高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.1 双曲线及其标准方程 1数学教案

2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，
且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)
F 1(0，－c )，F 2(0，c )
a ，
b ，
c 的关系
c 2＝a 2＋b 2
1．已知动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
D [∵|PM |－|PN |＝2＝|MN |，
∴点P 在线段MN 的延长线上，即点P 的轨迹是一条射线．] 2．双曲线x 210－y 2
2＝1的焦距为( )
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．43
D [c 2
＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]
3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 224＝1
B ．y 225－x 224
＝1
C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1
D ．x 2
25－y 2
24＝0或y 2
25－x 2
24
＝0 C [b 2
＝c 2
－a 2
＝72
－52
＝24，故选C ．]
对双曲线标准方程的理解
【例1】 已知曲线方程
x 2
m －1－
y 2
m 2－4
＝1.
(1)若方程表示双曲线，求实数m 的取值范围；
(2)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围； (3)若方程表示椭圆，求实数m 的取值范围．
[解] (1)依题意有(m －1)(m 2
－4)>0，即(m －1)(m ＋2)(m －2)>0，解得－2<m <1或m >2.
(2)依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2
－4<0，
m －1<0，
解得－2<m <1.
(3)依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2－4<0，
m －1>0，
解得1<m <2.
给出方程x 2m －y 2
n
＝1，则该方程：
1表示双曲线的条件是mn >0；
2表示焦点在x 轴上的双曲线的条件是m >0，n >0； 3表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是m <0，n <0； 4
表示椭圆的条件是m >0，n <0.
[跟进训练] 1．(1)已知双曲线x 2
a －3＋
y 2
2－a
＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，
则a 等于( )
A ．3
2
B ．5
C ．7
D ．12
(2)在方程mx 2
－my 2
＝n 中，若mn <0，则方程所表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的双曲线
D ．焦点在y 轴上的椭圆
(1)D (2)C [(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为y 2
2－a
－
x 2
3－a
＝1.由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2
＝2－a ＋3－a ＝4，解得
a ＝12
.
(2)方程mx 2－my 2
＝n 可化为x 2n m －y 2n m
＝1.由mn <0知n m <0，故方程
所表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]
求双曲线的标准方程
(1)求以椭圆x 216＋y 2
9＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，
－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线经过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，
也可利用双曲线的定义求解．
[解] (1)法一 (待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)．
设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
将点A (4，－5)代入双曲线方程得
25a 2－16b
2＝1，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2
＝4.
∴双曲线的标准方程为y 25－x 2
4＝1.
法二 (定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上，
则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2
＝c 2
－a 2
＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y 25－x 2
4＝1.
(2)法一 若焦点在x 轴上，
设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
－1
b 2
＝1，－22
a 2
－5
2
b 2
＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＝78，
b 2＝7.
若焦点在y 轴上，
设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
同理有⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2－1
b 2
＝1，
52
a 2
－－2
2
b 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2＝－7，
b 2＝－7
8(不合
题意，舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为x 278
－y 2
7＝1.
法二 设所求双曲线的方程为mx 2
＋ny 2
＝1(mn <0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝87
，n ＝－1
7.
所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 2
7＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2
，b 2
的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和
y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设
双曲线方程为Ax 2＋By 2
＝1(AB <0)来求解．
[跟进训练]
2．(1)与椭圆x 2
4＋y 2
＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是
( )
A ．x 24－y 2
＝1
B ．x 2
3－y 2
＝1
C ．x 2
2
－y 2
＝1
D ．x 2
－y 2
2
＝1
(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点
P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方
程是( )
A ．x 2
4－y 2
＝1
B ．x 2
－y 2
4＝1
C ．x 22－y 23
＝1
D ．x 23－y 2
2
＝1
(1)C (2)B [(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a 2－1b 2＝1，
c 2＝a 2＋b 2＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝2，b 2
＝1，
所以所求双曲线方程为x 2
2
－y 2
＝1.
(2)由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右
支上．所以PF 1＝25
2
＋42
＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4
＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2
＝c 2
－a 2
＝4，所以双曲线的方程为x 2
－y 2
4＝
1，选B ．]
双曲线定义的应用
1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？
提示：一支．
2．若P 点是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上的一动点，F 1，F 2为
其左、右焦点，设∠F 1PF 2＝α，则S △F 1PF 2如何用α表示？
提示：S △F 1PF 2＝
b 2
tan
α
2
(可借助双曲线的定义及余弦定理推
导)．
【例3】 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝1和圆C 2：(x －3)2
＋y
2
＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．
(2)已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 2
16＝1的左、右焦点，若P 是
双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．
[思路点拨] (1)由两圆外切得等量关系⇒双曲线定义⇒轨迹方程．
(2)双曲线的定义及余弦定理⇒∠F 1PF 2⇒面积公式求S △F 1PF 2. (1)x 2
－y 2
8
＝1(x ≤－1)
[如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－
|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点
C 2，C 1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2
的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2
＝8，
∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2
－y 2
8
＝1(x ≤－1)．]
(2)[解] 因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6， 两边平方得|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|＝36，
所以|PF 1|2
＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，
得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， 所以∠F 1PF 2＝90°，
所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1
2
×32＝16.
把本例(2)的条件“|PF 1||PF 2|＝32”换成“∠F 1PF 2＝60°”，
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 2．求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝1
2×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积．
(2)利用公式S △PF 1F 2＝1
2
×|F 1F 2|×|y P |求得面积．
1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．
1．判断正误
(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．
( )
(2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线． ( )
(3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2
b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b . [答案] (1)× (2)× (3)×
2．设双曲线x 2－y 28
＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )
A ．10 3
B ．83
C ．8 5
D ．165 C [设|PF 1|＝3t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 2|－|PF 1|＝t ＝2a ＝2，所
以t ＝2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝6＝|PF 1|，
所以F 1到PF 2的距离为62－42＝25，
所以S △PF 1F 2＝12×8×25＝8 5.] 3．若双曲线E ：x 29－y 216
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3 B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；
(3)以椭圆x 28＋y 25
＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)． [解] (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2， 得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x 轴上，
所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27
＝1. (2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．
因为点A (－5,6)在双曲线上，所以
2a ＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，
则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是y 216－x 2
20
＝1. (3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b
2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.
故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.。