矢量分析复习

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电动力学
标量场与矢量场 场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以 某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定 的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。 场的分类：
按物理量的性质 标量场 物理量为标量（温度场,电位场）
矢量场 物理量为矢量（电场、磁场） 按物理量变化特性 静态场 物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场） 物理量随时间的变化而变化 华东交通大学
divA lim
A dS
S
V 0
V
A
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电动力学 2.散度的物理意义:
矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数
矢量场的散度值表征空间中通量源的密度
( divF (r ) 0 正源)
divF (r ) 0负源)
电动力学
对封闭曲面上的面元，n取为封闭曲面的外法线方向如 图(b)所示； 在矢量场 A中,任取一个面元矢量 dS ,矢量场 A 穿过
dS 的通量定义为:
d A dS Adscos
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电动力学 将曲面S各面元上的A· dS相加，它表示矢量场A穿过
整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
散度定理的证明
该公式表明了矢量场 A 的散度在体积V内的积分等
A lim
A dS
S
V AdV A dS
V 0
d lim V 0 V dV
S
V
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1.5 矢量场的环流和旋度
1.5.1 矢量场的环流 A 在矢量场 A 中,任选一闭合曲线 C, 将 在闭合曲线C上 的线积分定义为 A 在C的环流:
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1.2.2 标量场的方向导数 梯度 设两相邻等值面分别为 1和 2 且 2 1 d ,
如图所示。M 0 ( x0 , y0 , z0 )为等值面
1 上的一定点，
根据偏导数的定义可以写出：
(M ) (M 0 ) | M 0 lim l 0 l l
3 3 x x 3 y y 3 x x 4 y y 4 r r r r r
0
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电动力学 1.3.3 高斯散度定理
A dS AdV
S V
于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。
的标量积,即:
为函数
d dl
( x, y, z)
在这一点的梯度, grad
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电动力学 （3）梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量； • 梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，即该点 最大方向导数； • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 例1 电位场的梯度
r
r x x ex y y ey z z ez
Ax Ay Az divA(r ) x y z
(r 0)
r x x y y z z 3 3 3 3 r x r y r z r
则： A B e ( A B ) e ( A B ) e ( A B ) x x x y y y z z z
ex ( Ay Bz Az By ) e y ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
说明：矢量间不存在除法运算。
标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度） 矢量的表示方式
矢量可表示为： A
A eA 其中
A 为其模值，表征矢量的大小；
eA
为其单位矢量，表征矢量的方向；
注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D 。教材上符 号即为印刷体。 华东交通大学
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电动力学 根据微分定义: d dx dy dz
x y z
而:
dl ax dx ay dy az dz
x y z
ay az 显然: d 可以表示成 dl与矢量 a x
a x ay az x y z
电位场的梯度
• 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位减少的方向。
电位场的梯度
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电动力学 直角坐标系哈密顿算符表示为:
ex ey ez x y z
o
r
'
B ( x, y, z)
x
r1

r y y r z z z , y r z r x x y y z z r r ex ey ez r r r r
r r r
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' 例题2：空间两点的位矢可以表示为 R r r ，如 ' 图所示 ，其中 r 和 r1 为B，A两点的位置矢量，证 明以 x, y, z ,为变量时 R 的梯度 ( 1 ) 和以 x' , y ' , z ' 为变
哈密顿算符
A (e x ey ez ) (ex Ax e y Ay ez Az ) x y z
Ax Ay Az divA(r ) x y z
圆柱坐标系下：
1 1 A Az A (rAr ) r r r z
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1.2 标量场的梯度
1.2.1 标量场的等值面
设有一个标量场 ( x, y, z) ，这里，我们假设 ( x, y, z) 是连续函数。若令
( x, y, z ) C
C为任意常数，随着C的取值不同，方程给 出一组曲面。如图所示。在曲面上的各点，虽然 坐标 x, y , z不同，但函数值相等，这样的曲面称 为的等值面。例如，温度场中的等温面，密度场 中的等密度面，电场中的等电位面等。方程称为 等值面方程。
R ( x x' )2 ( y y ' )2 ( z z ' )2
r
ax ay az x y z
ax ' a y ' az ' x y z
'
z
1 1 R x x' 有：x ( R ) ( R 2 ) x R 3 1 1 R z z' ( ) ( 2 ) 3 z R R z R

S
d A ndS A cos dS
S S
如果曲面是一个封闭曲面，则
A dS A c合面S的通量的代数和。
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通过闭合面S的通量的物理意义:
若 0 ，闭合面内有产生矢量线的正源 若 0，闭合面内有吸收矢量线的负源 若 0 ，闭合面内无源
grad
ex ey ez x y z
柱坐标系和球坐标系哈密顿算符:
1 (er e ez ) r r z 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
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例1：r =？
r r x x y y z z
2 2 2
1
2
解：
r
r r r e x e y ez x y z
y
' ' ' ( x , y , z ) A
r
r 1 1 x x 2( x x) x 2 r r
华东交通大学电动力学华东交通大学电动力学图所示其中为变量时的梯度的梯度之间有华东交通大学电动力学华东交通大学电动力学华东交通大学电动力学131矢量场的通量将曲面的一个面元用矢量ds来表示其方向取为面元的法线方向其大小为ds即dsn是面元法线方向的单位矢量
电动力学
1.1 场的概念和表示法
一、 矢量与矢量场
将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的 法线方向， 其大小为dS，即
dS nds
n 是面元法线方向的单位矢量。 n 的指向有两种情况：
对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线 L所围
成的，则选定绕行L的方向后，沿绕行方向按右手螺旋
的拇指方向就是n的方向，如图(a)所示；
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矢量的运算
A ex Ax ey Ay ez Az
B ex Bx ey By ez Bz
A B A B cos AB Ax Bx Ay By Az Bz A B
ex A B Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
同理
1 1 1 R ' 1 ( ) ax ' ( ) a y ' ( ) az ' ( ) 3 R x R y R z R R
即证明：
1 ' 1 ( ) ( ) R R
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1.3 矢量场的通量和散度
1.3.1 矢量场的通量
( divF (r ) 0无源）
讨论：在矢量场中， 若 divA(r ) 0 ，则该矢量场称为有源场，为源密度 若 divA(r ) 0 处处成立，则该矢量场称为无源场
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电动力学 3.散度的计算:
直角坐标系下：
(ex
ey ez ) x y z
( divF (r ) 0 正源)
divF (r ) 0负源)
( divF (r ) 0无源）
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电动力学 1.3.2 矢量场的散度 1.散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所 围的体积为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散 度为：
' 1 1 R y y ( ) ( 2 ) y R R y R3
1 1 1 1 R ( ) a x ( ) a y ( ) az ( ) 3 R x R y R z R R
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1 1 1 1 R ( ) a x ( ) a y ( ) a z ( ) 3 R x R y R z R R
1 量时 R
的梯度 ( 1 ) R
'
之间有
R
y
1 ' 1 ( ) ( ) R R
' ' ' ( x , y , z ) A
R
r
o
'
B ( x, y, z)
x
r
z
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y
解：在直角坐标系中，
r'
A
o
( x' , y ' , z ' )
R
B
x
( x, y, z )
1 2 1 1 A 球面坐标系下： A (r Ar ) (sinA ) 2 r r r sin r sin
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例题：
• 求
求
x r 3 x 1 r 2 2 2 2 3 r x x y y z z r
| M 0就称函数 M 为M0 邻域内的任一点，l
( x, y, z)在点 M 0 沿 l 方向的方向导数。
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电动力学 方向导数是函数 ( x, y, z )在给定点沿某一方向的 距离的变化率.
0 l 0 l 0 l
函数 ( x, y, z) 沿 l 方向增大; 函数 ( x, y, z) 沿 l 方向减小; 函数 ( x, y, z) 沿 l 方向不变化.