《实验应力分析》——电测(全集)(课堂PPT)

S i1 n
i xi xt
x 当 n 时，才能计算出真值 ，所以标准方差公式适用于测量次数
足够多的情况。
t
对较大或较小的误差反映比较灵敏，它是表示测量精密度较好的一
种方法。
（3）有限次测量时的标准误差 当测量次数无限多时，算术平均值就是真值
有限次测量时， 只x是a 真值的近似值。
xa xt
测量误差： ai xi xa x—i —第i 次的测量值；
2、偶然误差（又称随机误差）
偶然误差由多种因素引起，要找到原因很难。当测量多次时， 偶然误差时大、时小、时正、时负，没有固定的大小和偏向。 常围绕某一中间值上下波动。当测量次数足够多时，发现偶然 误差服从统计规律。
11
3、间接测量误差：
在实验中，对长度、重量、位移等物理量能直接测量，但对应 力等物理量一般不能直接测量，必须通过一些能直接测量的物 理量按一定公式计算求得。这计算出的间接测量的结果具有一 定的误差，如何由直接测量误差计算间接测量误差，这就是误 差传递规律的问题。
1、 越x大， y 值越小，曲线越平坦。 y 越小x， 值越大，曲线越陡峭。
2、当 x 时0，
y0
h
1
2 S
—y0—误差分布曲线上的最高点。与h成正比，与S成反比。
因此h越大S越小时曲线中部越高，两边下降越快；
反之，曲线变的越平坦。
15
2、偶然误差表示法
（1）算术平均值 偶然误差的特点：正、负误差出现的概率相等，则计算真 值的最佳方法是取算术平均值，因为正负误差相互抵消。
x—a —真值的近似值。
由于测量中正负误差出现的概率相等，可推出下列公式：
17
n
n
n ai2
n
1
2 i
i 1
i 1
有限测量次数中从算术平均值计算的偏差平方和，小于从真值计 算的误差平方和，由此得出有限次测量时标准误差的计算公式。
n
n
n
有限次测量时的标准误差：
2 i
ai2
xi xa 2
S i1
n
yi2
i 1
y xi
2
n
x12i
i 1
y x2
2
n
x22i
i 1
y xr
2
n
xr2i
i 1
19
n
yi2
i 1
y xi
2
n
x12i
i 1
y x2
2
n
x22i
i 1
y xr
2
n
xr2i
i 1
两边除以n再开方得标准误差：
Sy
y x1
2
S12
y x2
2
S
2 2
2、向宏观方向发展：
即向大的方向发展。 如高层建筑物、天体现象等。
3、实验力学随仪器而发展：
实验技术发展的快慢主要依赖于设备，随着计算机的发展及 数据处理的自动化，使得实验力学向着功能强、精度高、自 动化和媒体化的方向发展。
5
第一篇 实验应力分析基础
误差分析和实验数据处理
实验应力分析基础
结构的相似性
10 3.3333 3
10.0 3.3 3.0
10
§1-2 误差的来源及处理方法
一、误差的来源 1、系统误差（又称恒定误差）
系统误差是由人为或某一固定因素造成的误差。系统误差可以 消除。如：尺子长了，则测出的数据均偏小；杆秤准心偏了， 秤出的重量总是偏小。系统误差有固定的偏向和一定的规律 性，可根据具体原因采取适当的措施予以校正和消除。
课程安排
• 总学时 ：32学时（2学分）
理论授课24学时+实验8学时
• 建议教材：
《实验力学》，张天军，韩江水，屈钧利编，西北工业大学出版社， 2008。
• 教学参考书 ：
《实验应力分析》、张如一、陆耀桢主编，机械工业出版社，1986
1
一、实验应力分析的任务
实验应力分析是用实验的方法测定构件中的应力和变形的一门学科。
以上三种方法，解析法是最重要的，而计算法与实验法并列 成为解析法的工具。对于工科的学生这三种能力必须具备。
3
二、主要方法
1、电学法
包括电阻、电容和电感。其中电阻是重点， 通过电阻应变片来测量应变已很成熟。
2、光学法
光弹性法：光学+弹性力学。 现代光测法：包括全息、散斑、云纹和云纹干涉法。
3、声学法：
24工程上常需要根据几个变量的几组实验数据来找到这几个变量之间的函数关系这个函数的近似表达式叫经验公式最常用的拟合经验公式的方法有最小二乘法从实验数据找经验公式根据实验数据画图判断经验公式应有的形式用实验数据去验证根据图形和经验及解析几何原理若不合适则建立新的形式三列方程法列方程法是用一个方程式或经验公式将实验数据表示出来
2
2、 实验的特点：
（1）验证理论推导或计算结果的正确性。 用解析法或计算法得出的结果，必须经过实验的验证， 否则结果的正确性不被认可。
（2）解决工程中的复杂问题。 用解析法和计算法求解时，首先要建立力学模型，但有 时力学模型很难建立，直接用实验法更方便。
（3）探索未知的科学。 通过长期对实验结果的观察、总结并归纳为理论。 如：虎克定理和散斑（最初是由于散斑对照片的质量有 影响，所以设法消除掉，最后发现它是求位移的一种重 要的方法）。
21
（3）对于只看变化趋势的情况，则将数据点描在图纸上即可, 对于作为准确实验工具用的曲线图，则要按一定规矩描点。 由于实验数据都有一定的误差，因此画图时，不能简单描 点，而应用一矩形表示。矩形两边分别代表自变量和因变量 的误差，中心代表算术平均值，真值应在此矩形内。若用两 倍的标准误差作误差的合理范围，这样所得曲线介于两条虚 线间的概率为95%。
四、舍入法
在一般计算中是4舍5入，而在实验中是4舍6入，何谓4舍6入呢？
> 5 则向前一位入1。 末位有效数字后的第一位数字 < 5 则舍去。
末位有效数字为奇数则向前入1。 = 5 末位有效数字为偶数则舍去。
9
如：下面的数均保留2位有效数字
0 .1 2 4
0.12
0 .1 2 6
0.13
0 .1 2 5
包括声弹法和超声波。因为用声学法测量时设备比较贵， 测量的准确性较差，因此这部分内容用的比较少。
三、学科的发展趋势
微观：称为纳米，即 109 m ，——纳米与原子同数量级
细观：细观称为微米，即 106 m ，
宏观：
4
1、向微观方向发展：
即向小的方向发展。 细观力学已被认为是近年来理论与应用力学中振奋人心的新领 域之一。国内许多学者与工程界人士也逐步从各个不同侧面开 展了细观力学的研究，并取得了大量的研究成果，使细观力学 日趋成熟。特别是一些学者正在进行微观力学的研究工作。
y p(x) 1 ex2 / 2S2
2 S 13
y p(x) y p(x)
1
ex2 / 2S2
2 S
h eh2x2
——高斯概率分布定律
h 1 2S
S --- 标准误差； h --- 精密度指数；
p（x） --- 概率密度。
高斯误差分布曲线
14
高斯误差分布曲线
特点：
y p(x) h eh2x2
y xr
2
S
2 r
相对标准误差：
ey
Sy y
2
2
2
1 y
y x1
S12
1 y
y x2
S
2 2
1 y
y xr
S
2 r数据表示法
一、图示法
用几何图形把实验数据表示出来的一种方法。 主要优点:形式直观，便于比较，能显示数据中最大或最小
值、转折点或周期性等特点。 作图注意事项： （1）坐标轴中的x轴永远代表自变量，y轴永远代表因变量。 各坐标线的间距应以每一点在坐标纸上能迅速方便地找到， 一般直角坐标纸的各坐标线的间距以分格为1，2，5最方便。 （2）坐标的最小分格应相应于被表示量的误差。 分格过细超过实验精度，会造成曲线的人为弯曲、具有虚假 精度。分格过粗又降低了实验精度，使曲线过于平直。一般 使曲线在横纵坐标之间的 方4向50为宜。
22
（4）连接曲线时因光滑连续。 在实验测量中，有时出现一个或几个过大或过小的数据，这 时不能按主观判断加以取舍，这是错误的。对于可疑的异常 数据一般要分析出明确的物理和技术原因，然后决定取舍。 例如：用应变片测量构件应变时，个别应变数据过大或过小， 如经分析是由于应变片质量或安装（粘贴）上的原因造成异 常，则可舍去，但如果分析不出原因，则应根据统计学的偶 然误差理论来取舍处理这些可疑数据。
0.12
0 .1 3 5
0.14
五、加减乘除运算
加减运算：各项所保留的小数点后的位数应与各项中小数点 后位数最少的相同。
如：
12.58 0.0081 4.546 12.58 0.01 4.55 8.04
乘除运算：各因子保留的位数以有效数字最少的为准，所得 积或商的准确度不应高于准确度最低的因子。
如： 10 3 3
二、偶然误差的理论 1、误差的正态分布
实验时希望测量值尽量接近真值，在消除系统误差和过失误 差之后，实验数据中仍包含偶然误差。既然偶然误差很难消 除掉就要找到它的规律。
12
相对 频率
应变
随机变量与其均值的偏差的概率成正态分布。 从误差分布曲线，可看出偶然误差有下列特性： （1）小误差出现的概率高，大误差出现的概率低，绝对值 很大的误差出现的概率接近于零。 （2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 高斯于1795年找出了描述偶然误差的函数形式为：
（3）数据分度的方法 通常由实验测得的数据，自变量或因变量的变化一般不够规 则，应用也不方便，而且原始实验数据未经处理可能包含一 些错误（如异常的可疑数据等），使表格数值不准确。数据 的分度就是将表中所列数据更有规则地排列起来，当自变量 作等间距顺序变化时，因变量亦随着渐变，这样的表应用方 便而较准确。 数据分度的方法有图示法、最小二乘法等。
（3）精确度：指准确度和精密度的统称。
8
三、有效数字
在测量数据时，确定用几位数字代表测量结果十分重要。测量数据 的位数与测量的准确度有关，取得位数太多或太少都是不对的。测 量时要估读到仪表刻度上最小一格中的分数，而不能将它略去。 如：0.002340 ------有效数字是4位 其中最后一个0为可疑位，4为准确位。 0.00234 ------ 有效数字是3位。 其中最后一个数4为可疑位，3为准确位。 最后一位可疑到什么程度，认为不会可疑到最小一格的一半。
1、解决工程上的力学问题有三种方法
解析法：用弹性力学或塑性力学进行求解。即首先建立力学模型 然后用数学方法进行求解。用数学方法求解工程问题时， 常遇到数学和计算方面的困难，只能对有限的一些简单 问题给出精确解。
计算法：用有限差分法或有限元法等数值计算求解工程上的力学 问题。
实验法：用实验的方法求解工程上的力学问题。
实验误差 = 实验值 – 真值（未知）
7
二、准确度和精密度
（1）准确度：指测量值与真值的偏差。 既指测量值与真值的接近程度。
（2）精密度：指多次测量所得数据的重复程度。 重复性好即精密度高，但不一定准确度高，即所测 数据可能都与真值相差较大。 这两者的区别可用打靶的例子来说明， 图(a)表示准确度和精密度都高； 图(b)表示精密度高但准确度不高，即打靶较集中但 离靶心较远； 图(c)表示两者都不高。
二、列表法
列表法就是将一组实验数据中的自变量、因变量等各个数值依一 定形式和顺序一一对应排列成表格。 主要优点：简单易作，形式紧凑，数据易于参考比较。
23
列表注意事项：
（1）自变量x间距的选择。一般△x为1，2或5乘以 10。n △x不能过大
或过小，过小则表太繁且篇幅太大，过大时不准确。
（2）表中所有数值的有效位数应取舍合理 自变量假定其无误差，因变量的位数取决于实验精确度。
xa
1 n
n i1
xi
xi ——第i 次的测量值； xa ——算术平均值； n ——测量次数，
当 n 时， x，a —xt— 真x值t 。
（2）标准方差公式（均方根误差）
测量误差： i xi xt
xi ——第i 次的测量值； xt ——真值。
n
标准方差公式： S
2 i
i 1
n
16
n
2 i
6
第一章 误差分析和实验数据处理 §1-1 基本概念
一、真值、实验值和误差
（1）真值：客观上真正存在的物理量。 如：桌子的尺寸，室内的温度等。在测量真值时，由于仪 器、测量方法、环境、人的观察力都不是完美的，所 以严格说真值是无法测得的。
（2）实验值：用实验的手段来测量真值。只能测得真值的近似值。 （3）误差：实验误差是实验值与真值的差值。实验误差简称为误差。
yi f x1i，x2i xri
i 1 , 2 , n
每次测量的误差：
yi
y x1
x1i
y x2
x2i
y xr
xri
2
2
两边平方：yi2
y x1
x12i
y x2
x22i
2
y x1
y x2
x1ix2i
i 1 , 2 , n
由于正负误差出现的概率相等，当n足够大时，将所有 y相i2 加，
则非平方项对消而得出：
i1
i1
n
n 1
n 1
三、间接测量误差
已知直接测量值的误差，求间接测量值的误差， 即已知自变量的误差求函数的误差。
设函数 y f x1, x2,xr
其自变量 x1, x为2 ,r个x直r 接测量的物理量， 其标准误差分别为 S1、S2、 Sr
18
对 x1, x2 ,各作xr了n 次测量，可算出n 个y 值：