2-2 功和能(1)

[S’]
[S]
u
Δrr
AΔrr0
B
Δrr′
o’(t1) o’(t2)
o 位移与参照系有关
3.质点所受合力的功等于各分力的功的代数和。
∫ ∑ ∑∫ ∑ b
A= ( a
r Fi
)
⋅
drr=
br a Fi
⋅
drr
=
Ai
i
i
i
4. 平均功率 瞬时功率
P = ΔA Δt
P
=
dA
=
r F
⋅ drr
=
r F
⋅ vr
=
m1
dv dt
+
u
dm1 dt
箭体运动方程可适用于所有质量流动物体的动力学问题。
注意：dm1可正可负，当dm1取负时，表明物体质 量减小。
例、宇宙飞船以初速 v0 在宇宙尘埃中飞行，飞船质量为 m0 ，前表面积为 S ，
尘埃密度为 ρ 。假设宇宙尘埃在飞船上的淀积速率 dm = ρSv ，求飞船
xb xa
Fx
dx
+
yb ya
Fy
dy
+
zb za
Fz
dz
≠
Ax
+
Ay
+
Az
自然坐标系：
∫ ∫ ∫ ∫ A=
b
r F
⋅
drr
=
ra
b
a Ft
drr
=
b
a Ftds =
b F cosαds
a
2. F 与参照系无关，位移与参照系有关，故
A与参照系有关。
rr = rr0 + rr′ Δrr = Δrr0 + Δrr′
dt dt
瓦特(W)=(J/s)
[例]
小球在水平变力
r F
作用下缓慢移动，即在所有位
求置上：(均1)近Fr 似的处功于，力(2平) 衡重状力态的，功直。到绳子与竖直方向成θ 角。
解：F cosθ = mg sinθ F = mg tanθ θ l
∫ ∫ ∫ Ft = mg tanθ cosθ = mg sinθ
v+dv
t+dt
+ dm2(v + dv − u) − m1v = m1dv − udm2
z
u dm2
F
=
m1
dv dt
−
u
dm2 dt
o
m1
t
v
Q Fp
=
u
dm2 dt
F
+
FP
=
m1
dv dt
dm1 = −dm2
F
+
FP
=
m1
dv dt
FP + F > 0 时，加速上升。
Qdm2 = −dm1
F
vmax
=
u ln
m10 m1min
——齐奥尔科夫斯基公式
提高火箭速度的途径：
(1) u ↑ ,
(2) m10 ↑ m1min
•当 v0 =0，u =2000 m/s 时，要达到第一宇宙速度
v=v1=7.9 km/s，须有： m10 m1min ≈ 50
•若u ~4000 m/s，m10 /m1 min~15 ， v=10.8 km/s 。
(v + dv − u)dm2 − vdm2 ≈ −udm2
由动量定理： Fdt = −udm2 喷气受力： F = −u dm2
z u
o
m1
dm2
t
dt
v
箭体受到喷气的推力：FP
=
u
dm2 dt
二、箭体运动方程
r
F
对箭体和喷气组成的系统(设受外力F)： m1 −dm2
Fdt = (m1 − dm2 )(v + dv)
=
∫ rrdm ∫ dm
¾ 质心运动定理
∑i
ri Fi =
m dvrc dt
=
marc
§2.1.4 火箭的运动
一、火箭推力
设 t 时刻，火箭质量为 m1，速度为 v (向 m1 −dm2
上)，在 dt 内，喷出气体 dm2，喷气相对 v+dv
t+dt
火箭的速度(称喷气速度)为 u (向下)。
喷气的动量变化：
dt 的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。
解： F = m dv + u dm = 0 dt dt
u=v
v
=
v0
m0 m
（动量守恒）
m dv + v ⋅ ρ Sv = 0
dt
m0v0 dv + v ⋅ ρ Sv = 0
m dt
v=
m0v0
m02 + 2m0v0ρ St
三、火箭的速度公式
只计重力：
F
∑ A = Fi cosαi Δrri
∑ =
i
r Fi
⋅
Δrri
Δrri
αi
b(xb, yb,zb)
Fr
i
a(xa, ya,za)
i
∫ ∫ A =
b
r F
⋅
drr
=
b F cosαds
a
a
1. 一般情况下，功与力和路径有关.
说明
直角坐标系：
dA
=
r F
⋅
drr
=
Fxdx
+
Fydy
+
Fz dz
∫ ∫ ∫ A =
=
−m1g
=
m1
dv dt
+
u
dm1 dt
设 t=0 时，v=0 ，m1=m10 ，任一时刻 t 时为 v 和 m1。
∫ ∫ ∫ t
− gdt =
v
dv + u
m1 dm1
0
0
m m10
1
− gt = v − u ln m10 m1
v = u ln m10 − gt m1
不计重力：
v = u ln m10 m1
采用多级火箭技术： （设N1、 N2 、N3 …为各级火箭的质量比）
v1 = u ln N1
v2 − v1 = u ln N2, v3 − v2 = u ln N3,⋅⋅⋅
最终速度：
∑ v = u ln Ni = u ln(N1N2N3 ⋅⋅⋅)
i
¾ 如美国发射“阿波罗”登月飞船的“土星五号” 运载 火箭，N1 ＝16， u1 =2.9 km/s ， N2 = 14， N3=12， u2，3 =4 km/s ，则有：v =28.5 km/s ，考虑重力和阻力 后仍大于第二宇宙速度，足够完成登月。
AF =
r F
⋅
drr
=
θ
Ftds =
mg sinθ ldθ
0
m θr
mgr F
= mgl(1− cosθ ) 变力
∫ ∫ Amg =
Hale Waihona Puke mgr ⋅ drr = θ − mg sinθ ldθ 0
= −mgl(1− cosθ ) 恒力 曲线运动
二、内力的功
一 质ddr点对rrrAiijj系内=====内力FFFdrrrr，的riiiijjj(内功−⋅⋅⋅rrid(d力：dr−rr(ri是rrrjrii+rr成−−j F)对rdrr相相jjir出r)j对⋅对现)d位元rr的j矢位。移OrrdidbrdrrriirriijirrFrjirrjij
“神州五号”运载火箭 长征2号F(CZ-2F)
两级捆绑式运载火箭
END
§2.2 功和能
§2.2.1 功 动能定理
一、功
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了
力对空间的积累效应。
恒力的功：
A= =
Fr F
cosα
⋅ Δrr
Δrr
焦耳（J）
Fv
α Δrv
变力的功： ΔAi = Fi cosαi Δrri
上次课主要内容
¾
∫ ∫∑ ¾
质点动量定理
r I
质点系的动量定理
=
t t0
tr F ⋅ dt to r
Fidt
= =
pr − pr −
pr0 pr0
= mvr = Δpr
−
mvr0
¾ 动量守恒定律
∑ ∑ 当
r Fi
=0
时，
pr =
mivri =常矢量。
¾ 质心的位矢
∑∑ rrc ≡
mi rri
i
mi
rrc