 2（1）。