【精品整理】2020年新高考数学自学检测黄金卷02(解析版)

2020年新高考数学自学检测黄金（02）卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．在复平面内，复数cos3sin3(z i i =+是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B
【解析】本题考查三角函数的符号,复数的几何意义.
复数cos3sin3z i =+在复平面内对应点坐标为()cos3,sin3;因为
3,2
π
π<<所以
cos30,sin30;则()cos3,sin3是第二象限点.故选B
2．已知0.81.5a =，2log 5b =，sin1cos1c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．b c a >>
【答案】B
【解析】0.81.5 1.5a =<，0.801.5 1.51a =>=，()1,1.5a ∴∈
22log 5log 42b =>=，2b ∴> ，
1,43ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
Q
sin1cos1∴> ，sin1cos10∴-> ，
并且()()sin10,1,cos10,1∈∈ ，sin1cos11∴-<
()0,1c ∴∈ ，
综上可知b a c >>. 故选：B
3．若函数()()sin x
f x e x a =+在区间,22ππ
⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．)
2,⎡+∞⎣
B ．[
)1,+∞ C ．()1,+∞
D ．()
2,-+∞
【答案】B
【解析】由题意得：()()sin cos 2sin 4x
x x f x e
x a e x e x a π⎛⎫⎛⎫'=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()f x Q 在,22ππ
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递增 ()0f x '∴≥在,22
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上恒成立
又0x e > 2sin 04x a π⎛
⎫
∴+
+≥ ⎪⎝
⎭
在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上恒成立
当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，
3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 2sin ,142x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝
⎭⎝⎦ (
2sin 1,24x a a a π⎛
⎫⎤∴++∈-++ ⎪⎦⎝
⎭ 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B
4．在ABC ∆中，已知BC 边上的中线AD 长为2，2BC =，则AB AC ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．12
B ．-12
C ．3
D ．-3
【答案】C 【解析】
()()
()
2
2221112424
4
AD AB AC AD AB AC
AB AC AB AC =+∴=+=++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r 即22216AB AC AB AC ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
()()
2
22224BC AC AB BC AC AB
AB AC AB AC =-∴=-=+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
相减得到4123AB AC AB AC ⋅=∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C
5．在数列{}n a 中，若12211,3,(1)n n n a a a a a n ++===-≥，则该数列的前50项之和是（ ） A ．18 B ．8
C ．9
D ．4
【答案】D
【解析】由题意得123214325431,3,2,1,3,a a a a a a a a a a a ===-==-=-=-=-
6542,a a a =-=-7651,a a a =-=8763,a a a =-=故数列{}n a 为周期为6的周期函数.
且1234561321320a a a a a a ++=++--+-+=+.故该数列的前50项之和
()1234564950152084S a a a a a a a a a a =⨯++++++++==.
故选：D
6．过抛物线C ：24y x =焦点的直线交该抛物线C 于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点P ，如图所示，则PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值是（ ）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．18
【答案】C
【解析】因为双曲线的焦点(1,0)F ,
所以设直线AB 的方程为(1)y k x =-,1122(,),(,)A x y B x y ,则(1,2)P k --,
将(1)y k x =-代入到2
4y x =,整理得2222
(24)0k x k x k -++=,
则2122
22442k x x k k ++==+,2
1221k x x k
==, 所以1212124
(1)(1)()2y y k x k x k x x k k
+=-+-=+-=
,1212124416164y y x x x x =-⋅=-=-=-,
所以11221212(1,2)(1,2)(1)(1)(2)(2)PA PB x y k x y k x x y k y k ⋅=++⋅++=+++++u u u r u u u r
21212121212()4x x x x y y k y y k =+++++++
2
2
44121424k k k k
=++
+-+⨯+ 22
2244482488816k k k k =++≥⋅+=+=,当且仅当2244k k
=,即1k =±时取得等号. 故选:C
7．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，①CF 与EN 所成的角为60︒,①BD //MN ，①二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG u u u r u u u r u u u r
分别为,,x y z 轴
建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以
()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=u u u r u u u r
，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所
成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=o ，所以①正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，①错误.由于
,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所
以45EBF ∠=o ，故①正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.
8．过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ） A ．23 B ．3
3
C ．5
D ．22
【答案】A
【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，
设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=o
，所以||4,||2QF QM m ==，
所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x =，023y =，
所以233
sin sin 42
NP MNF NFP NF ∠=∠=
==
， 所以点M 到直线NF 的距离为3
||sin 4232
NM MNF ⋅∠=⋅
=. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B A C =⋂ B ．C C =B ∪
C ．B A B =I
D ．A B C ==
【答案】BC
【解析】对于A 选项，A C I 除了锐角，还包括其它角，比如330-o ，所以A 选项错误.
对于B 选项，锐角是小于90o 的角，故B 选项正确. 对于C 选项，锐角是第一象限角，故C 选项正确.
对于D 选项，,,A B C 中角的范围不一样，所以D 选项错误.
故选：BC
10．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，发生改变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数
C ．方差
D ．极差
【答案】BCD
【解析】中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据， 因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数， 平均数、方差、极差均受影响．
故选:BCD ．
11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则αβ⊥的充分条件是（ ）． A ．l α⊂，l β⊥ B ．l α⊥，m β⊥，l m ⊥ C ．αγ⊥，βγP D ．l α⊂，m β⊂，l m ⊥
【答案】ABC
【解析】由面面垂直定理可以判断,,A B C 正确，
对于选项D ，l α⊂，m β⊂，l m ⊥，也可以得到αβ∥，故D 错. 故选：ABC .
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]
x 表示不超过x 的最大整
数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2
x x f x =-
+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0,1-
【答案】BC
【解析】根据题意知，()e 1111e 221e
x x x
f x =-=-++． ()()e 11101e 2
g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦Q ，()()1
1111e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦
，
()()11g g ∴≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；
()()e 111
1e 21e 2
x x x f x f x ---=-=-=-++Q ，()f x ∴是奇函数，B 正确；
由复合函数的单调性知()1121e
x f x =
-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >Q ，1e 1x ∴+>，()11
22
f x ∴-<<，
()(){}1,0g x f x ∴==-⎡⎤⎣⎦，D 错误．
故选:BC ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数()2
2,0
3,0
x x f x x x +<⎧=⎨
->⎩的零点个数是_____；满足f (x 0)＞1的x 0的取值范围是_____． 【答案】2 （﹣1，0）①（2，+∞）
【解析】0x >时，2
()30f x x =-=，3x =，当0x <时，()20,2f x x x =+==-，共2个零
点，即零点个数为2；
当0x >时，2
()31f x x =->，2x >，当0x <时，()21,1f x x x =+>>-，即10x -<<，
①0()1f x >的0x 的取值范围是(1,0)(2,)-+∞U ． 故答案为：2；(1,0)(2,)-+∞U ． 14．已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；
①设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】5 25
5
-
【解析】①()sin 2cos 5sin()f x x x x ϕ=-=-， (其中25sin 5ϕ=
，5
cos 5
ϕ=) 当22
x k π
ϕπ-=
+，即22
x k π
ϕπ=
++时，()f x 取最大值5
①由题意可知22
k π
θϕπ=
++
()2sin 2sin 2cos 5c s 2o 5k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪-⎝⎭
= 故答案为：5；25
5
-
15．在平面几何中，若正方形ABCD 的内切圆面积为1,S 外接圆面积为2,S 则
121
2
S S =，推广到立体几何中，若正方体1111ABCD A B C D -的内切球体积为1,V 外接球体积为2V ，则
1
2
V V =_______． 【答案】
39
【解析】正方形ABCD 的内切圆半径为1r ,外接圆半径为2r ，半径比12
1
2
r r =，面积比为半径比的
平方1212S S =，类比正方正方体1111ABCD A B C D -内切球半径为1r ,外接球半径为2r ，径比1213r r =，
所以体积比是半径比的立方12V V =39，填3
9
． 16．关于函数()1
x f x x =
-，给出以下四个命题，其中真命题的序号是_______.
①0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ①方程()()0f x kx b k =+≠一定有解；
①如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数； ①()y f x =是偶函数且有最小值. 【答案】①①
【解析】对于命题①，当0x >时，(),011,11
x
x x
f x x x x ⎧<<⎪⎪-=⎨
⎪>⎪-⎩. 当01x <<时，()()1111111
x x
f x x x x -+=-
=-=-----，则函数()y f x =在()0,1上单调递增，此时，()0f x >，当1x →时，()f x →+∞，
当1x >时，()()1111111
x x f x x x x -+=
==+---，则函数()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以，当0x >时，函数()y f x =不单调且没有最值，命题①错误；
对于命题①，当0x >时，(),011,11
x
x x f x x x x ⎧<<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，当1x >时，()1x
f x x =-，
当0k >时，构造函数()1
111
x g x kx b kx b x x =+-
=+----， 则函数()y g x =在()1,+∞上单调递增，
当1x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以，函数()y g x =在()1,+∞上有且只有一个零点， 即当0k >时，方程()f x kx b =+在()1,+∞上有解.
函数()y f x =的定义域为{}
1x x ≠±，关于原点对称，()()1
1
x x f x f x x x --==
=---，则函
数()y f x =为偶函数，
同理可知，当k 0<时，方程()f x kx b =+在(),1-∞-上有解. 所以，命题①正确；
对于命题①，当0k =时，令()0f x =，解得0x =，则命题①错误；
对于命题①，由①可知，函数()y f x =是偶函数，由绝对值的性质可知()0f x ≥且()00f =，则函数()y f x =为偶函数且最小值为0，命题①正确. 因此，正确命题的序号为①①. 故答案为：①①.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
sin sin ()sin b B a A b c C =-+.
（1）求角A 的大小.
（2）若BC 边上的中线23AD =，且23ABC S ∆=,求ABC ∆的周长. 【答案】（1）23
A π
=
（2）862+ 【解析】（1）由已知sin sin ()sin b B a A b c C =-+
由正弦定理得：222b a bc c =--
由余弦定理得：2221
cos 22
b c a A bc +-=
=- 在ABC ∆中，因为(0,)A π∈,所以23
A π
=
（2）由13sin 2324
ABC S bc A bc ∆=
==，得8bc =①
由（1）知222b a bc c =--，即2228b c a +=- ①
在ABD ∆中，由余弦定理得：2
22
()(23)223cos 2
2
a
a
c ADB =+-⋅⋅
⋅∠ 在ADC ∆中，由余弦定理得：2
22
()(23)223cos 2
2
a a
b ADC =+-⋅⋅
⋅∠ 因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以2
2
2
242
a b c +=+①
由①①①，得22
8,56,8a b c bc =+==
所以222()27262b c b c b c bc +=+=++==
所以ABC ∆的周长862a b c ++=+.
18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()1*1
1
2n n n a a a p nq n N +=⎧⎪⎨=+⋅-∈⎪⎩，其中
,p q R ∈． （1）若数列前四项1a ，2a ，3a ，4a 依次成等差数列，求p ，q 的值； （2）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （3）若1p =，且5a 是数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围．
【答案】（1）0p q == （2）答案不唯一，见解析 （3）32
45
q ≤≤
【解析】（1）由已知递推式可得，11a =，212a p q =+-；
212a a p q -=-，3242a a p q -=-，4383a a p q -=-．
由等差数列知，433221a a a a a a -=-=-，得0p q ==；
（2）0q =，则12n
n n a a p +=+⋅，
由2
132a a a =，得0p =或12
p =
． 当0p =时，1n n a a +=，1n a =，满足题意；
当12
p =
时，由累加法得1
2n n a -=，满足题意； （3）1p =时，
12n n n a a qn +-=-，
5615(25)(26)[2(1)]n n a a q q n q --=-+-++--L ()()452322
n n n q +-=--
，
当6n ≥时，由50n a a -≥恒成立得，()()
1264
45n q n n +-≤+-恒成立．
设()()
1264
45n n c n n +-=+-，只需求出n c 的最小值．
()()()()()
12123201284545n n n n n n
c c n n n n ++--+-=
++--．
当7n ≥时，()2
32032080n n n n --=--≥>，有1n n c c +>；
当6n =时，直接验证76c c >；
故6c 为最小值，其值为
32
5，①325
q ≤； 当4n ≤时，需满足50n a a -≤恒成立，
对1,2,3,4n =验证，
1n =，3q ≥；2n =，289q ≥
；3n =，24
7
q ≥；4n =，4q ≥． 综上，32
45
q ≤≤
． 19．（本小题满分12分）为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.
为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“A ，B ，C ”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示. 测试分数m 的范围
分数对应的等级 贡献的积分
90100m <≤ C 等
1分
100130m ≤<
B 等
2分
130150m ≤≤
A 等
3分
（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“A 等”和“非A 等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A 等”的概率；
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生．．．．中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；
（3）根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为x 甲和x 乙，用样本估计总体，求x 甲和x 乙的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？ 【答案】（1）
8
15
；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）由题意知抽取的10人中，数学成绩为“A 等”和“非A 等”的人数分别为2人和8人. 设从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A 等”的事件为A ，
则()3
83
108
115
C C P A =-=. （2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则每位考生数学测试等级为“B 等”的概
率为35.记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，则33,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
:.
()3003
238055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
132336155125
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()1
223
2325541255P X C ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()03
33233527125
5P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=.
X
0 1 2 3
P
8125 36125 54125 27125
故()39355
E X =⨯
=. （3）由题可知，设x 甲和x 乙的估计值为'x 甲和'x 乙，
'x 甲()()0.0051010010.0070.030.0381010020.0110.009101003
100
⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=
2.15=
'x 乙()()0.011010010.0170.020.023*******.0220.008101003
100
⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=
2.2=
则''x x <甲乙，如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看，本次考试，我认为乙学校本次数学测试更加出色.
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD①底面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD=a ．
（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；
（2）若E 为PC 中点，求证：PA①平面BDE ； （3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．
【答案】见解析
【解析】（1）四棱锥P﹣ABCD中，PD①底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．所以：
=
证明：（2）在正方形ABCD中，连接AC和BD交与点O，连接OE，
所以：O是AC的中点，
由于E是PC的中点，
所以：OE是①PAC的中位线，
则：OE①PA
OE①平面BDE
PA①平面BDE，
所以：PA①平面BDE．
解：（3）PD①底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．
则：BD=
所以：①PBD 就是PB 与平面ABCD 所成角． 则：
所以：直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
21．（本小题满分12分）已知函数1()sin ln 122
m
f x x x x =-
-+，()f x '是()f x 的导函数. （1）证明：当2m =时，()f x '
在(0,)+∞上有唯一零点；
（2）若存在12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠时，()()12f x f x =，证明：2
12x x m <.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）证明：当2m =时，1()sin ln 12f x x x x =-
-+，11
()1cos 2f x x x
'=--. 当(0,)x π∈时，()f x '
为增函数，且133310344f πππ⎛⎫'=--=-<
⎪⎝⎭
，31()02f ππ'=->， ①()f x '在(0,)π上有唯一零点；
当[,)x π∈+∞时，11()1cos 2f x x x '=-
-11
11
1022x π
--->厖， ①()f x '在[,)π+∞上没有零点.
综上知，()f x '
在(0,)+∞上有唯一零点.
（2）证明：不妨设120x x <<，由()()12f x f x =得1111sin ln 122
m
x x x -
-+2221sin ln 122
m
x x x =--+，
①
()()2121211
ln ln sin sin 22
m x x x x x x -=---. 设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-…
，故()g x 在(0,)+∞为增函数， ①2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-，
①
()21ln ln 2m x x -()()21212111
sin sin 22
x x x x x x =--->-， ①21
21
ln ln x x m x x ->
-，
下面证明：
21
1221
ln ln x x x x x x ->-. 令21x t x =
，则1t >，即证明
1
ln t t t
->，只要证明1ln 0t t t --<.（*） 设1()ln t h t t t -=-，则()
2
1()02t h t t t
-'=-
<，①()h t 在(1,)+∞单调递减.
当1t >时，()(1)0h t h <=，从而（*）得证，即
21
1221
ln ln x x x x x x ->-.
①12m x x >
，即212x x m <.
22．（本小题满分12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，直线y x =被椭圆C 截
得的线段长为
410
5
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右顶点作互相垂直的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点（点,M N 不同于椭圆C 的右顶点），证明：直线MN 过定点6
(,0)5
. 【答案】（1）2
214
x y +=；（2）6(,0)5 【解析】（1）根据题意，设直线y x =与题意交于,P Q 两点.不妨设P 点在第一象限，又PQ 长为4105
， ①2525,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，①22
44551a b +=，可得222254a b a b +=， 又24a =，
①2,1a b ==，故题意C 的标准方程为2
214
x y +=， （2）显然直线12,l l 的斜率存在且不为0，设121:2,:2l x my l x y m =+=-+， 由22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
22440m y my ++=，①222284,44m m M m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 同理可得222284,4141m m N m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭
当1m ≠±时，()
2541MN m k m =-，所以直线MN 的方程为()222245284441m m m y x m m m ⎛⎫-++=- ⎪++-⎝⎭ 整理得()()()
22256565414141m m m y x x m m m -⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，所以直线 当1m =±时，直线MN 的方程为65x =，直线也过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以直线MN 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.。