2019年上海中考数学·专项训练 函数图象中点的存在性问题

2019年上海中考·专项讲义
（函数图象中点的存在性问题）
这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图象上探求符合几何条件的点.
简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式.
复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,进而用待定系数法求函数的解析式.
还有一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.
类型一：因动点产生的相似三角形问题
相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步: 寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.
如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分=和=两种情况列方程.
应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.
应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).
还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.
求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.
如图,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?
我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC 的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.
例题1 如图1所示,已知二次函数y=-x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过A(3, 1)、C(0, 4)两点,顶点为M,过点A 作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2) 若将该二次函数的图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3) 点P是直线AC上的动点,若点P、C、M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
图1 备用图
例题2 如图1,已知抛物线y=ax2-x+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1, 0),顶点为B.点C(5, m)在抛物线上,直线BC交x轴于点E.
(1) 求抛物线的表达式及点E的坐标;
(2) 连结AB,求∠B的正切值;
(3) 点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧),当△CGM与△ABE相似时,求点M 的坐标.
图1
例题3 如图1,△ABC的边AB是☉O的直径,点C在☉O上,已知AC=6cm, BC=8cm,点P、Q分别在边AB、BC上,且点P不与A、B重合,BQ=kAP(k>0),连结PC、PQ.
(1) 求☉O的半径长;
(2) 当k=2时,设AP=x, △CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3) 如果△CPQ与△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.
图1 备用图
例题4 如图1所示,直线y=-x+c与x轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B.
(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2) M(m, 0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.
①点M在线段OA上运动,若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;
②点M在x轴上自由运动,若三个点M、P、N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.
图1
备用图
类型二：因动点产生的等腰三角形问题
我们先回顾两个画图问题:
1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?
2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?
已知腰长画等腰三角形,用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C.
已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.
在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类.
如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.
解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题既好又快.
几何法一般分三步: 分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?
如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.
①如图1,如果AB=AC,直接列方程;
②如图2,如果BA=BC,那么AC=AB cos∠A;
③如图3,如果CA=CB,那么AB=AC cos∠A.
代数法一般也分三步: 罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.
如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来.
图1
图2
图3
例题3 如图1所示,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物线y=x2+bx+c经过点A交y轴于点B(0, -2).
点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3) 如图2所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
图1
图2
备用图
例题5 如图1所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线l 经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连结CE,已知点A、D的坐标分别为(-2, 0)、(6, -8).
(1) 求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2) 试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0, m),直线PB与直线l交于点Q.试探究: 当m为何值时,△POQ是等腰三角形.
图1
例题6 如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3, 1),点B的坐标为(6, 5),点C的坐标为(0, 5),某二次函数的图象经过A、B、C三点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 假如点Q在该二次函数图象的对称轴上,且△ACQ是等腰三角形,请直接写出点Q的坐标;
(3) 如果点P在(1)中求出的二次函数的图象上,且tan∠PCA=,求∠PCB的正弦值.
图1
例题7 如图1,矩形ABCD中,AB=6, BC=8, P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD是矩形,连结CF.
(1) 若△PCD为等腰三角形,求AP的长;
(2) 若AP=,求CF的长.
图1
例题8 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为
(-3, 0),点B的坐标为(4, 0),连结AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连结PQ.
(1) 填空: b= , c= ;
(2) 在点P、Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;
(3) 在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;
(4) 如图2,点N的坐标为-,线段PQ的中点为H,连结NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q'的坐标.
图1 图2
备用图
例题9如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-x-与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交
于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4, n)在抛物线上.
(1) 求直线AE的解析式;
(2) 如图2,点P是直线CE下方抛物线上的一点,连结PC、PE.当△PCE的面积最大时,连结CD、CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
(3) 点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y', y'经过点D, y'的顶
点为F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 图2
类型三：因动点产生的直角三角形问题：
先看三个问题:
1.已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?
2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?
3.已知点A(4, 0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.
图1 图2 图3
如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.
解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.
一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.
解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.
如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.
图4
如图4,已知A(3, 0), B(1, -4),如果直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上,求点C的坐标.
我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.
如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.
设OC=m,那么=-.
这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.
例题10如图,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4, 3),点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1: y=2x+3,直线l2: y=2x-3.
(1) 分别求直线l1与x轴、直线l2与AB的交点坐标;
(2) 已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;
(3) 我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上,Q是坐标平面内的点,且点N的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).
请打开几何画板文件名“16义乌绍兴24”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有3个点M可以落在直线y=2x-3上.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有4个点N随点P运动.
1.第(2)题:设M(x, 2x-3),擦去两条直线,在BC上取点P.
2.以AP为斜边构造等腰Rt△APM,再以MA和MP为斜边构造直角三角形全等.
3.以AP为直角边构造等腰Rt△APM,再以AP和PM为斜边构造直角三角形全等.
例题12 如图1,点A的坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A的右侧,连结BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连结AD交BC于点E.
(1) ①直接回答:△OBC与△ABD全等吗?
②试说明:无论点C如何移动, AD始终与OB平行;
(2) 当点C运动到使AC2=AE·AD时,如图2,经过O、B、C三点的抛物线y1.试问:y1上是否存在动点P,使△BEP 为直角三角形且BE为直角边?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在(2)的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=x+m的图象l与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值.
图1 图2
请打开几何画板文件名“17达州25”,拖动y轴上的点H可以平移直线l,可以体验到,当直线l与开口向下的抛物线左侧相切,或与开口向上的抛物线右侧相切时,直线l与两条抛物线的公共点有3个.
1.△CBO绕着点B逆时针旋转60°与△DBA重合,把图形中60°的角都标记出来.
2.第(2)题要分三步完成:先确定点C,再求抛物线的解析式,最后分两种情况讨论点P,共有3个符合条件的点P.
3.第(3)题采用数形结合思想,当直线与抛物线相切时,联立方程组消去y,那么Δ=0.
例题12 如图,已知☉O的半径长为1, AB、AC是☉O的两条弦,且AB=AC, BO的延长线交AC于点D,连结OA、OC.
(1) 求证:△OAD∽△ABD;
(2) 当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;
(3) 记△AOB、△AOD、△COD的面积为S1、S2、S3,若S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.
请打开几何画板文件名“17上海25”,拖动点A运动,可以体验到,△OAB和△OAC是两个全等的等腰三角形,4个底角保持相等,△OCD可以两次成为直角三角形.观察面积比的度量值,可以体验到,当两个面积比相等时,比值就是黄金分割数.
1.把相等的弦所对的圆心角标记出来,由此得到的等腰三角形的底角都相等.
2.直角三角形OCD存在两种情况,不存在∠OCD为直角的可能.
3.第(3)题中的三个三角形都是等高三角形,把面积比转化为对应底边的比.
类型四：因动点产生的平行四边形问题
我们先思考三个问题:
1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?
2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?
3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?
图1 图2 图3
如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.
如图2,已知A(0, 3), B(-2, 0), C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?
点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).
如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等.
关系式x A+x C=x B+x D和y A+y C=y B+y D有时候用起来很方便.
我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.
图4
如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点, AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么点A的坐标可以表示为(x, -x2+2x+3),点C的坐标可以表示为(x, x-1).
线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为
AB=y A=-x2+2x+3,
线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为
AC=y A-y C=-x2+2x+3-(x-1)=-x2+x+4.
通俗地说,数形结合就是: 点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.
例题13如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 9),与y轴交于点A(0, 5),与x轴交于点E、B.
(1) 求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2) 过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB 于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;
(3) 若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.
请打开几何画板文件名“16泰安28”,拖动点P在AC上方的抛物线上运动,可以体验到,S随P变化的图象是开口向下的抛物线的一部分.拖动点N在对称轴上运动,可以体验到,两个点M都有机会落在抛物线上.
1.设抛物线的顶点式比较简便.
2.四边形APCD的对角线互相垂直,面积等于对角线积的一半.
3.因为AE与MN平行且相等,所以M、N两点间的水平距离、竖直距离与A、E两点间的水平距离、竖直距离分别相等.
例题14 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.
(1) 求点A的坐标;
(2) 求直线AC的表达式;
(3) 点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.
请打开几何画板文件名“17普陀24”,可以体验到,以A、B、E、F为顶点的菱形存在四种情况,其中一种情况点F在x轴的下方.
1.从待定系数的二次函数的解析式中可以得到抛物线的对称轴是直线x=1,然后这道题目和抛物线没有什么关系了.
例题15 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C: y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,顶点为D(0, 4), AB=4.设点F(m, 0)是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180° 得抛物线C'.
(1) 求抛物线C的函数表达式;
(2) 若抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;
(3) 如图2, P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C'上的对应点为P'.设M 是C上的动点,N是C'上的动点,试探究四边形PMP'N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
图1 图2
请打开几何画板文件名“17成都28”,拖动点F运动,可以体验到,正方形PMP'N的顶点M、N共有三次机会同时落在两条抛物线上,其中一次点F运动到原点.
1.用m表示抛物线C'的顶点坐标,设抛物线C'的顶点式.
2.抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,一个临界时刻是抛物线C'经过点D,另一个临界时刻是B、F重合.
3.第(3)题:先构造正方形,用m表示点M的坐标,再把点M代入抛物线C的解析式求解m的值.
例题16 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4, 0),与过点A的直线相交于另一个点D,过点D作DC⊥x轴,垂足为C.
(1) 求抛物线的表达式;
(2) 点P在线段OC上(不与点O、C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连结CM,求△PCM面积的最大值;
(3) 若点P是x轴正半轴上一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
请打开几何画板文件名“17菏泽24”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,N在M上方时,不存在NM=DC 的情况;M在N上方时,存在MN=DC.
1.点N、M、P的横坐标都用t表示,点N、M的纵坐标分别用抛物线和直线AD的解析式表示.
2.第(2)题先求S△PCM关于t的二次函数,再求这个二次函数的最大值.
3.第(3)题根据NM与DC相等列方程,分两种情况:N在M上方,M在N上方.
例题17 如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3).点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.
(1) 求二次函数的表达式;
(2) 过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;
(3) 若∠DMN=90° MD=MN,求点M的横坐标.
图1 备用图
请打开几何画板文件名“17威海25”,拖动点M在抛物线上运动,可以体验到,MD=MN存在四种情况.
1.设MN与抛物线的对称轴交于点H,那么MN=2MH.因此ME、MN的长就可以用点M的坐标表示了.
2.第(3)题中MN=MD,点M与D、N的位置关系存在四种情况
例题18 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连结AC、BC.
(1) 求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;
(2) 求△ABC外接圆的半径;
(3) 点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
请打开几何画板文件名“17宿迁25”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P和点P'各有四次机会落在抛物线上,其中一次机会与点C重合.
1.翻折以后的抛物线与x轴的交点不变,开口方向改变了,可以直接写出交点式.
2.观察△ABC的三个顶点,发现AB边和BC边的垂直平分线都是特殊的直线,这两条直线的交点就是△ABC外接圆的圆心.
3.第(3)题的平行四边形,以BC为分类标准,按照边或者对角线分两种情况讨论.
类型五：因动点产生的梯形问题：
解梯形的存在性问题一般分三步:
第一步分类,第二步画图,第三步计算.
一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.
因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.
如图1,已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点F与点B关于x轴对称,点E在双曲线y=(x>0)
上,如果四边形BAFE是梯形,怎样求点E的坐标呢?
过点F作AB的平行线,构造直角三角形相似,于是就可以用对应边成比例列方程了.
设点E的坐标为,根据tan∠BAO=tan∠EFH,得=.
解方程=--
,得x=4或x=-2.
显然x=4是符合题意的,x=-2在第三象限,形成的梯形是BAEF,不符合题意.
如图2,四边形ABCD是等腰梯形,那么A、B、C、D四个点的纵坐标之间有怎样的数量关系?如图3,四边形OABC 是等腰梯形,那么O、A、B、C四个点的横坐标之间有怎样的数量关系?
如图2中,由AE=FB(形),得y A-y D=y C-y B(数).
如图3中,由OE=FA(形),得x C-x O=x A-x B(数).
图1 图2 图3
例题19 在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A,与双曲线y=有一个公共点B,它的横坐
标为4.过点B作直线l∥x轴,与二次函数图象交于另一点C,直线AC的截距是-6.
(1) 求二次函数的解析式;
(2) 求直线AC的表达式;
(3) 平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16普陀24”,可以体验到,以A、B、C、D为顶点的四边形的等腰梯形有两个.
1.先求出点B的坐标,写出点A的坐标,再代入二次函数的解析式列方程组.
2.如果以A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,那么对称轴就是△ABC的一边的垂直平分线.
3.等腰梯形分三种情况讨论.
例题20 如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、N分别在x轴和y轴的正半轴上,OM=6, ON=3,反比例函数y=的图象
与PN交于点C,与PM交于点D,过点C作CA⊥x轴于点A,过点D作DB⊥y轴于点B, AC与BD交于点G.
(1) 求证: AB∥CD;
(2) 在直角坐标平面内是否存在点E,使以B、C、D、E为顶点, BC为腰的梯形是等腰梯形?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16闸北24”,可以体验到,以BC为腰的等腰梯形有两个,对称轴分别是BD和CD的垂直平分线.
1.第(1)题证明内错角的正切值相等.
2.第(2)题先根据等腰梯形的性质分三种情况画图确定存在性,再用方程进行计算.分别画△BCD的边BD和边CD的垂直平分线为等腰梯形的对称轴,可以确定以BC为腰的等腰梯形有两个.
例题21如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-2, 0)和原点,点B在抛物线上且tan∠BAO=,
抛物线的对称轴与x轴相交于点P.
(1) 求抛物线的解析式,并直接写出点P的坐标;
(2) 点C为抛物线上一点,若四边形AOBC为等腰梯形且AO∥BC,求点C的坐标;
(3) 点D在AB上,若△ADP与△ABO相似,求点D的坐标.
请打开几何画板文件名“17虹口24”,拖动点D在AB上运动,可以体验到,△ADP与△ABO相似存在两种情况.点击屏幕左下角的按钮“第(2)题”,可以体验到,以A、O、B、C为顶点的等腰梯形存在三种情况,其中AO∥BC 时,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.
1.已知二次函数的二次项系数和抛物线与x轴的两个交点,可以直接写出交点式.
2.等腰梯形AOBC当AO∥BC时,C、B两点关于抛物线的对称轴对称.
3.分两种情况讨论△ADP与△ABO相似.由于∠A是公共角,根据夹∠A的两边对应成比例,分两种情况列方程,先求AD的长,再求点D的坐标.
类型六：因动点产生的面积问题
面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:
第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根.
第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.
如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式.
如图2、图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法.
图1 图2 图3
计算面积常用到的策略还有:
如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.
如图5,同底三角形的面积比等于高的比.
如图6,同高三角形的面积比等于底的比.
图4 图5 图6
例题22 已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、B.
(1) 求m的取值范围;
(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;
(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16广州24”,拖动表示实数m的点在x轴上运动,可以体验到,抛物线经过A、P两个确定的点,△ABP的高为定值,当m=8时,AB最大.
1.已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).
2.第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.
3.第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.。