对角化与Jordan标准形

第五讲对角化与Jordan标准形
一、正规矩阵
1. 实对称矩阵与厄M特<Hermite）矩阵
实对称矩阵：实矩阵，。

实反对称矩阵：实矩阵，。

厄M特<Hermite）矩阵：复矩阵，。

反厄M特<Hermite）矩阵：复矩阵，.
2. 正交矩阵和酉矩阵
正交矩阵：实矩阵
，<）。

酉矩阵：复矩阵，<）.
3. 正交相似变换和酉相似变换
设为正交矩阵，为实矩阵，称为对的
正交相似变换；
设为酉矩阵，为复矩阵，称为对的酉
相似变换。

4. 正规矩阵
实矩阵，若满足，则称为实正规矩
阵；
复矩阵，若满足，则称为复正规
矩阵。

注1：实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵；
注2：厄M特矩阵、反厄M特矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

5. 相似矩阵的性质
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。

【证】
二、酉对角化
1. Schur定理：
<1）设的特征值为，则存在酉矩阵，使
<2）设的特征值为，且
，则存在正交矩阵，使
.
【证】只证<1）结论，<2）的证明类似.
对矩阵的阶数施行数学归纳法.
当时，结论显然成立.
假定对阶矩阵结论成立.下面证明对阶矩阵
结论也成立.
设是的属于特征值的特征向量，即
，
，将扩充为的一组标准正交基
,
令，则
即为酉矩阵.
对进行酉相似变换：
其第列元素：
，
.
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于阶
矩阵，其特征值为，根据归纳法假设，存
在阶酉矩阵，使得.
记，
则，即是酉矩阵，且
[证毕]
☆什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？
2. 定理：
<1）设，则酉相似于对角矩阵的充要条
件是：为正规矩阵；
<2）设，且的特征值都是实数，则正
交相似于对角矩阵的充要条件是：为正规矩阵。

【证】只证<1）结论，<2）的证明类似.
必要性：设存在酉矩阵，使得
<对角矩阵），
则有
即为正规矩阵.
充分性:设为正规矩阵，即，由
Schur定理，存在酉矩阵，使得
其中是的特征值。

要证.
因为，，所以
.
又
，
由对角元素相等可得，
所以 .
[证毕]
推论：实对称矩阵正交相似于对角矩阵.
说明：不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如
，
，不是正规矩阵；
但，两个特征值互异，可以相似变换对
角化。

可见，可以对角化，但不能酉对角化。

☆不能对角化的矩阵一定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式——Jordan标准形。

三、Jordan标准形
1. Jordan标准形概念
定义形如
的矩阵，称为Jordan标准形，其中
称为阶Jordan块矩阵.
2. Jordan标准形的存在定理
定理每个阶复矩阵都与一个Jordan标准形相
似，这个Jordan标准形除去其中Jordan块的排列次序外，是被唯一确定的.即
其中
为的特征值，可以是多重的.
☆说明：中的特征值全为，但是对于不同的，有可能，即多重特征值可能对应多个
Jordan块矩阵。

2.多项式矩阵<又称为-矩阵）
<1）多项式矩阵的定义
形如
的矩阵称为多项式矩阵或-矩阵，其中矩阵元素
为的多项式。

<2）多项式矩阵的初等变换
如下的变化称为多项式矩阵的初等变换：
①互换两行<列）；
②以非零常数乘以某行<列）；
[注意：这里不能乘以的多项式或零，这样有可
能改变原来矩阵的秩和属性]
③将某行<列）乘以的多项式加到另一行<列）.
☆初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下使其形式变得简单。

<3）多项式矩阵的标准形式
采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：
其中，多项式是首一多项式<首项系数为
1，即最高次项的系数为1），且
即是的因式。

说明：
①多项式矩阵的标准形式不随所采用的初等变换而变化，故称为不变因子。

②不变因子也可采用如下方法求得：设为
的所有阶子式的最大公因式，则
，，
称为阶行列式因子。

③将每个不变因子化为不可约因式的乘积，
这些不可约因式称为的初等因子，全体初等因
子称为初等因子组。

3. 数字矩阵的不变因子与初等因子
对于阶数字矩阵，称的不变因子为的
不变因子，称的初等因子为的初等因子。

4. Jordan标准形的求法
<1）求出特征矩阵的初等因子组，设为
；
<2）写出各Jordan块矩阵<一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）
<3）合成Jordan标准形：
例1：求矩阵的Jordan标准形.解：对特征矩阵运用初等变换可以得到
从而的不变因子为
初等因子组为
相应的Jordan块为
Jordan标准形为 .
例2：求矩阵的Jordan标准形.
解：
的不变因子为
初等因子组为
相应的Jordan块为
，
Jordan标准形为.
例3：求矩阵的Jordan标准形.
解：
先求行列式因子
；
因为有三阶子式
且，
所以，从而，
不变因子为
初等因子为
Jordan标准形为 .
5. Jordon标准形相似变换矩阵的求法
称非奇异矩阵为Jordon标准形相似变换矩阵.
上面给出了矩阵的Jordon标准形的求法，但
是没有给出求所需要非奇异矩阵的方法. 由于求
牵扯到比较复杂的计算问题，因此，作为了解，仅以例题的形式给出的计算方法.
例1. 求矩阵的Jordan标准形及相
似变换矩阵.
解：由上面的例2，有
再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为，则，对于按列分块
记为，于是有
从而可得
整理以后可得三个线性方程组：
；
；
.
解上面的三个方程组得特征向量及广义特征
向量依次为
故所求相似变换矩阵为
，
从而有
例2.求矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵.
解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：
从而的不变因子为
；
初等因子组为；
从而的Jordan标准形为.
再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为，则，对于按列分块
记为，于是有
从而可得
整理以后可得三个线性方程组
；
；
.
前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取，但是不能简单地取，这是
因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组
无解。

由于的任意线性组合都是前两个方程组
的解，所以应该取
，
使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵
的秩也为1，即
.
容易看出只需令就会使得上述矩
阵的秩为1，于是
.
再由第三个方程解出一个特解为
.
故所求相似变换矩阵为
，
从而有.
例3. 求方阵的Jordan标准形及相似变换矩阵.
解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：
.
所以的不变因子为
；
初等因子为；
从而的Jordan标准形为.
再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为，则，对于按列分块
记为
，于是有
；
从而可得
，
整理以后可得三个线性方程组
，
，
.
前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：
可以取，但是不能简单地取，这是
因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组
无解。

由于的任意线性组合都是前两个方程组
的解，所以应该取
，
使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵
的秩也为1，即
容易看只要就会使得上述增广矩阵的秩为1.
令，于是
再由第三个方程解出一个特解为
那么所求相似变换矩阵为
从而有 .。