4.8洛朗级数的展开

1− z
解： f ( z ) =
1
1 1
1
z z2
zn
=
= (1 + + 2 + + n + )
z
2 − z 2 1−
2
2 2
2
2
( B)
例2：函数 f ( z ) =
1
( z − 1)( z − 2 )
（1）0 z 1（2）
； 1 z 2；
在圆环域：
（3）2 z + 内是处处解析的，试把函数在这些区域内展开
z
z
z 2 4 8
例2：函数 f ( z ) =
1
( z − 1)( z − 2 )
（1）0 z 1（2）
； 1 z 2；
在圆环域：
（3）2 z + 内是处处解析的，试把函数在这些区域内展开
成洛朗级数.
1
1
−
1− z 2 − z
2
（3）在 2 z + 内，由于 z 2 ，从而 z 1，所以
1
1 1
1
2 4
=−
= − (1 + + 2 + )
2− z
z 1− 2
z
z z
z
1 2
由于此时 1，从而 (C ) 式仍然成立
z
z
解：f ( z ) =
例2：函数 f ( z ) =
1
( z − 1)( z − 2 )
（1）0 z 1（2）
； 1 z 2；
在圆环域：
1
( z − 1)( z − 2 )
（1）0 z 1（2）
； 1 z 2；
在圆环域：
（3）2 z + 内是处处解析的，试把函数在这些区域内展开
成洛朗级数.
解： f ( z ) =
1
1
−
1− z 2 − z
1
（2）在 1 z 2 内，由于 z 1 ，从而 z 1 ，所以
z
z z
z
z z
1 3 7
= 2 + 3 + 4 +
z
z z
谢谢观看！
成洛朗级数.
1
1
−
1− z 2 − z
z
（1）在 0 z 1 内，由于 z 1 ，从而 1 ，所以
2
1
z z2
2
f ( z ) = (1 + z + z + ) − (1 + + + )
2
2 4
1 3
7 2
= + z + z +
2 4
8
解： f ( z ) =
例2：函数 f ( z ) =
和积分等方法，以唯一性为依据来得出一个在圆环域内解析函数
的洛朗展开式.这种方法称为间接法.
ez
例1：把函数 f ( z ) = 2 在以 = 0为中心的圆环域内展开成洛朗级数.
z
z
e
解： f ( z ) = 2 在复平面内只有一个奇点 = 0，
z
在圆环域
f ( z) =
ez
z2
内解析，
2
n
+ n
成洛朗级数.
解： f ( z ) =
1
1
−
1− z 2 − z
1
（2）在 1 z 2 内，由于 z 1 ，从而 z 1 ，所以
1
1 1
1
z z2
f ( z ) = − (1 + + 2 + ) − (1 + + + )
z
z z
2
2 4
1
1
1 1 z z2
= − n − n−1 − − − − − −
复变函数与积分变换
第三节 洛朗级数
一、洛朗定理
二、将函数展开为洛朗级数的方法
二、将函数展开为洛朗级数的方法
1.直接展开法
利用洛朗定理，在指定的圆环域内直接计算系数
1
Cn =
2 i
f ( )
( − z )
c
n +1
d
0
2.间接展开法
借助于一些已知函数的展开式，利用代数运算、变量代换、求导
1
1 1
1
1 1
(C )
=−
= − (1 + + 2 + )
1− z
z 1− 1
z
z z
z
z
由于此时 z 2，从而 1，所以 ( B) 式仍然成立
2
例2：函数 f ( z ) =
1
( z − 1)( z − 2 )
（1）0 z 1（2）
； 1 z 2；
在圆环域：
（3）2 z + 内是处处解析的，试把函数在这些区域内展开
（3）2 z + 内是处处解析的，试把函数在这些区域内展开
成洛朗级数.
11Leabharlann −1− z 2 − z
2
（3）在 2 z + 内，由于 z 2 ，从而 z 1，所以
解：f ( z ) =
1
2 4
1
1 1
f ( z ) = (1 + + 2 + ) − (1 + + 2 + )
z
z
z
利用公式 e z = 1 + z + + + + = ,
2!
n!
n =0 n !
ez
1
f ( z) = 2 = 2
z
z
+
zn 1 1 1 z z2
= 2 + + + + +

z
z 2! 3! 4!
n = 0 n!
z +
例2：函数 f ( z ) =
1
( z − 1)( z − 2 )
（1）0 z 1（2）
； 1 z 2；
在圆环域：
（3）2 z + 内是处处解析的，试把函数在这些区域内展开
成洛朗级数.
1
1
−
1− z 2 − z
z
（1）在 0 z 1 内，由于 z 1 ，从而 1 ，所以
2
1
( A)
= 1 + z + z 2 + + z n +