高中数学 第二章 推理与证明 2.3 复数的几何意义课件 a选修22a高二选修22数学课件

B．n＝k＋2
C．n＝2k＋2
D．n＝2(k＋2)
[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设 n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，
则还需要用归纳假设再证 n＝k＋2，
不是 n＝k＋1，因为 n 是偶数，k＋1 是奇数， 故选 B． 12/8/2021
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3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247成立时，起始值 n 至少
．故应选C．
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2．(2018·玉溪模拟)已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋…＋n＋1 1
＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用归纳假设再证 n＝( )时等式成立．( B )
A．n＝k＋1
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• 例如本题中，在推证n＝k＋1命题也成立时，可以用整除的定 义，将归纳假设(jiǎshè)表示出来，假设(jiǎshè)n＝k时，ak＋1＋(a＋ 1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋ 1)q(a)(q(a)为多项式)，
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新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
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第二章
推理 与证明 (tuīlǐ)
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2．2 直接证明与间接(jiàn 证明 jiē)
2．3 数学 归纳法 (shùxué)
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1
自主预习学案
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．
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由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
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• 『规律(guīlǜ)总结』 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第 一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等 式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时 结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋ 1证明目标的表达式变形．
．
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归纳(guīnà)——猜想——证明
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• 『规律总结』 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意 事项大致相同，需要注意的是：
• (1)在应用归纳假设证明过程中，方向(fāngxiàng)不明确时，可采 用分析法完成，经过分析找到推证的方向(fāngxiàng)后，再用综 合法、比较法等其他方法证明．
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[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所 以等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即有
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1，则当 n＝k＋1 时，
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝ 2kk＋2k1＋32k＋＋13＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1．
2n·1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从 k 到 k＋1”左端增加的代数式为( B )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
12/8/20C21 ．2kk＋＋11
D．2kk＋＋13
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[解析] (1)由数学归纳法步骤可知，验证 n＝1 成立时，左边所得项为 1＋a＋ a1＋1＝1＋a＋a2，故选 C．
• x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋ y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，
• ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)， •12/8/又2021 x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1
• 显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立． 第二十五页，共四十一页。
• 〔跟踪练习3〕
• 求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
• [证明] (1)显然(xiǎnrán)，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y
整除．
• (2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋ y2k－1，则当n＝2k＋1时，
这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数 学原理吗？ 12/8/2021
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• 数学归纳法
• 证明一个与正整数n有关的命题(mìng tí)，可按下列步骤进行：
• ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． •当n② _＝_k(_＋归_1_时纳_命_递题_推_(m_ìn)g_假tí)_也_设成_立_n_＝_k_(_k_≥_n_0．，k∈N*)时命题成立，证明
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f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 ≤12＋k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1<12＋k ＋21k＋21k＋…＋21k＝12＋(k＋1)， ∴n＝k＋1 时，命题成立． 综合 1°、2°可得：原命题对 n∈N*恒成立．
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[解析] 自变量的取值依次为 2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故为 2n．右边 分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，…，故右边为n＋2 2，即 f(2n)>n＋2 2．
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互动 探究学案 (hù dònɡ)
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[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由 n＝k 到 n＝k＋1 的推证过程可 应用放缩技巧，使问题简单化．
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[证明] 1°当 n＝2 时，1＋212＝54<2－12＝32，命题成立． 2°假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12<2－1k 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋k＋112< 2－1k＋k＋112<2－1k＋kk＋1 1＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由 1°、2°知原不等式在 n≥2 时均成立．
命题方向(fāngxiàng)1 ⇨数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 典例 1 证明：1×1 3＋3×1 5＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1．(n∈N*)
[思路分析] 第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成立，第二步假定 n＝k(k ∈N*)时命题成立，即
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1成立，并以此作为条件来推证等式 11×21/8/320＋21 3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3＝2k＋k＋11＋1成立．
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• 1．用数学(shùxué)归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1) 时，在验证n＝1成立时C ，左边所得的代数式是( )
• A．1
B．1＋3
• C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
• [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3
应取为( B )
A．7
B．8
C．9
D．10
[解析]
∵1＋12＋14＋…＋271－1＝11－－12127＝2－216＝272－6 1＝16247
而 1＋12＋14＋…＋281－1>16247，故应选 B．
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4．已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得 f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3， f(32)>72，由此推测，当 n>2 时，有 f(2n)>n＋2 2．
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〔跟踪练习 1〕
(1)用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(n∈N*，a≠1)，在验证 n
＝1 时，左边所得的项为( C )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
(2)(2016·天 津 高 二 检 测 ) 用 数 学 归 纳 法 证 明 (n ＋ 1)·(n ＋ 2)·…·(n ＋ n) ＝
k＋1
2k－1
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2k－1
• 『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的 式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被 某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、
拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题 得到解决．
• 利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证 P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除 ⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式 q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形(biàn xíng)转化分解因式产 生因式p．
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命题方向3 ⇨用数学归纳法证明(zhèngmíng)整除问题
•
典例 3 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*
，a∈R．
• [思路分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项 、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而
利用归纳假设使问题得以解决．
• [证明] (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显
然成立 ． (chénglì)
• (2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除
12/8/，2021 则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋ 1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
(2)B 当 n＝k 时，左边＝(k＋1)(k＋2)…＋(k＋k) 当 n＝k＋1 时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)， 增加代数式为 k＋1＋kk＋1＋k＋1
k＋1 ＝2(2k＋1)．
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命题(mìng tí)方向2 ⇨用数学归纳法证明不等式 典例 2 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n (n≥2)．
• (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将 表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证 明的结论．
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〔跟踪练习 2〕 求证：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋21n≤12＋n(n∈N*)． [证明] 设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋21n． 1°当 n＝1 时，f(1)＝1＋12，原不等式成立． 2°设 n＝k(k∈N*)时，原不等式成立． 即 1＋2k≤1＋12＋13＋…＋21k≤12＋k 成立， 当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1≥1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2 ＋12/…8/20＋21 2k1＋1>1＋2k＋2k1＋1＋2k1＋1＋…＋2k1＋1＝1＋2k＋12＝1＋k＋2 1．
• 所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1， • 所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1
• ＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 • ＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]
• ＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1 •12/8/＝2021 (a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，
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互动探究学案
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课时作业学案
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自主(zìzhǔ)预习学案
第五页，共四十一页。
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌 握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第 一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节 省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座 山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子 的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作， 构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！