2010年福建省高考模拟理科数学试卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分，考试时间120分钟．
命题人：厦门外国语学校 吴育文
注意事项：
1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：
样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差
])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -++-+-=
其中x 为样本平均数; 柱体体积公式 Sh V =
其中S 为底面面积,h 为高
锥体体积公式
Sh V 3
1=
其中S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
24R S π= ，33
4R V π=
其中R 为球的半径
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的． 1．设a ∈R ，若2i i a -()（i 为虚数单位）为正实数，则a =
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
2．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：
直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2
x π
=
所围成的平面区域的面积为
A ．20
(sin cos )x x dx π
-⎰
B ．40
2(sin cos )x x dx π
-⎰
C ．20(cos sin )x x dx π-⎰
D ．40
2(cos sin )x x dx π
-⎰
4．下列向量中与向量)3,2(-=a 平行的是 A ．（-4，6） B ．（4，6） C ．（-3，2） D ．（3，2） 5．函数)1lg()(2
x x x f +=是
A ．奇函数
B ．既是奇函数又是偶函数
C ．偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数 6．设函数)(x f y =在区间),0(+∞内是减函数，则)6
(s in πf a =，)4
(sin
π
f b =，
)3
(sin π
f c =的大小关系是
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a >> 7．设n S 为等差数列｛n a ｝的前n 项和，且1073=+a a ，则=9S
A ．45
B ．50
C ．55
D ．90 8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是
A ．20%
B ．25%
C ．6%
D ．80% 9．将函数x y sin =的图像按向量)1,1(=a 平移得到的图像对应的一个函数解析式是
A ．)1sin(1++-=x y
B ．)1sin(1++=x y
C ．)1sin(1-+-=x y
D ．)1sin(1-+=x y
10．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，， ）
．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，
_
频率 分数
0.005
0.010 0.020 0.015 0.025 0.030 0.035 40 50 60 70 80 90 100
组距
7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A ．48 B ．96 C ．144 D ．192
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 .
12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依
次记为),(11y x ，),(22y x ， ，(,)n n x y , ，则程序运 行结束时输出的最后一个数组为 .
13．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ．
14．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥-+≥-,083,03,
02y x y x y x 则3x －y 的最小
值是________.
15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义 )4)(2(!!--=n n n n ，
若n 为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。

我们称
之为双阶乘(Double Factorial)n 对夫妇任意地排成一列，则每
位丈夫都排在他的妻子后面的概率是________.（结果用含双
阶乘的形式表示） 三、解答题（本大题有6小题，共74分） 16．（本题满分13分）
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也
可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和2
9
；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能
亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、1
3和115
．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； 17．（本题满分13分）
如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．
（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．
结束 输出(x ，y ) 是
开始 x ←1, y ←0, n ←1
n ＞ 8
否
n ← n ＋2
第11x ← 3x
y ← y －2
第11题图
18．（本题满分13分）
一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一 圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且 两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ．
（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点,M N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内 壁圆弧相切于点P ．设(rad)CMN θ∠=，试用θ表示木棒MN 的长度()f θ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
19．（本题满分13分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的某个焦点为F ，双曲线1:2222=-b y a x G )0,(>b a 的 某个焦点为F ．
（1）请在 上补充条件，使得椭圆的方程为13
22
=+y x ；
友情提示：不可以补充形如1,3==b a 之类的条件。

（2）命题一：“已知抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，定点),(n m P 满足
022>-pm n ，以PF 为直径的圆交y 轴于A 、B ，则直线P A 、PB 与抛物线相切”．命 题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线)0(22
>=p px y ，定点P ，以PF 为直径 的圆交y 轴于A 、B ，P A 、PB 与抛物线相切．
试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C 和双曲线G 的类似正确的命题； （3）证明命题一的正确性． 20．（本题满分14分）
已知函数2
()ln (0,1)x
f x a x x a a a =+->≠.
（Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；
（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.
N M A B
C D E F G H P Q
θ 1m 1m
m 1m 1m
m 第18题图 E D C 第17题图
A B
21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,
则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换
求矩阵21 30A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的特征值及对应的特征向量. (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程：12x t
y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：
)4
sin(22π
θρ+=．
（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．
(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲
已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒
成立，求实数x 的范围.
2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
理科试题试题参考解答及评分标准
说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算． 1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C 二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 11．x R ∃∈,sin 1x <- 12．(27,6)- 13．01=--x y 14．7 15．
)!
2(!
)!12(!n n n -
【15题解析】
(理解一)排列的总数是)!2(n .为了计算有利场合的个数，可以这样考虑.首先把n 个丈夫进行排列，共有!n 种可能.然后让排在第一的那位丈夫的妻子插人队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进人队伍.现在她的丈夫之前已有两人，因此她有3种位置可选择.排在第三位的丈夫的妻子进人队伍有5种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有)12(-n 个位置可选择.因此有利场合总数是
!)!12(!)12(31!-=-⋅⋅n n n n ，所以要求的概率是
)!
2(!
)!12(!n n n -。

(理解二)对于每个家庭来说，丈夫排在妻子后面的概率都是2
1
，有n 对夫妻，因此概率应该为
n 21，下面只要想办法将n 2
1化简为含有双阶乘形式就可以了。

n n n n n n n n 2
112)12(2!)12(31)!2(!)!12(!=⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=- 。

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．解：若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为
1ξ 300 150- P
79
29
172
300(150)20099
E ξ∴=⨯+-⨯=（万元）. ………………4分
若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：
2ξ 500 300- 0 P
3
5
13
115
2311
500(300)02005315
E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元）.……………………8分
又22172
(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=，……………10分
2222311
(500200)(300200)(0200)1400005315
D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=………12分
所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．………………………………………………………………………………13分
17. 解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P ． ……1分
证明如下：
取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则
AC FP //，AC FP 2
1
=
， …………………2分 取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒， ∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴AC MC ED 2
1
=
=．又∵AC ED //，………3分 ∴FP ED //且ED FP =，
A
B
C
D E P
M F
四边形EFPD 是平行四边形．……………………4分 ∴EF DP //，
而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，
∴//DP 平面EAB ． ……………………6分
（2）（解法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ， ∵AC ED //， ∴l ED //，
l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分
∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥， ∴⊥DC 平面ABC ，
又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ， ∴DG l ⊥，
∴DGC ∠是所求二面角的平面角．………………11分 设a AE AC AB 2===，则a CD 3=，a GC 2=，
∴a CD GC GD 722=+=
，
∴7
7
2cos cos ==
∠=GD GC DGC θ． ………………………13分 （解法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，
∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内（如图）．
设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，)3,
,0(a a E ，
)3,2,0(a a D ．
∴
)
3,,2(a a a EB --=，
)0,,0(a ED =， ………………………8分
设平面EBD 的法向量为),,(z y x =n ， 则EB ⊥n 且ED ⊥n ，
A
B
C
D
E P
M F
G
∴⎩⎨⎧=⋅=⋅.
0,0ED EB n n ∴⎩⎨⎧==--.
0,032ay az ay ax 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.
0,2
3y z x
取2z =，得平面EBD 的一个法向量为
)2,0,3(=n . …………………………11分
又∵平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(='n ． 7
7
210020)3(120003,cos cos 2
22222=
++⋅++⨯+⨯+⨯=
>'<=θn n ．…………13分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．(1)如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作TQ 的垂线，垂足为W ． 在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，θ∠=SNW ，
所以2
cos θ
=
NS ．
因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ MN ， 在R ∆t QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ，
所以1cos θ=QS ，1
2cos θ
-=-QT QS ，
①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS
在R ∆t STM 中，sin sin θθ
-==
TS QT QS MS ， 因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QS
NS
②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS QT
在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==
TS QS QT
MS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ
-=+
QT QS
NS N
M
A B
C D E F
G H P S
θ
1m
1m
m
1m
1m
m
T
Q W
A
B C
D
E P
M F
y
x
z
()θ=f MN sin θ-=+
QT QS NS 221
()cos sin sin cos θθθθ
=+-
2(sin cos )1(0)sin cos 2
θθθθθ+-π=<<．………………………………………6分
（2）设sin cos (12)t t θθ+=<≤，则21
sin cos 2
t θθ-=，
因此242
()()1t f g t t θ-==-．
因为222
4(1)
()(1)t t g t t -+'=--，又12t <≤，所以()0g t '<恒成立， 因此函数242
()1
t g t t -=-在(1,2]t ∈是减函数，所以min ()(2)422g t g ==-，
即min 422MN =-． 答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为422-．
…………………………………………………………………………13分
19.解:
（1）补充一：椭圆的离心率为36=
e ，且椭圆的长轴长为32 补充二：椭圆过)0,3(和)3
6,1( 补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为32，且椭圆的一条准线长为
2
2
3 类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）
（2）命题一：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的某个焦点为F ，定点),(n m P 满足12
2
22>+b
n a m ，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+交于A 、B 两点，则PA 、PB 与椭圆相切。

…………………………………………………………………………………………5分
命题二：已知双曲线1:22
22=-b
y a x G )0,(>b a 的某个焦点为F ，定点),(n m P 满足
12
2
22<-b
n a m ，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+交于A 、B 两点，则PA 、PB 与双曲线相切。

…………………………………………………………………………………………9分 （3）证明：
以PF 为直径的圆的方程为0)()2
)((=-+-
-n y y p
x m x ，设A ),0(),,0(21y B y ，则
02
1
)(11=+
-pm n y y ，直线PA 的方程为x y p x m y n y y 1112=-=-，即022211=+-y y y px
联立⎪⎩⎪⎨⎧==+-px
y y y y px 202222
11，消去x 得到0442
112=+-y y y y ，所以0=∆，所以直线PA
与抛物线相切。

同理可证PB 与抛物线相切。

………………………………………………………………13分 20．解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x
x
f x a a x a x a a '=+-=+-
由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x
a a >->，所以()0f x '>， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增…………4分
（Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =………………6分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：
x
(,0)-∞
(0,)+∞
()f x ' － 0 ＋
()f x 递减 极小值 递增
又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根， 而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = …8分
（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，
所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥- 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，
所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，
而1
1
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为2
2121()1(1)0g t t t t
'=+-=-≥（当1t =时取等
号），
所以1()2ln g t t t t
=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， 所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，
也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-……………13分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e
--≥-⇒
+≥-⇒<≤，
综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e
⎛⎤∈+∞ ⎥⎝
⎦
………………………………14分
21.解
（1）．解：设A 的一个特征值为λ，由题意知：
()3.1 , 032 0 31
221=-==-⋅-=---λλλλλ
λ即，所以 ………………3分
11112 111 ,3 03A x x a y y λ=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
当时,由得属于特征值的特征向量……5分 22 3 , 32 113 3 01A x x a y y λ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
当时,由得属于特征值的特征向量 ……7分
（2）．解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ………………3分
22sin()4π
ρθ=+，即)c o s (s i n
2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，
得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(2
2
=-+-x x ………………………5分 （Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离25
5
212|112|2
2<=
++-=d ，所以直线l 和⊙C 相交…… 7分
（3）．解：由()a b a b a f x ≥++-，且0a ≠，得||||
()||
a b a b f x a ++-≥ ……3分
又因为
||||||
2||||
a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥………………5分
解不等式122x x -+-≤，得1522
x ≤≤…………………… 7分。