四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上学期入学考试数学(理)试题及答案

成都龙泉中学2016级高三上学期入学考试试题
数学（理工类）
（考试用时：120分全卷满分：150分）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则
A. A⊆B
B. A∪B=R
C. A∩B={2}
D. A∩B=∅
2.若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为
A. B. C. D.
3.已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是
A. 命题“p∧q”是真命题
B. 命题“p∧q”是真命题
C. 命题“p∧q”是真命题
D. 命题“p∨q”是假命题
4.已知，则
A. B. C. D.
5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的
中点到准线的距离为
A. B. 2 C. 3 D. 4
6.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为
A. B. C. D.
7.有一长、宽分别为、的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是
A. B. C. D.
8.若，，，则大小关系为
A. B. C. D.
9.若f(x)= 是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为
A. (1,+∞)
B. (4,8)
C. [4,8)
D. (1,8)
10.已知是定义在上的奇函数，满足, 且当时，,则函数在区间上的零点个数是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
11.已知是非零向量，它们之间有如下一种运算：，其中表示
的夹角．下列命题中真命题的个数是
①；②；③；
④；⑤若，则，
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13.若数列满足，且，则__________．
14.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是__________．
15.____．
16.在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为__________．
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤）
17.已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18.某校高三有500名学生，在一次考试的英语成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）试问本次考试英语和数学的成绩哪个较高，并说明理由.
（Ⅲ）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望。

参考公式及数据：
若，则，
，.
19.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，
，．
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求二面角的余弦值．
20.已知A，B，C为椭圆E: 上三个不同的点，0为坐标原点，若O为△ABC的重心。

(1)如果直线AB、0C的斜率都存在，求证为定值；
(2)试判断△ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由。

21.已知函数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；
（2）若函数，求函数的值域.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，斜率为1的直线过定点.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；
（2）两曲线相交于两点，若，求的值.
成都龙泉中学2016级高三上学期入学考试试题
数学（理工类）解析
（考试用时：120分全卷满分：150分）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则
A. A⊆B
B. A∪B=R
C. A∩B={2}
D. A∩B=∅
【答案】D
【解析】
由，得，，则，故选D.
2.若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由得：，即，则复数的共轭复数为，故选
B.
3.已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是
A. 命题“p∧q”是真命题
B. 命题“p∧q”是真命题
C. 命题“p∧q”是真命题
D. 命题“p∨q”是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】
先判定命题的真假，即可得到结论，得到答案．
【详解】由判断，所以为假命题；
命题，所以为真命题，
所以命题“p∧q”是真命题，故选A．
【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中根据全称命题和存在性命题，准确判断命题的真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4.已知，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案．
【详解】因为，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的
中点到准线的距离为
A. B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出的中点的横坐标，求出线段的中点到抛物线的准线的距离．
【详解】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为，
设，所以，解得，
所以线段的中点的横坐标为，
所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准及其简单的几何性质的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质的合理运用，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．
6.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可得原几何体，如图所示，该几何体的高，底面为边长为的等腰直角三角形，所以该几何体中，直角三角形是底面和侧面,事实上，因为底面，所以平面底面，而，所以平面，所以，，
，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为，故选C．
考点：几何体的三视图及其面积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中得到原几何体表示四面体，且各个面的形状是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
7.有一长、宽分别为、的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
所求概率为几何概型，测度为长度，如图
,因此概率为
，选B.
8.若，，，则大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
，即，同理，而，因此．，故选D.
9.若f(x)= 是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为
A. (1,+∞)
B. (4,8)
C. [4,8)
D. (1,8)
【答案】C
【解析】
因为f(x)是R上的单调递增函数,所以解得4≤a<8,
故选：C.
10.已知是定义在上的奇函数，满足, 且当时，,则函数在区间上的零点个数是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B
【解析】
由，令，则，
∵，∴的图像关于点对称，
又是定义在上的奇函数，∴，
∴是周期为2的函数.
当时，为增函数，
画出及在上的图像如图所示，
经计算，结合图像易知，函数的图像与直线
在上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，
函数在区间上的零点个数是5.
11.已知是非零向量，它们之间有如下一种运算：，其中表示
的夹角．下列命题中真命题的个数是
①；②；③；
④；⑤若，则，
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的新定义，直接判断①②的正误，再利用向量的运算判断③的正误；利用新定义判断④的正误；利用新定义化简求解判断⑤的正误，即可得到答案．
【详解】由题意，向量是非零向量，定义一中运算，
则对于①中，，，所以，所以是正确的；
对于②中，，，当时相等，当时不相等，所以不正确；
对于③中，，满足加法对乘法的结合律，所以是正确的；
对于④中，当时，，所以，所以是正确的；
对于⑤中，设向量的起点均为原点，终点为，
因为，则，所以是正确，
综上，其中正确的命题共4个，故选C．
【点睛】本题主要考查了向量的新定义的应用，及向量的数量积的运算及性质，其中解答中紧紧把握向量的新定义的运算，准确作出化简与运算是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力．
12.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．
考点：双曲线离心率的计算．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13.若数列满足，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，化简得，再根据叠加法，即可求解答案．
【详解】由，则，
即，
所以
，
所以．
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，及数列的求和问题，其中根据题意化简函数的关系式，得到，再利用叠加法求和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．
14.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是__________．
【答案】
【解析】
试题分析：当输入的实数时，经过第一次循环得；经过第二次循环得
；经过第三次循环得，此时输出，输出的值为；令得；由几何概型得输出的不小于103的概率是．
考点：1、程序框图；2、几何概型．
【技巧点晴】本题主要考查的是程序框图中的循环结构、几何概型，属于基础题；解决程序
框图中的循环结构问题时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找出规律，此类问题属于基础题中的易错题，很多同学做题不够细心，多算一次或者少算一次，致使结果错误．
15.____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的定积分的公式以及定积分的几何意义，即可得到函数的定积分的值．
【详解】因为，
又的几何意义表示为对应上半圆的面积，
即，
所以，故答案为．
【点睛】本题主要考查了函数的定积分的计算问题，其中熟记定积分的计算公式，找出被积函数的原函数，以及定积分的几何意义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．16.在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为__________．
【答案】3
【解析】
如图，由于为的角平分线，且，，
由角平分线定理知：，
令，，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：，
在中，由余弦定理知：，
所以：
，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为3.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤）
17.已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当为偶数时，,当为奇数时，
【解析】
试题分析: (1)设等差数列的公差为,由展开求出公差 ,再写出数列的通项公式; (2)将化简,分为奇偶,利用裂项相消求出数列的前项和.
试题解析:（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，
解得或（舍），所以.
（Ⅱ）由，可得
，
当为偶数时，
.
当为奇数时，为偶数，于是
.
18.某校高三有500名学生，在一次考试的英语成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）试问本次考试英语和数学的成绩哪个较高，并说明理由.
（Ⅲ）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望。

参考公式及数据：
若，则，
，.
【答案】（1）英语、数学特别优秀的大约各10,12;（2）英语的平均成绩更高; （3）
【解析】
【分析】
（1）先求出英语和数学特别优秀的的概率，由此能求出英语和数学都特别优秀的人数；（2）分别计算得到英语和数学的平均分，比较平均分的大小，可得到结论；
（3）由题意得的所有可能的值为，分别求出相应的概率，由此得到的分布列，求解数学期望．
【详解】（1）英语成绩服从正态分布,
∴英语成绩特别优秀的概率为
数学成绩特别优秀的概率为,
∴英语成绩特别优秀的同学有人，
数学成绩特别优秀的同学有人.
（2）英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为
因为，
所以英语的平均成绩更高.
（3）英语和数学都特别优秀的有6人，单科优秀的有10人，可取得值有0,1,2,3，
；；
；
故的分布列为：
的数学期望为（人）．
或：因服从超几何分布，所以
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，其中解答中认真审题，明确题意，同时注意排列、组合知识的应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
19.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，
，．
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合几何关系可得平面，结合面面垂直的性质有.
(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值是. 试题解析：
（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，
所以，又，所以，
又因为，而，且，
所以平面，又因为，
所以.
（2）解：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
于是，
求得平面的一个法向量为，
由，求得平面的一个法向量
为，则，
所以二面角的余弦值为.
点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
20.已知A，B，C为椭圆E: 上三个不同的点，0为坐标原点，若O为△ABC的重心。

(1)如果直线AB、0C的斜率都存在，求证为定值；
(2)试判断△ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由。

【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出两个坐标间的关系，由斜率公式表示出两条直线的斜率，乘积判断是否为定值。

（2）根据弦长公式，求得AB长度，由点到直线距离公式求得高，再用面积公式判断是否为定值。

【详解】（1）设直线，代入得：
设，
则；
由得：
线段中点 ,因为为的重心，
所以为定值.
（2）设，则
代入得，又，
原点到的距离
于是
所以（定值）.
【点睛】本题考查了直线与椭圆相交时的位置关系及简单应用，主要是利用韦达定理建立两个坐标间的关系，进而求得最后的解，属于中档题。

21.已知函数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；
（2）若函数，求函数的值域.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）对任意的恒成立，等价于对任意的，由此能求出实数的最小值．
（2）推导出，由此能求出数的值域．【详解】（1）对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
等价于对任意的
因为，
当且仅当时取等号，所以，得.
所以实数的最小值为.
（2）因为，
所以，
当时，，
当时，.
综上，.
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查函数的值域的求法，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，斜率为1的直线过定点.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；
（2）两曲线相交于两点，若，求的值.
【答案】（1），的参数方程为是（为参数）.（2）.
【解析】
试题分析：（1）由得，可得，由直线的参数方程. （2）将直线的参数方程代入中，得到，设对应的参数分别为，则，，即可求解。

试题解析：
（1）由得，所以曲线的直角坐标方程为，即
，所以直线的参数方程为是（为参数）.
（2）将直线的参数方程代入中，得到，设对应的参数分别为，则，，故.。